3-Distribuição de Frequências

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13-Mar-14
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MAT02214 - Estatística Geral I
Estatística Descritiva:
Distribuição de frequência
Prof.: Fernanda Rodrigues Vargas
fernanda.vargas@ufrgs.br
Distribuição de frequências
Constitui uma das formas mais comuns de resumir e apresentar 
um grande número de dados através de tabelas.
Estas tabelas podem ser de dois tipos: 
 de classificação simples ou 
 de classificação cruzada.
2
Distribuição de frequências
Além de resumir a informação, tem por finalidade:
1. Representar a forma como os valores das variáveis se distribuem 
(localização da maioria dos valores, simetria, número de picos e formato 
das caudas).
2. Indicar qual modelo de distribuição de probabilidade poderia ser 
adequado para esses dados, pois fornece uma ideia empírica da 
distribuição da população.
3
Tabelas de classificação simples
São tabelas de frequências relativas a uma variável. 
 Variável qualitativa ou quantitativa discreta (com poucos valores): são 
obtidas as frequências de ocorrência de cada nível dessa variável. 
 Variável quantitativa contínua: primeiro são obtidos intervalos de 
mesma amplitude e depois conta-se os valores que ocorrem em cada 
intervalo.
4
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2
Distribuição de frequências
Variável qualitativa: cada nível da variável constituirá uma classe.
Exemplo: Considere os dados referentes ao conceito obtido por 60 estudantes 
na disciplina de Estatística: 
Dados brutos:
ruim, médio, bom, médio, ruim, médio, ruim, médio, ruim, bom, médio, médio, bom, 
médio, médio, médio, ótimo, médio, bom, ótimo, bom, ótimo, médio,ótimo, médio, ru
im, médio, ótimo, médio, médio, bom, ruim, bom, bom, médio, ruim, médio, médio, ó
timo, médio, bom, ruim, ruim, bom, médio, médio, ruim, bom, médio, médio, bom, bo
m, bom, médio, ruim, bom, médio, médio, ruim, médio
5
Construção da tabela
Passos para a construção da tabela de distribuição de frequência para 
variáveis qualitativas:
1° passo: ordenar os níveis da variável, colocando-os em ordem 
crescente. O número de cada classe da distribuição será representado 
por j, sendo j = 1, 2, ..., k.
2° passo: Contar o número de elementos em cada classe, ou seja, contar 
quantas vezes o dado se repete.
6
Construção da tabela
1° passo:
7
Variável qualitativa
ordinal com quatro
níveis
Cada nível constitui
uma classe. Logo o 
número total de classes
é k=4.
Construção da tabela
2° passo:
8
A contagem do número de 
estudantes em cada nível são 
denotados por Fj e chamados de 
frequências absolutas das classes.
A partir da frequência absoluta podemos obter outras frequências
importantes.
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3
Outras frequências:
Frequência absoluta acumulada: expressa o número de elementos 
(observações) acumulados até a classe j. Denotada por Fj´:
9
+
Outras frequências:
Frequência relativa:expressa a proporção de elementos (observações) na 
classe j. Denotada por fj: 
10
12/60 = 0,2
27/60 = 0,45
Outras frequências:
Frequência relativa acumulada: expressa a proporção de elementos 
(observações) acumulados até a classe j. Denotada por fj´:
11
+
Interpretação
12
Número de alunos que obtiveram conceito Médio
Número de alunos que 
obtiveram até conceito Bom
Proporção de alunos que 
obtiveram até conceito 
Médio
Proporção de alunos que 
obtiveram conceito Ruim
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Distribuição de frequências
Variável quantitativa discreta:
Exemplo: Considere a variável: número de animais portadores de brucelose 
em 350 propriedades rurais.
Dados brutos:
2, 5, 6, 0, 4, 4, 3, 4, 2, 2, 3, 3, 5, 3, 5, 1, 2, 4, 2, 3, 5, 4, 3, 3, 2, 3, 0, 4, 4, 3, 4, 0, 3, 1, 2, 4
, 2, ...
13
Foram observados apenas sete valores diferentes para esta variável. 
Logo, a tabela de distribuição de frequências terá sete classes.
Construção da tabela
1° passo: Identificar e ordenar os valores da variável.
14
2° passo: Contar o número de 
elementos em cada classe.
