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Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 1 Exercícios Resolvidos Assunto: Integral Dupla Comentários Iniciais: É com imenso prazer que trago alguns exercícios resolvidos sobre integrais duplas e suas aplicações. Espero que você tenha um conspícuo aprendizado do tema. Não esqueça de constantemente recorrer aos livros, pois eles são excelente fonte de aprendizado. Qualquer Dúvida me escreva. e-mail: salete@vm.uff.br Reflexão " Doce é a Luz e ver o sol deleita os olhos. Se tu viveres por muitos anos, que os desfrute todos, sempre lembrando que os dias sombrios são numerosos e tudo o que acontece é vaidade. Estejas feliz na tua juventude e afasta a tristeza do teu coração. Anda segundo os desejos do teu coração, conforme o que teus olhos vêem. Mas fica sabendo que por tudo o que fizeres aqui, Deus te pedirá conta." Salomão 935 a. C Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 2 1. Integral Dupla ( )∫∫ R dxdyyxf , ( )∫ = cteydxyxf , Exercícios Resolvidos 1. ( ) 5 16 10 322 10 1 | 5 1 2 1 2 1 | 2 1 5 2 0 5 2 0 4 2 0 0 2 2 0 0 2 2 == ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ = = x dxx dxy ydydx x y x y 2. ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 52 |x2 2 x2 dx2x2 dx22x |y2x dydx2x 1 0 2 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 2 0 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Outra forma: ( ) ∫ ∫ ∫ + + 2 0 1 0 2 2 0 1 0 dx|x2 2 x dxdy2x Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 3 5|y 2 5 dy 2 5 2 0 2 0 = ∫ Encontrou-se o mesmo resultado. 3. ( ) [ ] 4 1lneln 4 |Lny 4y dy 4 dy 4y 1 dy0arctg1arctg y 1 dy| y xarctg y 1 dxdy yx 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 y 0 e 1 y 0 22 ππ πππ =− == − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Interpretação da Integral Dupla ( )∫∫ R dxdyyxf , Seja ( )yxfz ,= contínua na região R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R R R n 1i m 1j jiji m n n 1i m 1j jiji jijii Adxdy 1y,xffazendo bAV 1hsehbAV dxdyy,xfV yxy,xfLimV yxy,xfV yxy,xfV = = ⋅= =⋅⋅= = = ≅ = ∫∫ ∫∫ ∑∑ ∑∑ = =∞→∞→ = = ∆∆ ∆∆ ∆∆ Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 4 1. Cálcule a área retangular R 8816 |4 4 26 | 62 42 4 2 4 2 4 2 4 2 6 2 4 2 6 2 =−= = = −= = = ⎩⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ = = = = = R R x R x R x R x y R R R A xA dxA dxA dxyA dydxA y x R dxdyA 3. Cálculo de áreas por Integral Dupla ∫∫= R dxdyA x y z R 4 2 2 6 Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 5 1. Determinar a área da região limitada pelas curvas xyexy 43 == no 1º Quadrante. ( )∫ ∫ ∫ ∫ =−=−= = = ⎩⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − +=− ⎩⎨ ⎧ = = = = 2 0 2 0 42 3 2 0 x4 x 2 0x x4 xy 3 3 3 4| 4 x 2 x4dxxx4A dx|yA dydxA x4yx 2x0 R 2 2 0 0x4x x4y xy 3 3 2. Determinar a área da região limitada pelas curvas xyex2y == no 1º Quadrante. 0 2 y=x 0 2 xy 2= Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 6 ( ) ( ) ( ) 3 2 3 46 3 42A | 6 y 2 yA dy 2 yyA dxdyA formaOutra 3 2 3 682 3 8A 222 3 2A | 2 x22 3 2A dxxx2A dydxA yx 2 y 2y0 Rou x2yx 2x0 R 2x 0x 02xx 0x2x x2x xy x2y xyex2y 2 0 32 2 0 2 2 0y y 2 yx 3 2 0 2 2 3 2 0 2 1 2 0x x2 xy 2 2 2 2 2 2 2 1 =−=−= −= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= = =−=−= −= −= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤≤ ≤≤ ⎩⎨ ⎧ = = =− =− = ⎩⎨ ⎧ = = == ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = = = Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 7 4. Momento e Centro de Gravidade de Áreas Planas xAm yAm y x ⋅= ⋅= 4.1. Coordenadas do Centro de Gravidade ∫∫ ∫∫ ∫∫ = = = = = R y R x R x y xdydxm ydydxm dydxA A m y A m x 1. Determinar as coordenadas do centro de gravidade da Região limitada no 1º Quadrante por x4yexy 3 == . x y ( )yxCG ; 0 2 8 Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= =⋅== =⋅== =−=−⋅= −= −= = = =−= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⋅= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= −= = = == ⎩⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = = = = = = = = = 21 64; 15 16.G.C 21 64 421 256 A M y 15 16 415 64 A M x 15 64 5 32 3 32 5 32 3 84M | 5 x 3 x4M dxxx4M dx|xyM xdydxM 21 256 7 64 3 64M 7 128 3 816 2 1M | 7 x 3 x16 2 1M dxxx16 2 1M dx|y 2 1M ydydxM 4dydxA x4yx 2x0 R x y y 2 0 53 y 2 0x 42 y 2 0x x4 x y 2 0x x4 xy y x x 2 0 73 x 2 0x 62 x 2 0x x4 x x 2 0x x4 xy x 2 0x x4 xy 3 3 3 3 3 3 Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 9 2. 