Factorização de Expressões Algébricas

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Matemática Elementar 
 
 
 
1 
Autor: HUGO DAVID GIMÉNEZ AYALA 
 Factorização 
 
Definição: Fatorar uma expressão algebrica é descompo-la num produto de expressões algebricas mais simples. 
Assim, chama-se fatores ou divisores de uma expressão algebrica às expressões que multiplicadas entre sí 
dão como produto la 1ra expressão 
 
Exemplos: I) 6x2 – 5x – 6 = (2x – 3) (3x + 2) 
 
 II) m4 – n4 = (m2 + n2) (m + n) (m – n) 
 
III) a5 – x5 = (a – x) (a4 + a3x + a2x2 + ax3 + x4) 
 
IV) a5 + b5 = (a + b) (a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4) 
 
 V) a4 – b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3) 
 
• Caso: Trinomio da forma x2 + bx + c. 
• x2 + 5x – 24= (x+ a)(x-b) onde a e b são tais que a+b=5 e ab=-24. Ao decompor o termo constante 24. 
 =(x + 8)(x-3), +8 sinal do termo linear, -3 produto de sinais. 
• x2 -11x +28= (x- a)(x-b) onde a e b são tais que a+b=-11 e ab=-28. Ao decompor o termo constante 28. 
 =(x -7)(x-4), -7 sinal do termo linear, -4 produto de sinais. 
 
• Caso: Trinomio da forma ax2 + bx + c. 
 
O trinômio cujo 1o coeficiente distinto de 1. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios. 
 
1) 2x2 + 3x – 2 
2) 2y2 + 29y + 90 
3) 2m2 + 11m + 5 
4) 2a2 + a – 3 
5) 2n2 + 5n + 2 
6) 2a2 – 7a + 3 
7) 3x2 – 5x – 2 
8) 3a2 + 7a – 6 
9) 3x2 – 7x – 10 
10) 3y2 + 9y + 6 
11) 3a2 – 13a – 30 
12) 4a2 + 15a + 9 
13) 4m2 + m – 33 
14) 5y2 – 2y – 7 
15) 5x2 + 13x – 6 
16) 6n2 – 7n – 3 
17) 6x2 + 7x + 2 
18) 6a2 – 5a – 6 
19) 7y2 – 23y + 6 
20) 7x2 – 44x – 35 
21) 8a2 – 14a – 15 
22) 9n2 + 10n + 1 
23) 9y2 – 21y + 12 
24) 9x2 + 37x + 4 
25) 10a2 + 11a + 3 
26) 10m2 – m – 2 
27) 10x2 + 7x – 12 
28) 12m2 – 13m – 35 
29) 12x2 – x – 6 
30) 12x2 – 7x – 12 
31) 14m2 – 31m – 10 
32) 15n2 + n – 6 
33) 15m2 + 16m – 15 
34) 15a2 – 8a – 12 
35) 15b2 – 16b + 4 
36) 18a2 – 13a – 5 
37) 20x2 + 7x – 6 
38) 20y2 + y – 1 
39) 20m2 + 44m – 15 
40) 20n2 – 9n – 20 
41) 20a2 – 7a – 40 
42) 21x2 + 11x – 2 
43) 30m2 + 13m – 10 
44) 6x4 + 5x2 – 6 
45) 7y4 – 33y2 – 10 
46) 8n4 – 2n2 – 15 
47) 10m4 – 23m2 – 5 
48) 12a4 – 19a2 – 18 
49) 14m4 – 45m2 – 14 
50) 15x4 – 11x2 – 12 
51) 15a4 – 17a2 – 4 
52) 2a6 + 5a3 – 12 
53) 5x6 + 4x3 – 12 
54) 7m6 – 33m3 – 10 
55) 2a2 + ab – 3b2 
56) 4m2 – 20mn + 9n2 
57) 4x2 – 11xy + 6y2 
58) 5a2 – 2ab – 7b2 
59) 6a2 + 13ab + 6b2 
60) 6x2 – 11ax – 10a2 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 
3 
5 4m 7 3m 
12
5 4m3 7 3m4 
12
15 12m 28 12m 
1 1 
12
420 12m13 144x 
12
35 12 12m1312m 35 13m 12m II)
1 
2 
2 3x 3 2x 
6
2 3x2 3 2x 3 
1 1 
6
4 6x 9 6x 
6
36 6x5 36x 
6
6 6 6x5 6x 6 5x 6x I)
22
2
22
2
/
+−=
+/⋅−/
=
+−
=
−−
=
⋅−−
=−−
/
+−=
/
+/⋅−/
=
+−
=
−−
=
⋅−−
=−−
 
