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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AD1 – CA´LCULO III – 2014-1 Nome: Matr´ıcula: Polo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto, Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta; • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa. ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Exerc´ıcio 1 Sejam F : R −→ R3 e G : R −→ R3 as func¸o˜es vetoriais definidas por F (t) = (t, t2, 2) e G(t) = (3, t, t), respectivamente. Determine: (a) a func¸a˜o produto escalar F ·G; (b) a func¸a˜o produto vetorial F ×G. Soluc¸a˜o: (a) Por definic¸a˜o, a func¸a˜o (F ·G) : R −→ R e´ dada por (F ·G)(t) = (t, t2, 2) · (3, t, t) = 3t+ t3 + 2t = 5t+ t3 para cada t ∈ R. (b) Por definic¸a˜o, a func¸a˜o (F ×G) : R −→ R3 e´ dada por (F ×G)(t) = det ~i ~j ~kt t2 2 3 t t = (det (t2 2 t t ) ) ~i+ ( det ( 2 t t 3 ) ) ~j + ( det ( t t2 3 t ) ) ~k = (t3 − 2t)~i+ (6− t2)~j − 2t2~k para cada t ∈ R. Exerc´ıcio 2 Sejam a, b ∈ R duas constantes positivas e considere a curva C cuja parametrizac¸a˜o e´ dada por α(t) = (a cos t, asen t, bt), com t ∈ [0, 4pi]. (a) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva C no ponto P = ( a√ 2 , a√ 2 , bpi 4 ) ; CA´LCULO III AD1 2 (b) Encontre o comprimento da curva C. Soluc¸a˜o: (a) Seja t0 ∈ [0, 4pi] tal que α(t0) = P . Como a equac¸a˜o da reta tangente a` curva C em t0 e´ dada por r(t) = α(t0) + tα ′(t0), temos (a cos t0, asen t0, bt0) = P = ( a√ 2 , a√ 2 , bpi 4 ) . Da´ı, deduzimos que t0 = pi 4 . Ale´m disso, sendo α′(t) = (−asen t, a cos t, b) para todo t ∈ [0, 4pi], segue que α′ (pi 4 ) = ( − a√ 2 , a√ 2 , b ) , o que implica r(t) = α (pi 4 ) + tα′ (pi 4 ) = ( a√ 2 , a√ 2 , bpi 4 ) + t ( − a√ 2 , a√ 2 , b ) para todo t ∈ R. (b) Por definic¸a˜o, o comprimento da curva C e´ dado por L = ∫ 4pi 0 ‖α′(t)‖dt. Um vez que ‖α′(t)‖ = √ (−asen t)2 + (a cos t)2 + b2 = √ a2 + b2, conclu´ımos que L = ∫ 4pi 0 √ a2 + b2dt = 4pi √ a2 + b2. Exerc´ıcio 3 Uma part´ıcula se desloca de acordo com a func¸a˜o r = r(t), sendo v(t) = r′(t) a sua velocidade e a(t) = r′′(t) a sua acelerec¸a˜o em cada instante t ≥ 0. Suponha que r0 = (0, 0, 0) seja a posic¸a˜o inicial da part´ıcula e v0 = (2, 4, 5) seja a sua velocidade inicial. Sabendo que a acelerac¸a˜o da part´ıcula e´ dada por a(t) = (cos t, sen t, t), encontre r = r(t). Soluc¸a˜o: Observando que r(t) = (x′′(t), y′′(t), z′′(t)) = (cos t, sen t, t) para todo t ≥ 0, obtemos x′(t) = ∫ cos tdt = sen t+ C1, y′(t) = ∫ sen tdt = − cos t+ C2 e z′(t) = ∫ tdt = t2 2 + C3, onde C1, C2 e C3 sa˜o treˆs constantes reais. Mais precisamente, lembrando que v(0) = r ′(0) = (2, 4, 5), conclu´ımos que C1 = 2, C2 = 5 e C3 = 5. Finalmente, x(t) = ∫ x′(t)dt = ∫ (sen t+ 2)dt = − cos t+ 2t+K1, Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ CA´LCULO III AD1 3 y(t) = ∫ y′(t)dt = ∫ (− cos t+ 5)dt = −sen t+ 5t+K2 e z(t) = ∫ z′(t)dt = ∫ ( t2 2 + 5)dt = t3 6 + 5t+K3, onde K1, K2 e K3 sa˜o treˆs constantes reais. Como r(0) = (0, 0, 0), segue que K1 = 1, K2 = 0 e K3 = 0, donde r(t) = ( − cos t+ 2t+ 1,−sen t+ 5t, t 3 6 + 5t ) . Exerc´ıcio 4 Caso existam, calcule os seguintes limites: (a) lim t→0 ( 1− cos t t2 , 1− cos t t ) ; (b) lim t→−∞ ( et, 1 t , √ 2t2 + 3− √ 2t2 + t+ 3 ) . Soluc¸a˜o: (a) Inicialmente, observemos que lim t→0 1− cos t t2 = lim t→0 (1− cos t)(1 + cos t) t2(1 + cos t) = lim t→0 1− cos2 t t2(1 + cos t) = lim t→0 sen 2t t2(1 + cos t) = lim t→0 [(sen t t )2( 1 1 + cos t )] = 1 2 , (2) o que decorre do limite triginome´trico fundamental lim t→0 sen t t = 1. De forma inteiramente ana´loga, tambe´m obtemos lim t→0 1− cos t t = lim t→0 [(sen t t ) (sen t) ( 1 1 + cos t )] = 0, ou seja, lim t→0 ( 1− cos t t2 , 1− cos t t ) = ( 1 2 , 0 ) . (b) Ja´ sabemos que lim t→−∞ et = 0 e lim t→−∞ 1 t = 0. Ale´m disso, como ‖t‖ = −t para todo t < 0, vem que Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ CA´LCULO III AD1 4 lim t→−∞ √ 2t2 + 3− √ 2t2 + t+ 3 = lim t→−∞ [ ( √ 2t2 + 3−√2t2 + t+ 3)(√2t2 + 3 +√2t2 + t+ 3)√ 2t2 + 3 + √ 2t2 + t+ 3 ] = lim t→−∞ (2t2 + 3)− (2t2 + t+ 3)√ t2 ( 2 + 3 t2 ) + √ t2 ( 2 + 1 t + 3 t2 ) = lim t→−∞ −t |t| √ 2 + 3 t2 + |t| √ 2 + 1 t + 3 t2 = lim t→−∞ 1√ 2 + 3 t2 + √ 2 + 1 t + 3 t2 = 1 2 √ 2 . Portanto, lim t→−∞ ( et, 1 t , √ 2t2 + 3− √ 2t2 + t+ 3 ) = ( 0, 0, 1 2 √ 2 ) . Exerc´ıcio 5 Seja C a curva de intersec¸a˜o entre as esferas x2+y2+z2 = −ax+a 2 4 e x2+y2+z2 = ax, onde a ∈ R− {0}. (a) Determine uma parametrizac¸a˜o para C; (b) Determine o comprimento de C. Soluc¸a˜o: Se P = (x, y, z) ∈ R3 pertence a intersec¸a˜o entre as duas superf´ıcies dadas, enta˜o x2 + y2 + z2 = −ax+ a 2 4 e x2 + y2 + z2 = ax, o que implica ax = −ax+ a2 4 . Assim, devemos ter x = a 8 e y2 + z2 = ax− x2 = a 2 8 − a 2 64 = 7a2 64 = (√ 7 8 a )2 . Logo, podemos parametrizar C pondo α(t) = (x(t), y(t), z(t)) = ( a 8 , √ 7 8 a cos t, √ 7 8 asen t ) , com t ∈ [0, 2pi]. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ CA´LCULO III AD1 5 Sendo α = α(t) a parametrizac¸a˜o de C obtida no item anterior, sabemos que α′(t) = ( 0,− √ 7 8 asen t, √ 7 8 a cos t ) e ‖α′(t)‖ = √√√√02 +(−√7 8 a )2 + (√ 7 8 a cos t )2 = |a|√7 8 . Consequentemente, o comprimento de C e´ dado por L = ∫ 2pi 0 ‖α′(t)‖dt = pi|a| √ 7 4 . Exerc´ıcio 6 Sejam X um subconjunto de R e considere duas func¸o˜es vetoriais deriva´veis F : X −→ R3 e G : X −→ R3. Mostre que: (a) a func¸a˜o produto escalar (F ·G) : X −→ R e´ deriva´vel e e´ va´lida a relac¸a˜o d dt (F ·G) = dF dt ·G+ F · dF dt ; (b) se existir k ∈ R tal que ‖F (t)‖ = k para todo t ∈ X, enta˜o F · dF dt = 0. Soluc¸a˜o: Na resoluc¸a˜o de ambos os itens, ponhamos F (t) = (F1(t), F2(t), F3(t)) eG(t) = (G1(t), G2(t), G3(t)) para todo t ∈ X. (a) Por definic¸a˜o, (F ·G)(t) = F1(t)G1(t) + F2(t)G2(t) + F3(t)G3(t). Como, para cada i ∈ {1, 2, 3}, as func¸o˜es Fi : X −→ R e Gi : X −→ R sa˜o deriva´veis, segue da regra derivac¸a˜o para func¸o˜es reais de uma varia´vel real que (FiGi) ′(t) = F ′i (t)Gi(t) + Fi(t)G ′ i(t) para todo t ∈ X. Portanto, (F ·G)′(t) = (F1G2)′(t) + (F2G2)′(t) + (F3G3)′(t) = F ′1(t)G1(t) + F1(t)G ′ 1(t) +F ′2(t)G2(t) + F2(t)G ′ 2(t) +F ′3(t)G3(t) + F3(t)G ′ 3(t) = (F ′1(t), F ′ 2(t), F ′ 3(t)) · (G1(t), G2(t), G3(t)) +(F1(t), F2(t), F3(t)) · (G′1(t), G′2(t), G′3(t)) = F ′(t) ·G(t) + F (t) ·G′(t) para todo t ∈ X, isto e´, a fo´rmula utilizada para derivar o produto de duas func¸o˜es escalares pode ser estendida para derivarmos o produto escalar de duas func¸o˜es vetoriais. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ CA´LCULO III AD1 6 (b) Por definic¸a˜o, ‖F (t)‖ = √ F (t) · F (t) para todo t ∈ X. Logo, utilizando o item (a) para derivar (com respeito a t) os membros da igualdade k2 = ‖F (t)‖2 = F (t) · F (t), obtemos 0 = ddt (k2) = d dt [F (t) · F (t)] = dF dt (t) · F (t) + F (t) · dF dt (t) = 2F (t) · dF dt (t) para todo t ∈ X. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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