A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ...

A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente.

A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função  no ponto P(-1,1).

Para determinar a direção de máximo crescimento da função no ponto P(-1,1), devemos calcular o vetor gradiente da função nesse ponto e normalizá-lo para obter o vetor unitário na mesma direção.

Primeiro, vamos calcular o vetor gradiente da função image1905e2f17d9_20211112220243.gif:

∇f = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y )

Agora, substituindo as coordenadas do ponto P(-1,1) na função, temos:

f(-1,1) = (-1)^2 + (1)^2 = 2

Agora, calculamos as derivadas parciais:

∂f/∂x = 2x

∂f/∂y = 2y

No ponto P(-1,1):

∂f/∂x = 2(-1) = -2

∂f/∂y = 2(1) = 2

Portanto, o vetor gradiente no ponto P(-1,1) é ∇f = (-2, 2).

Agora, normalizamos esse vetor para obter o vetor unitário:

||∇f|| = √((-2)^2 + 2^2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

O vetor unitário na mesma direção é obtido dividindo cada componente pelo comprimento:

V = (-2/2√2, 2/2√2) = (-1/√2, 1/√2) = (-√2/2, √2/2)

Portanto, a direção de máximo crescimento da função no ponto P(-1,1) é dada pelo vetor unitário (-√2/2, √2/2).