2 
61) 6m2 – 13am – 15a2 
62) 6a2 – ax – 15x2 
63) 9x2 + 6xy – 8y2 
64) 15m2 – am – 2a2 
65) 18a2 + 17ay – 15y2 
66) 20a2 – 27ab + 9b2 
67) 21x2 – 29xy – 72y2 
68) 30a2 – 13ab – 3b2 
69) 30m2 + 17am – 21a2 
70) 4a4 – 10a2b + 6b2 
71) 4x4 – 12x2y + 5 y2 
72) 4a4 – 20a2b + 9 b2 
73) 6m4 + 13m2n + 6n2 
74) 9x4 + 6x2y – 8y2 
75) 15m4 – am2 – 2a2 
76) 12x2 – 19xy2 – 18y4
 
 
• Caso: Soma o Diferencia de potencias de igual grado con exponente par o impar. 
a) Suma de potencias de igual grado con exponente par. 
No se puede factorear; pues la suma de potencias de igual grado de exponente par nunca es divisible 
ni por la suma ni por la diferencia de sus bases. 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
b) Soma de potencias de igual grau , expoente impar. 
En éste caso; la suma de potencias de igual grado de exponente impar únicamente es divisible por la 
suma de sus bases. 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios de aplicación. 
 
1) x3 + 1 
2) y3 + 1 
3) a3b3x3 + 1 
4) a3 + 8 
5) m3 + 27 
6) x3 + 125 
7) n3 + 1.000 
8) m3 + 8a3x3 
9) x3 + y3 
10) 8a3 + b3 
11) 27m3 + n3 
12) 8x3 + 27y3 
13) 8a3 + 125b3 
14) 27m3 + 8n3 
15) 343 + 8a3 
16) 1 + a3 
17) 1 + 216b3 
18) 1 + 343n3 
19) a5 + 243 
20) x5 + 32 
21) m5 + 32 
22) b5 + 1/32 
23) a5 + 32b5 
24) a5 + b5c5 
25) a5 + b5 
26) a5 + x5 
27) b5 + y5 
28) m5 + n5 
29) x5 + m5 
30) x5 + y5 
31) 32x5 + 1 
32) 1 + 243 y5 
33) a7 + 1 
34) n7 + 128 
35) y7 + 2.187 
36) a7 + b7 
37) m7 + n7 
38) x7 + y7 
39) 1 + x7 
40) 1 + 128a7 
 
c) Diferença de potencias de igual grau com expoente par. 
Divisivel pela soma e pela diferença das bases. Também chamado como diferença de quadrados ( o 
mais usado). 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios de aplicación. 
 
1) a4 – 1 
2) n4 – 81 
3) b4 – 625 
4) a4 – b4c4 
5) x4 – y4 
6) m4 – n4 
7) a4x4 – m4 
8) x4 – 16m4n4 
9) 16m4 – 81n4 
10) 81x4 – 16y4 
11) 625 – n4 
12) a6 – 1 
13) m6 – 64 
14) x6 – 729 
15) b6 – 729 
16) x6 – a6y6 
17) a6 – b6 
18) x6 – y6 
19) 729a6 – 1 
20) 1 – a6b6 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )16 8m 4m 2m m 2 m 
16 8m 4m 2m m 2 m 
2 m 
2 2m 2m 2m m 2 m 32 m II)
b a 
b ab ba ba a b a b a I) 
234
234
4322345
43223455
+−+−+=
+−+−+=
+−+−+=+
+−+−+=+
división. la exacta es no 
b a
b a II)
división. la exacta es no 
b a
b a I) 
44
44


−
+
+
+
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
n m n m 
n m n m n m n m n m n m III)
y x 
y xy y x y xy x x y x y xII) 
b a 
b ab ba a b a b a I) 
22
22222244
5432234566
322344
−++=−+=−
+++++−=−
−+−+=−
 
 
 
21) 64 – x6 22) a8 – b8 23) m8 – n8 24) x8 – y8 25) 1 – a8 
d) Diferença de potencias de igual grau com expoente impar. 
A diferença de potencias do mesmo grau de expoente impar únicamente é divisível pela diferença 
das bases. 
Ejemplos(*) 
Ejercicios de aplicación. 
 