02;2 ==+= yeyxxy 1º Quadrante ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − − − = = = −−= −−= = = = −−= −−= = = ⎩⎨ ⎧ = −==−+ ⎩⎨ ⎧ =+ = ⎩⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤ 1 0 y2 y 2 y 1 0 y2 y y x 1 0 43 2 x 1 0 32 x 1 0 y2 y x 1 0 y2 y x 1 0 32 1 0 2 1 0 y2 y 1 0 y2 y 2 2 2 dy| 2 xM xdxdyM 12 5M | 4 y 3 yyM dyyyy2M dy|yxM ydxdyM 6 7A | 3 y 2 yy2A dyyy2A dy|xA dxdyA 1P 2S 02yy 2yx xy y2xy 1y0 R 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de OliveiraBuffoni 10 ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= == == = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−= −+−= ∫ 14 5; 35 32.. 14 5 35 32 15 16 5 1 3 124 2 1 | 53 24 2 1 44 2 1 1 0 53 2 1 0 42 GC A M y A M x M M yyyyM dyyyyM x y y y y y 5. Momento de Inércia (Ix; Iy; I0) ( )∫∫ ∫∫ ∫∫ +=+= = = R yx R y R x dxdyyxIouIII dxdyxI dxdyyI 22 00 2 2 1. Determinar os momentos de inércia 0; IeII yx da região limitada pelas curvas 04;42 === yexxy no 1º Quadrante. xi yj Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 11 28,107 7 512 15 512 7 512128 7 4 | 7 4 2 | 15 51232 15 16 | 5 2 3 8 8 3 1 | 3 1 20 40 0 4 0 2 7 4 0 2 5 4 0 2 0 2 4 0 2 0 2 4 0 2 5 4 0 2 3 4 0 2 0 3 4 0 2 0 2 2 1 2 1 2 1 2 1 =+=+= =⋅= = = = = =⋅= = = = = ⎩⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ yx y y y x y x y x x x x x x x III I xI dxxI dxyxI dydxxI I xI dxxI dxyI dydxyI xy x R 0 4 xy 2= Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 12 2. 0;3;42 ==+= yyxxy ( ) 97,8 7 46 5 12 7 46 5 12 12 2" 6' 4 0124 34 3 3 4 3 4 20 0 2 0 3 4 2 2 0 3 4 2 2 2 2 2 2 2 =+=+= = = = = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= ⎩⎨ ⎧ = −=−==−+ −= −= ⎩⎨ ⎧ =+ = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤ ∫ ∫ ∫ ∫ − − yx y y y y x y y x III I dxdyxI I dxdyyI P y y S yy yy yx yx xy yxy y R 3 yx yx −= = 3 4 2 0 3 2 1º Q. Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 13 6. Volume por Integral Dupla ( )yxfz ,= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = = = = = ∫∫ ∫∫ y,xfx y,xfy y,xfz 0z,y,xF zdxdyV Vdxdyy,xf yxy,xfV R R jii ∆∆ 3=++ zyx yzplanoDzyx xzplanoDzxy xyplanoDyxz →−−= →−−= →−−= 3 3 3 ( )yxfz ,= 3 3 3 Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 14 1. Determinar o volume do Sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano 3=++ zyx no 1º octante. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 0 0 0 . z y x CoordPlanos ⎩⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤ x3y0 3x0 R ( ) .v.u 2 9V 6 27 2 27 2 27V | 6 x 2 x3x 2 9V dx 2 xx3 2 9V dx| 2 yxyy3V dydxyx3V 3 0 32 3 0 2 3 0 x3 0 2 3 0x x3 0y = +−= +−= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= −−= −−= ∫ ∫ ∫ ∫ − = − = 3 3 3 Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 15 2. Determinar o volume do sólido limitado por 0;0;6;0;4 2 ====−= yzyxxz . ..32 1648 |224 624 |4 4 6 0 3 2 0 2 2 0 6 0 2 2 0 6 0 2 vuV V xxV dxxV dxyxyV dydxxV = −= −= −= −= −= ∫ ∫ ∫ ∫ 3. Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros 222222 azxeayx =+=+ . 22 xaz −= 6 2 R 6 2 24 xz −= 6 2 4 R 4 222 ayx =+ 0 a a Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 16 .. 3 2 3 3 3 | 3 | 0 0 333 3 3 0 3 2 0 22 0 2222 0 0 22 0 0 22 22 22 22 vuaaaV aaV xxaV dxxaV dxxaxaV dxxaV dydxxaV xay ax R a a x a x a x xa a x xa y =−= −= −= −= −⋅−= −= −= ⎪⎩ ⎪⎨⎧ −≤≤ ≤≤= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = = − = − = 4. Determinar o volume do sólido limitado superiormente por 42 ++= yxz e inferiormente por 2+−−= yxz e lateralmente pela superfície definida pelo contorno da região D limitada pelas curvas 2 2 4 2 2 −=−= xyexy . 2 42 2 2 4 20 2 2 4 2 1 2 2 2 2 +−−= ++= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≤≤− ≤≤ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= −= yxz yxz xyx x R xy xy D 4º Quad. Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 17 ( ) ( ) ( ) ( ) .. 15 338 1612 3 406 5 96 |83 3 5 8 3 5 3 865 2 3 4 3 |23 223 223 2 0 2 345 2 0 2 34 2 0 2 2 4 2 2 0 2 2 4 2 0 2 2 4 2 0 2 2 4 21 2 2 2 2 2 2 2 2 vuV V xxxxxV dxxxxxV dxyyxyV dydxyxV dydxyxV dydxzzV x x x x x x x x = −++−= −++−−= −++−−= ++= ++= ++= −= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − − − − −
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