8 Variável aleatória

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8 VARIÁVEL ALEATÓRIA
Definição: Sejam E um experimento e 
 o espaço amostral associado a esse experimento. Uma função X, que associe a cada elemento 
 um número real 
 é denominado variável aleatória.
Exemplo: Seja uma família com duas crianças.
(a) Escreva todas as situações possíveis de ocorrer quanto ao sexo das crianças.
(b) Seja a variável aleatória X que representa o número de meninos. Determine os possíveis valores de X.
8.1 Tipos de Variáveis Aleatórias
Uma variável aleatória X é dita discreta quando seu contradomínio 
 é um conjunto finito ou infinito enumerável.
Uma variável aleatória X é dita contínua quando seu contradomínio 
 é um conjunto infinito.
8.2 Função de Probabilidade
Seja X uma variável aleatória (v.a.) discreta. A cada resultado possível 
 associaremos um número 
, denominado de probabilidade de 
. A função p é denominada de função de probabilidade da variável aleatória X.
De modo geral, 
 é uma função de probabilidade se:
	(i) 
	(ii) 
O conjunto de pares 
 é denominado de distribuição de probabilidade de X. O gráfico de 
 é chamado de gráfico de probabilidade.
Exemplos
1) Seja E o evento “lançamento de duas moedas” e X a variável aleatória que representa o número de “caras” que aparecem.
a) Determine o espaço amostral 
;
b) Determine os valores possíveis de X;
c) Determine a função de probabilidade correspondente à v.a. X;
d) Construa o gráfico de probabilidade.
2) Na construção de um certo prédio, as fundações devem atingir 15 metros de profundidade e, para cada 5 metros de estacas colocadas, o operador anota se houve alteração no ritmo de perfuração previamente estabelecido. Essa alteração é resultado de mudanças para mais ou para menos, na resistência do subsolo. Nos dois casos, medidas corretivas serão necessárias, encarecendo o custo da obra. Com base em avaliações geológicas, admite-se que a probabilidade de ocorrência de alterações é de 0,1 para cada 5 metros. O custo básico inicial é de 100 UPCs (unidade padrão de construção) e será acrescido de 
, com k representando o número de alterações observadas. Como se comporta a variável custo das obras de fundação?
8.3 Função de Distribuição de Probabilidade
A função de distribuição de probabilidade, ou função acumulada de probabilidade, de uma variável aleatória X é definida como:
onde x é um número real.
Se X for discreta, podemos escrever: 
Se X assume apenas um número finito de valores 
, então a distribuição de probabilidade é dada por:
Exemplo
Uma população de 1000 crianças foi analisada num estudo para determinar a efetividade de uma vacina contra um tipo de alergia. No estudo, as crianças recebiam uma dose de vacina e, após um mês, passava por um novo teste. Caso ainda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose da vacina. Ao fim de 5 doses todas as crianças foram consideradas imunizadas. Os resultados completos estão na tabela a seguir.
	Doses
	1
	2
	3
	4
	5
	Freqüência 
	245
	288
	256
	145
	66
a) Determine a função de probabilidade da v.a. X que conta o número de doses recebidas.
b) Determine a função de distribuição da v.a. X, e faça sua representação gráfica.
8.4 Propriedades da Função de Distribuição 
(1) 
 
(2) 
(3) 
(4) 
 é uma função não-decrescente, isto é, se 
(5) 
 sendo 
(6) 
(7) 
8.5 Função Densidade de Probabilidade
Seja X uma variável aleatória contínua. Define-se função densidade de probabilidade como sendo a função f que satisfaz as seguintes propriedades:
	(i) 
	(ii) 
A propriedade (ii) indica que a área total limitada pela curva que representa 
 e o eixo das abscissas é igual a 1.
Seja o intervalo 
. Então, a probabilidade de um certo valor x pertencer a esse intervalo será dada por:
Exemplos
 
1) Considere a função 
.
a) Determinar a constante c de modo que a função seja uma f.d.p.
(b) Calcule 
2) Seja X uma variável contínua, cuja f.d.p. é dada por 
. Calcular:
a) 
		
b) 
		
c) Represente graficamente a f.d.p.
3) Num teste educacional com crianças, o tempo para a realização de uma bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e anotado para ser comparado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera T, tempo de teste em minuto, como uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
a) Verifique se essa função é realmente um f.d.p.
b) Represente graficamente a f.d.p. da v.a. T.
c) Calcule 
.
8.6 Função de Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua
Sendo X uma variável aleatória contínua com f.d.p. 
, a função de distribuição de X será:
Quando a função de distribuição acumulada 
 de uma v.a. contínua X for conhecida, pode-se determinar a função densidade de probabilidade fazendo:
.
Exemplos
1) Determine a f.d.p. da v.a. contínua X, que tem a seguinte função de distribuição:
.
2) A função distribuição de uma variável aleatória X é: 
. Determine:
(a) A f.d.p. da v.a. X.
(b) 
(c) 
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