1) a3 – 1 
2) y3 – 1 
3) a3 – 8 
4) x3 – 27 
5) b3 – 64 
6) x3 – 216 
7) a3 – 125 
8) b3 – 8a3 
9) a3 – b3 
10) x3 – y3 
11) m3 – 8n3 
12) 8x3 – 1 
13) 8m3 – 1 
14) 27a3 – 1 
15) 1.000y3 – 1 
16) 8x3 – 125 
17) 64a3 – 729 
18) 27a3 – b3 
19) 27m3 – n3 
20) 8m3 – 27n3 
21) 1 – b3 
22) 1 – 8x3 
23) 1 – 27a3b3 
24) 1 – 216m3 
25) a5 – 1 
26) m5 – 32n5 
27) a5 – b5 
28) a5 – x5 
29) a5 – 243b5 
30) 32m5 – 1 
31) 1 – x5 
32) 1 – 32y5 
33) 32 – m5 
34) 243 – 32b5 
35) a7 – 1 
36) x7 – 1 
37) n7 – 128 
38) x7 – y7 
39) m7 – a7x7 
40) a7 – 128b7 
41) 1 – y7 
42) 1 – 128a7 
 
 
Parte: Pré-Cálculo 
e) Calcule as raízes das equações. Resolver por fatoração ou completando quadrados 
 
1. 6x2 + 7x – 20=0. 
2. x2 - 12x – 28=0, 
3. (2x-1) 2 = x2 + 5 
4. 2(x2 - 2x) = 5 
9. 2 4 3 1 3x x x+ + + = + 
11. 
2 2( 3) ( 2) 2 3
4 3
x x x+ −− = + 
5. x(x-1) = 3, 
6. 5x² + 6x + 1 = 0. 
7. 7x2 -5x -2=0. 
8. 2 3 2 1x x x+ − − = + 
10. 
2 2( 3) ( 2) 2 5
8 3
x x x+ −− = − 
 
 
f) Resolver 
1. -7<2x-3 <7 
2. 5x-2 >7x+4 
3. 2< x+6 < 9 
 
4. 2(5-3x) + 3(2x -1) < 2x+1 
5. |x2 –x| >12 
6. | x2 – 2x |= 3 
 
7. 2 x2 +3x < 20 
8. | 5x – 2| = 2(x+2) 
9. 2x +1 < x2 -2 < 4x+ 3 
10. |x+5| + | x-3|= 8 
 
 
f) Determine graficamente os conjuntos. Indicaro domínio e a imagem das relações. 
 
1. f ={ ( , ) :x y x∈R R x2 = y2 } 
2. f ={ ( , ) :x y x∈R R x2 < y2 } 
3. f ={ ( , ) :x y x∈R R |x| = |y| } 
4. f ={ ( , ) :x y x∈R R x2 < y } 
5. f ={ ( , ) :x y x∈R R x2 –x > y } 
6. f ={ ( , ) :x y x∈R R x2 > y } 
7. f ={ ( , ) :x y x∈R R x2 -4 <y } 
8. f ={ ( , ) :x y x∈R R 2x+3y< 6 } 
9. f ={ ( , ) :x y x∈R R 2x- 3y> 6 } 
10. f ={ ( , ) :x y x∈R R x+y < 1} 
 
11. f ={ ( , ) :x y x∈R R x2 + y2 < 1} 
12. f ={ ( , ) :x y x∈R R x2 + y2 > 1} 
13. f ={ ( , ) :x y x∈R R (x-2)2 + (y-3)2 =1} 
14. f ={ ( , ) :x y x∈R R 1< x2 + y2 < 4 } 
15. f ={ ( , ) :x y x∈R R 4< x2 + y2 < 9 } 
16. f ={ ( , ) :x y x∈R R |x| < |y| } 
17. f ={ ( , ) :x y x∈R R |x| +|y|= 2 } 
18. f ={ ( , ) :x y x∈R R |x| +|y|= 2 } 
19. f ={ ( , ) :x y x∈R R |x| +|y|< 3 } 
20. f ={ ( , ) :x y x∈R R |x| +|y|> 1 } 
 
 
(*) 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) ( )1 2x 4x 8x 16x 1 2x 
12x 
1 12x 12x 12x 2x 1 2x 1 32x II) 
 xa 
 x ax xa x a a x a x a I) 
234
4322345
43223455
++++−=
++++−=−
++++−=−
	Factorização