Cálculo Numérico - Avaliação Presencial 1 - AV1

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Cálculo Numérico - Avaliação Presencial 1 - AV1 
 
1 - ​Em matemática, existe uma grande família de algoritmos, cujo principal objetivo é aproximar o 
valor de uma dada integral definida de uma função sem o uso de uma expressão analítica para a sua 
primitiva. Esses algoritmos são os métodos de integração numérica. O método de integração 
numérica não substitui o método de resolução normal, apenas o complementa. Neste sentido, 
quando se usa a integração numérica? 
 
Quando a derivada for constante. 
Quando a função é definida por meio de uma tabela de pontos.   
Quando a função for descontínua. 
Quando a integral não tem intervalos. 
 
2 - ​Em Matemática, um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um 
conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de 
variáveis. Sobre sistemas lineares, estudamos em Álgebra Linear um método de resolução, e agora 
aprendemos mais algumas formas de encontrar sua solução. Com relação a este assunto, associe 
os itens, utilizando o código a seguir: 
 
I- Método Iterativo. 
II- Método Direto. 
 
( ) Fatoração LU. 
( ) Método de Jordan. 
( ) Método de Gauss-Siedel. 
( ) Método de Cramer. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
II - II - I - II.   
I - II - I - I. 
II - I - II - I. 
I - II - II - I. 
 
3 - ​Com relação à integração numérica, o método 1/3 de Simpson Generalizado consiste em aplicar 
o método de Simpson tantas vezes quantos forem os pontos em que conheçamos o valor da função 
f. Consideremos então o intervalo [1, 2], e vamos aplicar este método para a função f, supondo n = 
4. Se utilizarmos 4 casas decimais nos cálculos, o valor encontrado para a integral numérica de f(x) 
= ln(x) será de quanto? 
 
0,3900. 
0,3846. 
0,3837. 
0,3866.   
 
4 - ​Com relação à integração numérica, o método do Trapézio Generalizado consiste em aplicar o 
método do Trapézio tantas vezes quantos forem os pontos em que conheçamos o valor da função f. 
Consideremos então o intervalo [1, 4], e vamos aplicar este método para a função f, supondo n = 6. 
Se utilizarmos 4 casas decimais nos cálculos, qual será o valor encontrado para a integral 
numérica? 
 
4,5000. 
4,9152. 
4,6614.   
4,9490. 
 
5 - ​Os sistemas lineares de pequena dimensão raramente são resolvidos através das técnicas 
iterativas, a não ser que o tempo requerido para uma exatidão suficiente exceda o tempo requerido 
por técnicas diretas, como o método de eliminação de Gauss. No entanto, para grandes sistemas 
que exigem a mais baixa porcentagem de erros, estas técnicas são eficientes em termos de 
armazenamento de informações no campo da computação. Os sistemas lineares com estas 
características, frequentemente, surgem na realização da análise de circuito, nas soluções 
numéricas de problemas de fronteiras e nas equações diferenciais parciais. Efetue o cálculo a 
seguir e, segundo o critério de linhas, método de Jacobi, verifique o sistema linear dado pelas 
equações. 
 
O sistema satisfaz o critério de linhas, convergência garantida. 
O sistema é convergente e divergente ao mesmo tempo. 
O sistema satisfaz o critério de linhas, convergência não garantida. 
O sistema não satisfaz o critério de linhas, convergência não garantida.   
 
6 - A Teoria de Aproximação estuda processos para obter funções que passem o mais próximo 
possível de certos pontos dados. É claro que se pudermos obter funções que passem próximas 
dos pontos dados e que tenham uma expressão fácil de ser manipulada, teremos obtido algo 
positivo e de valor científico. Dentre os processos matemáticos que resolvem tal problema, com 
certeza, um dos mais utilizados é o Método dos Mínimos Quadrados. Na Teoria da Aproximação, 
quando há a necessidade de utilizar o método dos mínimos quadrados? 
Saber o valor de uma variável. 
Diminuir a ordem das diferenças finitas. 
Identificar as curvas mais comuns. 
Obter funções que passem o mais próximo possível dos pontos dados.  
 
