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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
Aula 5 – Álgebra Booleana 
AULA 5 – Álgebra Booleana 
ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
ESTRUTURA DA DISCIPLINA 
AULA 1 – Fundamentos 
AULA 2 – Sistemas de Numeração 
AULA 3 – Representação de dados 
AULA 4 – Lógica Digital 
AULA 5 – Álgebra Booleana 
AULA 6 – Modelo de Von Neumann 
AULA 7 – Conjunto de Instruções 
AULA 8 – Processador 
AULA 9 – Memória 
AULA 10 – Dispositivos de Entrada e Saída 
AULA 5 – Álgebra Booleana 
ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
Conteúdo Programático AULA 5 
 Postulados e propriedades da Álgebra de 
Boole 
 
 Simplificação de expressões 
 
AULA 5 – Álgebra Booleana 
ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
Um pouco de história 
 
O inglês George Boole é considerado 
o pai da lógica simbólica. 
Desenvolveu o primeiro sistema 
formal para raciocínio lógico (lógica 
booleana) semelhante ao sistema 
algébrico. 
 
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
 A Álgebra Booleana é uma área da Matemática que trata de regras e 
elementos de lógica 
 
 A Álgebra Booleana trata de variáveis e de operações com estas 
variáveis, utilizando valores binários 0 e 1. 
 
 O valor 1 equivale à condição verdadeira e o valor 0 à condição falsa 
 
 Uma expressão lógica pode ser simplificada garantindo, assim, circuitos 
mais simples e mais baratos de serem produzidos 
 
 Essa simplificação é realizada utilizando os postulados e propriedades da 
álgebra de Boole 
Álgebra Booleana 
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 1 
0 * 1 = 0 
1 * 0 = 0 
0 * 0 = 0 
0 = 1 
1 = 0 
Álgebra Booleana – Postulados 
1 * 1 = 1 
OR AND NOT 
AULA 5 – Álgebra Booleana 
ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
1) X + 0 = X 
2) X + 1 = 1 
3) X + X = X 
4) X + X = 1 
5) X * 0 = 0 
6) X * 1 = X 
7) X * X = X 
8) X * X = 0 
9) X = X 
Álgebra Booleana – Propriedades 
AULA 5 – Álgebra Booleana 
ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
1) X + 0 = X 
2) X + 1 = 1 
3) X + X = X 
4) X + X = 1 
5) X * 0 = 0 
6) X * 1 = X 
7) X * X = X 
8) X * X = 0 
9) X = X 
Exemplo : X=10 
10 + 00 = 10 
10 + 11 = 11 
10 + 10 = 10 
10 + 01 = 11 
10 * 00 = 00 
10 * 11 = 10 
10 * 10 = 10 
10 * 01 = 00 
100110 
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10) X + Y = Y + X 
11) X * Y = Y * X 
12) X+(Y+Z) = (X+Y)+Z 
13) X*(Y*Z) = (X*Y)*Z 
14) X*(Y + Z) = (X*Y) + (X*Z) 
Álgebra Booleana - Propriedades 
COMUTATIVA 
ASSOCIATIVA 
15) X+(Y * Z) = (X+Y) * (X+Z) 
DISTRIBUTIVA 
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17) X + (X * Y) = X 
18) X * (X + Y) = X 
Álgebra Booleana - Propriedades 
ABSORÇÃO 
19) X + (X * Y) = X + Y 
20) X * (X + Y) = X * Y 
21) X + Y = X * Y 
22) X * Y = X + Y 
MORGAN 
CONSENSO 
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X + (X * Y) = X * 1 + X * Y (6) X * 1 = X 
 = X * (Y + Y) + X * Y (4) Y + Y = 1 
 = X * Y + X * Y + X * Y (14) X * (Y + Y) = X * Y + X * Y 
 = (X * Y + X * Y ) + X * Y (10) X + Y = Y + X 
 = X * Y + X * Y (3) (X * Y + X * Y) = X * Y 
 = X * ( Y + Y ) (14) X * (Y + Y) = X * Y + X * Y 
 = X * 1 (4) Y + Y = 1 
 = X (6) X * 1 = X 
 
 
 
