LISTA 1 - GERAL

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1a Lista de Exercício de Cálculo Numérico
2020.1
Aluno(a):
Prof.: Genilson Gomes
1. Faça as conversões indicadas abaixo:
(a) (100110)2 = (?)10
(b) (39)10 = (?)2
(c) (1100101)2 = (?)10
(d) (40, 28)10 = (?)2
(e) (110, 01)2 = (?)10
(f) (3, 8)10 = (?)2
2. Escreva os números abaixo na notação ponto flutuante.
(a) 0,000000123
(b) 25
(c) 52342034342
(d) 1200
(e) 1322
3. Determine o vetor solução dos sistemas lineares abaixo:
(a)

x1 = 1
2x1 + 5x2 = 2
3x1 + 6x2 + 4x3 = 3
(b)

x1 + x2 + x3 + x4 = 4
x2 + 3x3 + x4 = 3
x3 + x4 = 2
x4 = 1
(c)

x1 − 2x2 + 3x3 + x4 = 4
3x3 − x4 = 3
x3 + x4 = 2
x4 = 1
4. Determine o vetor solução dos sistemas lineares abaixo atraves do método de eliminação de Gauss.
(a)

2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 6, 90
−x1 + x2 − 4x3 + x4 = −6, 60
x1 + x2 + x3 + x4 = 10, 20
4x1 − 5x2 + x3 − 2x4 = −12, 30
(b)

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 10
2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 7
3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 6
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 5
1
(c)

x1 + x2 + 2x3 + 4x4 = 7, 12
x1 + x2 − 5x3 + 6x4 = 12, 02
2x1 + 5x2 + x3 + 2x4 = 14, 90
4x1 − 6x2 + 2x3 + x4 = 20, 72
5. Outro método direto para resolução de um sistema é o Método de Jordan, que consiste em realizar
as operações elementares sobre as equações do sistema linear dado até que se obtenha um sistema
diagonal equivalente. Usando o método de Jordan, determine o conjunto solução dos sistemas lineares
do Exercício 3.
6. Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Jacobi e em seguida
usando o método de Gauss-Seidel, com no máximo 10 iterações:
(a) X(0) = [ 0 0 0 0 ]T e � < 10−2
x1 − 0, 25x2 − 0, 25x3 = 0
−0, 25x1 + x2 − 0, 25x4 = 0
−0, 25x1 + x3 − 0, 25x4 = 0, 25
− 0, 25x2 + x4 = 0, 25
(b) X(0) = [ 0 0 0 0 ]T e � < 10−2
4x1 + x2 + x3 + x4 = 7
2x1 − 8x2 + x3 − x4 = −6
x1 + 2x2 − 5x3 + x4 = −1
x1 + x2 + x3 − 4x4 = −1
(c) X(0) = [ 1 3 1 3 ]T e � < 10−2
5x1 − x2 + 2x3 − x4 = 5
x1 + 9x2 − 3x3 + 4x4 = 26
3x2 − 7x3 + 2x4 = −7
−2x1 + 2x2 − 3x3 + 10x4 = 33
(d) X(0) = [ 0 0 0 0 ]T e � < 10−2
10x1 + 4x2 − x3 + 3x4 = 2
− 8x2 − 2x3 + x4 − 3x5 = 5
2x1 − 4x2 + 7x3 = 13
−x1 + 2x2 − 3x3 − 10x4 + 2x5 = 4
2x1 − x2 − x3 + x4 − 7x5 = 7
7. O método da pivotação parcial consiste na resolução de um sistema linear fazendo-se as eliminações
do seguinte modo: segue-se a sequência de eliminações como no método de Gauss, cuidando de escolher
em cada coluna o coeficiente de maior módulo.
Resolver pelo método de pivotação parcial, o sistema abaixo, retendo durante as eliminações e as
substituições retroativas cinco casas decimais:

1, 0234x1 − 2, 4567x2 + 1, 2345x3 = 6, 6728
5, 0831x1 + 1, 2500x2 + 0, 9878x3 = 6, 5263
−3, 4598x1 + 2, 5122x2 − 1, 2121x3 = −11, 2784
8. Seja An×n a matriz que se deseja inverter.
Se A possui inversaXn×n, então AX = I, onde I =

1 0 0 · · · 0
0 1 0 . . . 0
0 0 1 · · · 0
...
...
...
. . . 0
0 0 0 · · · 1
. SejamX(1) X(2) · · · X(n)
as colunas de X. Para se achar a matriz inversa é necessário resolver n sistemas lineares, cuja matriz
de coeficientes é a mesma, isto é, devem ser resolvidos os sistemas
2
AX(1) = ( 1 0 0 · · · 0 )T
AX(2) = ( 0 1 0 · · · 0 )T
AX(3) = ( 0 0 1 · · · 0 )T
...
AX(n) = ( 0 0 0 · · · 1 )T
Aplique o método acima para achar a inversa da matriz
 2 3 −14 4 −3
2 −3 1

9. Usando o método de Gauss, verificar que o sistema
x1 + 4x2 + αx3 = 6
2x1 − x2 + 2αx3 = 3
αx1 + 3x2 + x3 = 5
(a) possui uma única solução quando α = 0;
(b) infinitas soluções quando α = 1;
(c) não tem solução quando α = −1.
10. Se o diagrama de um circuito
A corrente que flui do nó p para o nó q de uma rede eletrica é Ipq =
Vp − Vq
Rpq
, I em amperes e R em
ohms, onde Vp e Vq são voltagens nos nós p e q, respectivamente, e Rpq é a resistência no arco do ar
pq. (LEI DE OHM).
A soma das correntes que chegam a cada nó é nula (LEI DE KIRCHOFF); assim, as equações que
relacionam as voltagens podem ser obtidas. No nó 1, tem-se a equação IA1 + I21 + I41 = 0, ou seja,
100− V1
2
+
V2 − V1
2
+
V4 − V1
2
= 0 ou − 4V1 + 2V2 + V4 = −100.
(a) Obtenha as equações dos nós 2,3 e 4.
(b) Resolva, por qualquer método, o sistema linear formado pelas equações dos nós 1, 2, 3 e 4, a fim
de obter as voltagens em cada nó do circuito.
11. Resolver o sistema linear abaixo pelo método de Gauss-Seidel usando como aproximação inicial X(0) =
[ 0 0 0 ]T e com critérios de parada k = 10 ou � < 10−2.
−x1 + 6x2 − x3 = 32
6x1 − x2 − x3 = 11, 33
−x1 − x2 − 6x3 = 42
BOM TRABALHO!
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