7 - No universo da Matemática, tudo que estudamos tem uma razão e aplicabilidade. Da teoria à 
prática, os logaritmos são trabalhados em diversas áreas do conhecimento. O trabalho com uma 
função logarítmica tem como objetivo facilitar os cálculos, bem como ampliar os conhecimentos 
em assuntos específicos, como: a) na Química, quando o trabalho envolve radioatividade, para 
determinar o tempo de desintegração de uma substância radioativa é utilizada a fórmula: 
Q=qo.e^(-r-t). Nesta fórmula, Q representa a massa da substância, qº a massa inicial, r a taxa de 
redução da radioatividade e a variável t o tempo. Equações com essa tipologia podem ser 
resolvidas com o auxílio da teoria dos logaritmos; b) no ano de 1935, os sismólogos Charles 
Francis Richter e Beno Gutenberg desenvolveram uma escala para quantificar o nível de energia 
liberada por um sismo. A escala Richter, que também é conhecida por escala de magnitude local, é 
uma função logarítmica. Assim, é possível quantificar em Joules a quantidade de energia liberada 
por um movimento tectônico; c) na Medicina, quando é ministrado um tratamento, o paciente 
recebe o medicamento, que entra na corrente sanguínea, que passa por órgãos como fígado e rins. 
Neste caso, é possível obter o tempo necessário para que a quantidade desse medicamento 
presente no corpo do paciente seja menor ou maior que uma determinada quantidade, e para isso 
é necessário trabalhar com uma equação logarítmica. Neste contexto, trabalhando com uma 
margem de erro menor ou igual a (0,1), calcule o valor aproximado da função: f(x) = x.log(x+1) - 2, 
sabendo que a função tem apenas uma raiz real, que está contida no intervalo. 
 
A função tem sua raiz real em 3,5. 
A função tem sua raiz real em 3,3. 
A função tem sua raiz real em 3,2. 
A função tem sua raiz real em 3,25.   
8 - Em análise numérica, os métodos de Runge-Kutta formam uma família importante de métodos 
iterativos implícitos e explícitos para a resolução numérica (aproximação) de soluções de 
equações diferenciais ordinárias. Portanto, uma equação diferencial ordinária pode ser resolvida 
através dos métodos de Runge-Kutta. Qual é a vantagem do método de Runge-Kutta de segunda 
ordem em relação ao método de Euler? 
Ele divide o intervalo em décimos, ao contrário do método de Euler. 
Não há vantagem de um sobre o outro. 
O número de cálculos diferenciais torna-se menor. 
Ele melhora a precisão dos resultados sem diminuir muito o valor da altura do intervalo.  
9- A matemática fornece métodos formais que permitem a determinação exata das raízes de uma 
função em diversos casos. Os métodos mais conhecidos permitem a determinação das raízes de 
polinômios de até quarto grau, ou grau maior em certas condições. Em muitas situações, a 
resolução matemática necessita de intuição para que elas sejam transformadas em casos 
resolvíveis através dos métodos conhecidos. Sobre zeros de funções, classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Chamamos de zero de uma função f ao ponto f(0). 
( ) Zero de uma função e raiz de uma função são nomes diferentes para o mesmo conceito. 
( ) Toda função real possui pelo menos um zero. 
( ) Toda função polinomial real tem, pelo menos, um zero. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
F - V - F - F.   
V - V - F - V. 
F - F - V - F. 
V - F - V - V. 
10 - Um dos métodos de resolver um sistema linear é por meio da interpolação de Lagrange. De 
acordo com os dados no quadro a seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o 
polinômio interpolador obtido via método de Lagrange para a função f(x) = ln x: 
 
1,1245x² - 0,9807x - 0,1438. 
- 0,9807x² + 1,1245x - 0,1438. 
1,1245x² - 0,1438x - 0,9807. 
- 0,1438x² + 1,1245x - 0,9807.   
 
11 - Um dos métodos de aproximação estudado foi o método de regressão linear simples através 
dos mínimos quadrados. Utilizando os pontos no quadro calcule o coeficiente e assinale a 
alternativa CORRETA: 
 
