Derivadas Parciais - Lista CLC B Jardel

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
MTM 5162 - CA´LCULO B
Unidade 4: Exerc´ıcios-Lista 2
Prof. Jardel Morais Pereira
1. Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
(a) f(x, y) = ln (x+
√
x2 + y2) (b) f(x, t) = esen (t/x)
(c) u(x, t, θ) = x e−t sen θ (d) f(x, y, z, t) =
x− y
z − t
(e) u(x1, · · · , xn) = sen (x1 + 2x2 + · · ·+ nxn) (f) f(x, y) = arc tg (y/x)
(g) u(x, y, z) = xy/z
2. Determine as derivadas parciais indicadas.
(a) f(x, y) =
√
x2 + y2; fx(3, 4) (b) f(x, y, z) = x/(y + z); fx(3, 2, 1)
(c) f(x, y) =

x3y−xy3
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
fx(0, 0)e fy(0, 0).
3. Determine as derivadas parciais de segunda ordem.
(a) z =
x
x+ y
(b)u = e−s sen t (c) f(x, y) = arc sen (xy) (d) f(x, y) = ln (x2 + y)
4. Determine as derivadas parciais indicadas.
(a) f(x, y) = exy
2
; fxxy (b) f(x, y, z) = x5 + x4y4z3 + yz2; fxyz&
(c) z = x sen y;
∂3z
∂y2∂x
(d) u = ln (x+ 2y2 + 3z3);
∂3u
∂x∂y∂z
5. Se f e g sa˜o func¸o˜es duas vezes diferencia´vel de uma u´nica varia´vel, mostre que a func¸a˜o
u(x, t) = f(x+ ct) + g(x− ct)
e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o da onda unidimensional ut = c2 uxx.
6. A energia cine´tica de um corpo de massa m e velocidade v e´ K = 12mv. Mostre que
∂K
∂m
∂2K
∂v2
= K
7. O elipso´ide 4x2 + 2y2 + z2 = 16 intercepta o plano y = 2 em uma elipse. Determine as
equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a` elipse no ponto (1, 2, 2).
8. Use a Regra da Cadeia para determinar dzdt ou
dw
dt .
1
(a) z = senx cos y, x = pit, y =
√
t (b) w = x ey/z, x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t
9. Use a Regra da Cadeia para determinar ∂z∂s ou
∂z
d∂t .
(a) z = arc tg (2x+ y), x = s2t, y = s ln t (b) z = ercos θ, r = st, θ =
√
s2 + t2
10. Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas indicadas.
(a) w = x2 + y2 + z2, x = st, y = u+ tv2; ∂w∂s ,
∂w
∂t , quando s = 1, t = 0
(b) z = y2 tgx, x = t2uv, y =
√
s2 + t2; ∂z∂s
∂z
∂u ,
∂z
∂v quando t = 2, u = 1, v = 0
(c) u = x+yy+z , x = p+ q + t, y = p+ r − t; ∂u∂p , ∂u∂r , ∂u∂t
11. A temperatura em um ponto (x, y) e´ T (x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja
de modo que sua posic¸a˜o depois de t segundos e´ dada por x =
√
1 + t, y = 2 + 13 t, onde x e y
sa˜o medidas em cent´ımetros. A func¸a˜o temperatura satisfaz Tx(2, 3) = 4 e Ty(2, 3)3. Qua˜o
ra´pido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos.
12. Se z = f(x, y), onde x = r cos θ e y = r sen θ, mostre que
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
=
∂2z
∂r2
+
1
r2
∂z2
∂θ2
+
1
r
∂z
∂r
13. Uma func¸a˜o e´ dita homogeˆnea de grau n se satisfaz a equac¸a˜o f(tx, ty) = tnf(x, y),
para todo valor de t, onde n e´ um inteiro positivo e f tem derivadas parciais de primeira
ordem cont´ınuas.
(a) Verifique que f(x, y) = x2y + 2xy2 + 5y3 e´ homogeˆnea de grau 3.
(b) Mostre que se f e´ homogeˆnea de grau n, enta˜o
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= nf(x, y)
(c) Generalize o resultado de (b) para func¸o˜es de n varia´veis.
Respostas: 1. (a) ∂z∂x = 1/
√
x2 + y2 ; ∂z∂y = y/(x
2 + y2 + x
√
x2 + y2) (b) ∂z∂x =
−esen (t/x) t
x2
; ∂z∂t = e
sen (t/x) 1
x (c)
∂u
∂x = −e−tsen θ ; ∂u∂t = −xe−t ; ∂u∂θ = xe−tcos θ (d) fx =
1/(z − t), fy = x/(x2 + y2) (e) ∂u∂xj = j cos (x1 + 2x2 + · · · + nxn), j = 1, · · · , n 1.
(g) ∂u∂x =
y
xx
y
x
−1 ; ∂u∂y = x
y
x
lnx
z ;
∂u
∂z = −x
y
x
y lnx
z2
=
2. (a) 3/5 (b) −13 (c) 0, 0
3. (a) zxx = −2y/(x+y)3 ; zxy = zyx = (x−y)/(x+y)3 ; zyy = 2x/(x+y)3 (b) uss =
e−tsen t ; ust = uts = −e−stcos t ; utt = e−ssen t (c) fxx = xy3/
√
(1− x2y2)3 ; fxy =
fyx = 1/
√
(1− x2y2)3 ; fyy = x3y/
√
(1− x2y2)3 (d) fxx = 2(y − x2)/(x2 + y)2 ; fxy =
fyx = −2x/(x2 + y)2 ; fyy = −1/(x2 + y)2
4. (a) fxxy = exy
2
(8x3y3 +8x2y+4xy2 +2) (b) fxyz = 4x3y3z2 (c) ∂
3z
∂y2∂x
= −sen y
(d) ∂
3u
∂x∂y∂z = 72yz
2/(x+ 2y2 + 3z3)3
5. Use a Regra da Cadeia duas vezes.
2
6. Use a Regra da Cadeia.
7. x = 1 + t, y = 2, z = 2− 2t. Primeiro ache a equac¸a˜o na forma z = mx+ d, y = 2,
onde m = ∂z∂x
∣∣
(1,2,2)
8. (a) dzdt = pi cosx cos y − (senx sen y)/2
√
t (b) dwdt = e
y/z(2t− xz − 2xyz2 )
9. (a) ∂z∂s =
4st+ln t
1+(2x+y)2
; ∂z∂t =
2s2+s/t
1+(2x+y)2
(b) ∂z∂s = e
r(t cos θ − s√
s2+t2
sen θ) ; ∂z∂t =
er(s cos θ − t√
s2+t2
sen θ)
10. (a) 2, 0 (b) 0, 0, 4 (c) ∂u/∂p = 2(z−x)/(y+z)2 = −t/p2 ; ∂u/∂r = 0 ; ∂u/∂t =
2/(y + z) = 1/p
11. 2◦C/s
3