aula 09

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Universidade de Brasília – UnB 
Faculdade UnB Gama – FGA 
Métodos Numéricos para Engenharia 
Prof. Ricardo Fragelli 
 
 
 
AULA 09 
Métodos Iterativos para Resolução de Sistemas Lineares 
 
 
 
1. Métodos iterativos: Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel 
 
Até agora vimos métodos diretos para determinação dos valores das incógnitas de um sistema 
linear. Mas, que tal fazermos uma mágica antes de continuarmos a descobrir novos métodos? 
 
Considere o seguinte sistema que resolvemos na aula 08: 
 { 
 
Note que podemos isolar as incógnitas nas equações com certa facilidade: 
 
{ 
 
 
 
 
Eu aprendi muito cedo que fazer contas com zero é bom demais, então se fôssemos chutar uma 
solução para o problema, seria , e . Vamos ver se acertamos substituindo 
esses valores nas equações nas quais isolamos cada uma das incógnitas? 
 
{ 
 
 
 
Que tal tentarmos substituir os novos valores obtidos nas equações? Se fizermos isso, teríamos o 
seguinte resultado: 
 
{ 
 
 
Se fizermos isso mais algumas vezes (as figuras 1 e 2 dão uma dica de como fazer os cálculos no 
Matlab), teríamos a seguinte sequência de resultados: 
 
 
Então foi possível encontrar a solução do sistema de equações sem fazer a manipulação de 
matrizes? Que maravilha! 
 
Trata-se de um método iterativo para solução de sistemas lineares conhecido como Método de 
Gauss-Jacobi. Para sistemas pequenos como o que acabamos de resolver, métodos diretos são 
mais aconselhados pois o número de operações é menor, contudo, para sistemas grandes, 
métodos iterativos podem ter um desempenho melhor. 
 
 
Figura 1 – Calculando os valores das incógnitas. 
 
Figura 2 – Fazendo os cálculos do Método Gauss-Jacobi. 
 
 
Mas, observando as figuras 1 e 2, percebemos que foram utilizadas variáveis auxiliares 
para calcular os valores de , e a cada iteração. Se não tivessem sido utilizadas diretamente 
as fórmulas de cálculo, então ao se calcular teríamos substituído o valos de calculado no 
passo anterior e, para ao se calcular , teríamos utilizado os novos valores de e de obtidos 
nos passos subsequentes. 
 
Vou explicar melhor, consideremos o chute inicial de , e . Desse modo, 
teríamos: 
 
 
 
Então, por que não utilizar esse novo valor para obter ? Se utilizarmos o novo valor de , 
teríamos um novo : 
 
 
 
 
Seguindo a mesma lógica, teríamos o seguinte cálculo para : 
 
 
 
 
A programação no Matlab seria simplificada e a convergência mais rápida como mostra a figura 3. 
 
 
 
Figura 3 – Método Gauss-Seidel. 
 
Aproveite e teste os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para os três sistemas seguintes: 
 
 { 
 
 { 
 
 { 
 
 
Após ter resolvido os sistemas anteriores, reflita sobre as seguintes questões: 
 
 Qual dos métodos teve uma convergência mais rápida? 
 
 Houve a necessidade de fazer alguma modificação nos sistemas antes de resolvê-los? 
 
É possível garantir a convergência do Método Gauss-Jacobi pelo seguinte teorema conhecido 
como critério de linhas: 
 
 
 
TEOREMA Seja o sistema linear e o somatório dos coeficientes (em valor absoluto) de 
uma linha da matriz , com exceção do coeficiente da diagonal dessa mesma linha, dividido pelo 
coeficiente da diagonal (em valor absoluto), ou seja, 
 ቌ ∑ | | ቍ | | 
 
O método Gauss-Jacobi gera uma sequencia que converge para a solução do sistema sempre que 
o maior valor de for menor que 1. 
 
 
 
O critério de linhas também garante a convergência para Gauss-Seidel. 
 
Para finalizar o estudo dos métodos iterativos, faça um programa que resolva sistemas lineares 
com base em Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Utilize como critério de parada a variação dos valores 
durante as iterações, ou seja, o sistema encontrará a solução se a maior diferença (em módulo) 
entre os valores de x de uma iteração para outra for inferior a um valor especificado. 
 
Um forte abraço e até a próxima!