- 0,0359.   
9,4142.6,0624. 
- 0,0070. 
12 - Para que uma equação do segundo grau apresente como raízes apenas números complexos, o 
discriminante deve ser negativo. Dada a equação x² - 6x + 3t = 0, determine o valor de t para que a 
equação tenha como raízes apenas números complexos e assinale a alternativa CORRETA: 
t > -3. 
t < -3. 
t > 3.   
t < 3. 
13 - A Regra do Trapézio é um método de integração numérica que permite determinar o valor 
aproximado de uma integral. Com relação à integração numérica via Regra do Trapézio e 
considerando 4 casas decimais, calcule no intervalo [1, 3] a integral da função f(x) = x·ln(x) e 
assinale a alternativa CORRETA: 
3,2958.   
2,9470. 
2,9416. 
3,3012. 
14 - Estamos acostumados a trabalhar no Cálculo Numérico com variáveis que podem assumir 
valores reais. Porém, em algumas aplicações na engenharia, principalmente na teoria das ondas 
eletromagnéticas, é necessária a aplicação de valores imaginários (complexos), daí a necessidade 
da implementação dos Sistemas Lineares Complexos. Neste sentido, sobre os Sistemas Lineares 
Complexos, assinale a alternativa CORRETA: 
Se o número complexo z for uma solução, seu conjugado também será. 
Podem ser reduzidos a sistemas lineares reais, com o dobro de equações e incógnitas.   
Exigem métodos próprios de resolução. 
Apenas possuem como soluções números reais. 
15 - Na matemática e principalmente na análise numérica, existe uma gama de algoritmos e 
processos, cujo principal fim é aproximar o valor de uma integral definida de uma função sem 
precisar utilizar uma expressão analítica para a sua primitiva. Dada uma função f qualquer, 
utilizamos algum método numérico para integrar ao invés da forma usual quando: 
É difícil ou impossível resolver a integração.   
Não temos o intervalo de integração. 
O cálculo envolve funções trigonométricas. 
Os dados não são números reais, mas complexos. 
16 - A regressão linear consiste na obtenção de uma função que tenta explicar a variação e a 
relação entre a variável dependente e a(s) variável(is) independente(s). Sobre a regressão linear 
simples e múltipla, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) A regressão linear simples é aplicada quando a função f depende de apenas uma variável. 
( ) A regressão linear múltipla é aplicada quando a função f depende de duas ou mais variáveis. 
( ) Ao contrário da regressão linear simples, a regressão linear múltipla apresenta como resultado 
uma equação de segundo grau. 
( ) Tanto a regressão linear simples como a múltipla são casos particulares do método de 
interpolação. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
V - V - F - F.   
F - V - F - V. 
V - F - V - F. 
F - F - V - V. 
17 - Às vezes, torna-se difícil encontrar graficamente os zeros de uma função f. Nesses casos, 
vimos que uma alternativa é tentar separar f em duas funções, g e h, mais simples, sob certas 
condições, cujos gráficos conseguimos traçar. Os zeros de f são exatamente os pontos em que: 
As funções g e h se anulam. 
As funções g e h interceptam o eixo X. 
As funções g e h se interceptam.   
As funções g e h interceptam o eixo Y. 
18 - No campo das ciências exatas, os sistemas de equações são utilizados na organização de 
informações, que são agrupadas em linhas e colunas, formando agrupamentos retangulares, 
chamados de matrizes. Estas matrizes, em geral, são tabelas de dados numéricos oriundos de 
observações físicas que ocorrem em vários contextos das diversas áreas do conhecimento, como: 
Matemática, Física, Química, Engenharia etc. Na sequência, será apresentado um estudo de caso 
envolvendo uma empresa que trabalha com a realização de eventos festivos: 
 
O sr. Geraldo pertence ao grupo de empresários que atuam no ramo de organização de eventos. 
Segundo o sr. Geraldo, os eventos festivos movimentam bilhões de reais por ano e, nesse caso, 
pedir ajuda para um especialista é investir para não ficar estressado. De acordo com a opinião do 
sr. Geraldo, prestar uma consultoria completa para que os clientes não fiquem perdidos em meio a 
tantas ofertas e detalhes não é mais uma novidade no mercado de serviços. A GL Organização de 
Eventos entra em jogo para organizar os custos de cada cliente e para apresentar fornecedores, 
centralizar contratos, negociar pagamentos etc. Minutos antes do evento, a empresa certifica-se 
de que todas as encomendas chegaram (das flores aos doces), cuida da organização e da festa. O 
sr. Geraldo e toda sua equipe adoram esse trabalho, tendo em vista que a recompensa de ver o 
evento animado, o cliente feliz, não tem preço. É dessa forma que cada evento é feito sob medida, 
com atendimento personalizado, flexibilidade e organização, tudo para que o sonho se torne 
realidade. Em contato com o sr. Geraldo, foi possível obter informações referentes aos seguintes 
eventos: festa de batizado, debutantes e casamento. Os gastos por evento estão relacionados na 
tabela a seguir: 
 
O batizado tem o valor de R$35.000,00. O debutantes tem o valor de R$70.000,00. E o casamento 
tem o valor de R$65.000,00. 
O batizado tem o valor de R$35.000,00. O debutantes tem o valor de R$75.000,00. E o casamento 
tem o valor de R$60.000,00. 
O batizado tem o valor de R$30.000,00. O debutantes tem o valor de R$75.000,00. E o casamento 
tem o valor de R$65.000,00. 
O batizado tem o valor de R$30.000,00. O debutantes tem o valor de R$80.000,00. E o casamento 
tem o valor de R$60.000,00.   
 
19 - ​A regressão linear é chamada "linear" porque se considera que a relação da resposta às 
variáveis é uma função linear de alguns parâmetros. Esse método de aproximação baseia-se na 
teoria dos mínimos quadrados. Utilizando os pontos no quadro calcule o coeficiente e assinale a 
alternativa CORRETA: 
 
-0,0144. 
-0,7879. 
1,3830. 
1,3929. 
 
20 - ​As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou mais variáveis e 
constantes, relacionadas através de operações de multiplicação, subtração ou adição, recebem o 
nome de polinômios. Dado o polinômio P (x) = 0,6x² + 0,9x + 1, determine seu valor para x = 0,4 e 
assinale a alternativa CORRETA: 
2,104. 
1,456.   
1,6. 
1,324.