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Cálculo Diferencial e Integral III – Prof. Robson Rodrigues da Silva http: www.robson.mat.br e-mail: robsonmat@uol.com.br 8ª Lista de Exercícios – Gradiente e Derivada Direcional Questão 01. Calcule o gradiente das seguintes funções nos pontos indicados a) f(x,y,z) = x – 2y + 3z no ponto P(1,1,2) b) f(x,y) = ln( 22 yx ) no ponto P(3,4) c) g(x,y) = e y .senx no ponto P(0,0) d) z = 1y 1x no ponto P(1,2) e) f(x,y,z) = ln(x 2 + y 2 +z 2 ) e P(1,1,-1) f) 222 zyxe.zw e P(0,0,0) Questão 02. Represente geometricamente o gradiente da função f(x,y) = x 2 y – 3xy no ponto P(1,2). Questão 03. Calcule o ângulo formado pelos gradientes das funções f(x,y) = (x+y)e x+y e g(x,y) = y.e x no ponto P(0,0). Questão 04. Calcule o ângulo formado pelos gradientes da função f(x,y) = ln( x y ) nos pontos A ) 4 1 , 2 1 ( e B(1,1). Questão 05. Calcule a derivada direcional do campo escalar f(x,y) = 3x 2 y + xy no ponto P(1,2) e na direção do vetor v = ( 3,-4). Questão 06. Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = 3x 2 y + y no ponto P(-1,2) na direção do vetor v = ( 2, 0). Questão 07. Sendo f(x,y) = x 2 + y 2 , calcule a derivada direcional de f no ponto P(1,2), nas seguintes direções: a) na direção do vetor v =(- 3, 4); b) na direção = 30 o e sentido crescente do eixo y; c) na direção da reta y = 2x e sentido crescente do eixo y. Questão 08. Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = e x . cosy, no ponto P(0,0) e na direção do vetor )3,1(v . Questão 09. Determine a derivada direcional da função z = 2x 2 + y 2 – 3z 2 , no ponto P(1,2,3) na direção da reta determinada pelos pontos P(1,2,3) e Q(3,5,1) no sentido de P para Q. Questão 10. Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = y.e x no ponto P(0,3) e na direção da reta tangente à parábola de equação y = x 2 + 3. Cálculo Diferencial e Integral III – Prof. Robson Rodrigues da Silva Gabarito da 8ª Lista de Exercícios – Gradiente e Derivada Direcional Questão 01. a) f = ( 1,-2,3) b) f = ( 25 4 , 25 3 ) c) g =(1,0) d) z = (1,0) e) f = ( 3 2 , 3 2 , 3 2 ) f) w = (0,0,1) Questão 02. f = (-2,-2) 2 -1 1 Questão 03. = 45° Questão 04. = arc cos 10 103 Questão 05. 5||v|| ) 5 4 , 5 3 (u yxy6 x f 14)2,1( x f e xx3 y f 2 4)2,1( y f )4,14()2,1(f )2,1(fD u u).2,1(f = 5 26 5 16 5 42 . Questão 06. 2||v|| i)0,1(u fD i x f x f = 6xy x f (-1,2) = -12 12)2,1(fD i . Questão 07. a) 5||v|| ) 5 4 , 5 3 (u e )4,2()2,1(f )2,1(fD u u).2,1(f = 2 5 16 5 6 . b) ) 2 1 , 2 3 ()30sen,30(cosu e )4,2()2,1(f )2,1(fD u 23 c) Como y = 2x, temos x = 0 y = 0 e x = 1 y = 2. Assim temos dois pontos da reta A(0,0) e B(1,2). Cálculo Diferencial e Integral III – Prof. Robson Rodrigues da Silva http: www.robson.mat.br e-mail: robsonmat@uol.com.br Agora, fazendo ABv = (1,2) temos assim um versor diretor da reta. 5||v|| ) 5 2 , 5 1 (u e )4,2()2,1(f )2,1(fD u 52 5 510 5 10 5 8 5 2 . Questão 08. 2||v|| ) 2 3 , 2 1 (u x f = e x .cosy x f (0,0) = 1 e y f = -e x seny x f (0,0) = 0 )0,1()0,0(f 2 1 )0,0(fD u Questão 09. )2,3,2(PQv 17||v|| ) 17 2 , 17 3 , 17 2 (u )18,4,4()3,2,1(f 17 1756 17 56 17 36 17 12 17 8 )3,2,1(fD u . Questão 10. Observe que a direção pedida, é a direção do eixo x, ou seja, do vetor i . Assim, x f fDfD iu e como x f = ye x temos 3)3,0( x f )3,0(fD i
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