 
Provando a regra17: X + (X * Y ) = X 
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
Provando a regra17: X + (X * Y) = X 
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
 X + (X * Y) = X * 1 + X * Y (6) X * 1 = X 
 = X * (Y + Y) + X * Y (4) Y + Y = 1 
 = X * Y + X * Y + X * Y (14) X * (Y + Y) = X * Y + X * Y 
 = (X * Y + X * Y) + X * Y + X * Y (3) X + X = X 
 = (X *Y + X * Y) + (X * Y + X * Y) (10) X + Y = Y + X 
 = X * ( Y + Y ) + (X + X) * Y (14) X * (Y + Y) = X * Y + X * Y 
 = X * 1 + 1 * Y (4) X + X = 1 
 = X + Y (6) X * 1 = X 
 
 
 
 
Provando a Regra19: X + (X * Y) = X + Y 
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
Provando a Regra19: X + (X * Y) = X + Y 
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
 
X + Y = X * Y 
 
( X + Y ) * (X + Y) = X * Y * (X + Y) 
 0 = X * Y * (X + Y) Distributiva 
 0 = X * Y * X + X * Y * Y (8) X * X = 0 
 0 = 0 * Y + 0 * X (5) X * 0 = 0 
 
Que tal provar que X * Y = X + Y ? 
Provando a Lei de Morgan: X + Y= X * Y 
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X =(A + B) * B 
Simplificando a expressão... 
A 
B 
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X =(A + B) * B 
X = (A + B) * B (Morgan) (X * Y) = X + Y 
 
X = (A + B) + B (Morgan) (X + Y) = X * Y 
 
X = (A * B) + B (9) X = X 
 
X = (A * B) + B (19) X + (X * Y ) = X+Y 
 
X = A + B 
Simplificando a expressão... 
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
X =(A + B) * B 
Simplificando a expressão... 
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
X =(A + B) * B 
Simplificando a expressão... 
X 
A 
B 
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X =(A + B) * B  X = A + B 
Simplificando a expressão... 
A 
B 
X 
A 
B 
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
Praticando - Simplificações  
1) X = ABC + AB + AC 
 
 
 
 
 
 
 
2) X = ABC + ( A + B + C) 
 
 
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
Praticando - Simplificações  
1) X = ABC + AB + AC 
 
 X = A (BC + B + C) (Distributiva) 
 
 
 
 
 
2) X = ABC + ( A + B + C) 
 
 
AULA 5 – Álgebra Booleana 
ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
Praticando - Simplificações  
1) X = ABC + AB + AC 
 
 X = A (BC + B + C) (Distributiva) 
 X = A (BC + BC ) (Morgan) 
 
 
 
 
2) X = ABC + ( A + B + C) 
 
 
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
Praticando - Simplificações  
1) X = ABC + AB + AC 
 
 X = A (BC + B + C) (Distributiva) 
 X = A (BC + BC ) (Morgan) 
 X = A ( 1 ) (4) X + X = 1 
 
 
 
2) X = ABC + ( A + B + C) 
 
 
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
Praticando - Simplificações  
1) X = ABC + AB + AC 
 
 X = A (BC + B + C) (Distributiva) 
 X = A (BC + BC ) (Morgan) 
 X = A ( 1 ) (4) X + X = 1 
 X = A (6) X * 1 = X 
 
 
2) X = ABC + ( A + B + C) 
 
 
AULA 5 – Álgebra Booleana 
ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
Praticando - Simplificações  
1) X = ABC + AB + AC 
 
 X = A (BC + B + C) (Distributiva) 
 X = A (BC + BC ) (Morgan) 
 X = A ( 1 ) (4) X + X = 1 
 X = A (6) X * 1 = X 
 
 
2) X = ABC + ( A + B + C) 
 
 X = ABC A + ABC B + ABC C (Distributiva) 
 X = 0 + 0 + ABC C (8) X*X = 0 
 X = ABC C (1) X + 0 = X
 X = ABC (7) X* X = X 
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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES 
Praticando - Simplificações  
3) X = A . B . C (A+B+C ) 
 
 X = A. B . C . A + A . B . C . B + A . B . C . C (Distributiva) 
 
 X = 0 + 0 + A . B . C . C (8) X * X = 0 
 
 X = A . B . C . C (1) X + 0 = X 
 
 X = A . B . C (7) X * X = X 
 
 X = (A . B) + C (Morgan) 
 
 X = A + B + C (Morgan)X = A + B + C (9) X = X 
 
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RESUMINDO 
• Operações lógicas combinadas 
 
•Regras semelhantes a álgebra 
 
•Resultados: Verdadeiro (1) ou Falso (0) 
 
•Atenção: não confundir operações lógicas com algébricas 
 
•Você deve praticar!