1Lista Álgebra Linear -QL-QB

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Maranha˜o
CCET-Departamento de Matema´tica
A´lgebra Linear
Curso: Qu´ımica Professor: Lu´ıs Fernando
1a Lista de Exerc´ıcios - 2014/1
Nome: Matr´ıcula: −
1. Sejam u = (2,−7, 1), v = (−3, 0, 4), w = (0, 5,−8). Ache
(a) 3u− 4v
(b) 2u+ 3v − 5w
2. Escreva o vetor v = (2, 3,−5) como combinac¸a˜o linear de u1 = (1, 2,−3), u2 =
(2,−1,−4) e u3 = (1, 7,−5)
3. Determine se os vetores u1 = (1, 1, 1), u2 = (2,−1, 3) e u3 = (1,−5, 3) sa˜o linear-
mente independentes ou linearmente dependentes.
4. Calcule u · v, onde u = (1,−2, 3,−4) e v = (6, 7, 1,−2).
5. Sejam u = (1, 2, 3,−4), v = (5,−6, 7, 8) e k = 3. Ache:
(a) k(u · v)
(b) (ku) · v
(c) u · (kv)
6. Sejam u = (5, 4, 1), v = (3,−4, 1) e w = (1,−2, 3). Quais os pares (se houver) de
vetores ortogonais?
7. Determine k de maneira que os vetores u = (1, k,−3) e v = (2,−5, 4) sejam ortogo-
nais.
8. Ache ‖w‖, se w = (−3,−1,−2, 4,−5).
9. Ache a distaˆncia d(u, v) entre os vetores u e v, onde
(a) u = (1, 7) e v = (6,−5);
(b) u = (3,−5, 4) e v = (6, 2,−1);
(c) u = (5, 3,−2,−4,−1) e v = (2,−1, 0,−7, 2).
10. Determine k de modo que d(u, v) = 6, sendo u = (2, k, 1,−4) e v = (3,−1, 6,−3).
11. Determine cos θ, sendo θ o aˆngulo entre u = (1, 2,−5) e v = (2, 4, 3).
12. Sejam z = 5 + 3i e w = 2− 4i. Ache
(a) z + w
(b) z − w
(c) zw
13. Simplifique:
(a) (5 + 3i)(2− 7i)
(b) (4− 3i)2
(c) (1 + 2i)3
14. Ache zz¯ e |z|, quando z = 3 + 4i
15. Simplifique
2− 7i
5 + 3i
16. Prove que, para quaisquer complexos z, w ∈ C,
(a) z + w = z¯ + w¯
(b) zw = z¯w¯
(c) ¯¯z = z
17. Determine x, y ∈ R para que se tenha
(a) 3 + 5ix = y − 15i;
(b) (x+ yi)(2 + 3i) = 1 + 8i;
(c) (3 + yi) + (x− 2i) = 7− 5i;
(d) (x+ yi)2 = 2i.
18. Determine x ∈ R tal que o nu´mero z = 2− xi
1 + 2xi
seja imagina´rio puro.
19. Determine a ∈ R de modo que o nu´mero z = 1 + 2i
2 + ai
seja real.
20. Sendo x2 + y2 = 1, prove que
1 + x+ iy
1 + x− iy = x+ iy.
21. Prove que
1 + sen x+ i cos x
1− sen x− i cosx = (tan x+ sec x)i, ∀ x 6=
pi
2
+ kpi real.
2
22. Qual o conjugado de
1 + i
i
.
23. Determine o conjugado de
1 + 3i
2− i .
24. Deˆ as condic¸o˜es necessa´rias e suficientes para que
a+ bi
c+ di
(c+ di 6= 0) seja um
(a) Imagina´rio puro;
(b) Real.
3