aula 03

Prévia do material em texto

Universidade de Brasília – UnB 
Faculdade UnB Gama – FGA 
Métodos Numéricos para Engenharia 
Prof. Ricardo Fragelli 
 
 
 
AULA 03 
Zero de Função pelo Método da Posição Falsa 
 
 
 
1. Método da Posição Falsa 
 
No final da aula 02 fizemos um script que encontrava a raiz de uma função pelo Método da 
Bissecção, mas, lembrem-se da nossa experiência com o Houdini Acadêmico para encontrarmos 
um método mais interessante! 
 
Por exemplo, se o nosso objetivo fosse calcular a raiz quadrada de e alguém tivesse feito os 
seguintes cálculos: e , seria possível concluir que o valor correto está 
entre e . Se fôssemos utilizar o método da Bissecção, tentaríamos o valor 5,85, pois é o valor 
médio do intervalo. Contudo, note que está mais perto de que . 
Desse modo, seria mais interessante levar isso em consideração, não? É exatamente nessa ideia 
que surge o Método da Posição Falsa! 
 
O método consiste em fazer uma ponderação dos valores obtidos para encontrar uma aproximação 
para o valor de , veja: 
 
 
Para esse valor, temos: , que é um valor bem mais próximo do correto que . 
 
O cálculo desse valor de aproximação do zero de uma função é feito com base em uma 
reta que passa pelos pontos e , onde e são os extremos do intervalo 
que contém a raiz (figura 1). 
 
Figura 1 – Método da Posição Falsa. 
A equação da reta é a seguinte: 
 
 
 
 
Desejamos saber qual o valor de tal que , então: 
 
 
 
 
 
 
 
O método da Bissecção e o método da Posição Falsa são basicamente formas de diminuir um 
intervalo que contém uma raiz de uma função, contudo, enquanto o próximo valor a ser obtido no 
método da bissecção é sempre o valor médio do intervalo, no método da posição falsa esse valor 
de aproximação é uma ponderação entre os valores das imagens dos pontos do intervalo. 
 
Aqui vale outra consideração interessante que é acerca do critério de parada. Enquanto o método 
da bissecção é finalizado quando o intervalo que contém a raiz é inferior a um determinado valor, o 
método da posição falsa (e outros também) geralmente são finalizados quando o valor de é 
inferior a um determinado valor de entrada. Também é possível utilizar os dois critérios de parada 
ao algoritmo da posição falsa, ou seja, se ou . 
 
Com base no que foi explicado do método e o que já fizemos no Matlab nas aulas anteriores, faça 
os desafios seguintes: 
 
1) Implemente o método da Posição Falsa no Matlab; 
 
2) Modifique os scripts dos métodos da Bissecção e da Posição Falsa para mostrar todos os 
valores aproximados em um gráfico (figura 2). Faça testes com diferentes funções e 
compare a convergência dos métodos; 
 
3) Faça outra modificação na forma de confeccionar o gráfico e insira os valores do intervalo 
ao longo das iterações. 
 
 
Figura 2 – Gráfico dos valores aproximados pelos dois métodos para a função 
com o intervalo inicial de a e precisão de . 
 
 
 
Espero que tenham gostado desta aula. 
Um forte abraço e até a próxima!