Frequências absolutas das classes.
Construção da tabela
Completar a tabela com as outras frequências importantes:
15
Fj’ - frequência absoluta acumulada
fj - frequência relativa
fj’ - frequência relativa acumulada
Interpretação
16
Das 350 propriedades rurais consultadas, 112 
possuem 2 animais portadores da doença.
Número de propriedades que 
possuem menos de 4 animais 
infectados.
Proporção de propriedades 
rurais que possuem até 3 
animais infectados.
Proporção de propriedades 
rurais com apenas 1 
animal infectado.
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Exercício proposto
Os dados a seguir se referem ao número diário de pães não vendidos em uma certa 
padaria até a hora do encerramento do expediente:
0 0 4 2 0 1 0 2 0 4 
1 0 0 3 2 0 1 0 0 0 
2 0 0 1 0 0 3 2 1 7 
0 1 0 0 2 0 0 3 2 1
Construa a distribuição de frequências para esses dados.
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Distribuição de frequências
Variável quantitativa contínua:
 Tabelas de distribuição de frequências são construídas de modo que cada 
classe seja constituída por um intervalo de valores da variável.
 Em algumas situações uma variável discreta pode assumir muitos valores 
diferentes. Nesses casos, é usual agrupar os dados discretos em intervalos 
de classe, da mesma forma que se agrupam os dados contínuos.
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Distribuição de frequências
Variável quantitativa contínua:
Exemplo: Os dados abaixo referem-se aos valores gastos (em reais) pelas 
primeiras 50 pessoas que entraram num determinado supermercado em 
um certo dia.
Dados brutos:
32,03 19,54 45,40 25,13 46,69 18,36 13,78 15,23 36,37 15,62 
17,00 27,65 85,76 38,64 86,37 24,58 20,16 93,34 48,65 22,22 
23,04 42,97 28,06 52,75 3,11 8,88 9,26 10,81 12,69 28,38 
18,43 61,22 41,02 44,67 19,50 17,39 39,16 44,08 38,98 19,27 
26,24 28,08 59,07 82,70 26,26 24,47 54,80 70,32 50,39 20,59
19
Construção da tabela
Passos para a construção da tabela de distribuição de frequência para 
variáveis quantitativas:
1° passo: ordenar o conjunto de dados, ou seja, colocar os dados brutos em 
ordem crescente.
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Dados ordenados:
3,11 8,88 9,26 10,81 12,69 13,78 15,23 15,62 17,00 17,39 
18,36 18,43 19,27 19,50 19,54 20,16 20,59 22,22 23,04 24,47 
24,58 25,13 26,24 26,26 27,65 28,06 28,08 28,38 32,03 36,37 
38,98 38,64 39,16 41,02 42,97 44,08 44,67 45,40 46,69 48,65 
50,39 52,75 54,80 59,07 61,22 70,32 82,70 85,76 86,37 93,34 Voltar
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Construção da tabela
2° passo: determinar o número de classes (k) da tabela. 
 Este valor não deverá ser inferior a 5 e nem superior a 15. 
 A definição do k deverá ser orientada pelos objetivos do trabalho. Porém, existem 
algumas regras objetivas para determiná-lo, como, por exemplo:
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Fórmula de Sturges: k = 1 + 3,32 x log n
Regra empírica: k = 
n n = número de observações;
log = logaritmo de base 10.
Construção da tabela
3° passo: determinar a amplitude do intervalo através da seguinte expressão:
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k
i at
i = amplitude do intervalo;
= x(n) - x(1) : amplitude total do conjunto de dados;
k = número de classes.
at
Arredondar para cima o valor de i e k.
x(1) : menor valor do conjunto de dados 
x(n) : maior valor do conjunto de dados 
Construção da tabela
2° passo: n = 50
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Fórmula de Sturges: k = 1 + 3,32 x log n = 6,64 ≈ 7
Regra empírica: k = = 7,07 ≈ 8
n
3° passo: x(1) = 3,11 x(50) = 93,34 = 93,34 – 3,11 = 90,23
9,1289,12
723,90

k
i at
at
Amplitude do intervalo:
Dados
Construção da tabela
4° passo: construir os intervalos de classe. 
24
limite inferior da primeira classe
limite superior da classe k
5° passo: contar o número de observações em cada classe.
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Construção da tabela
4° passo:
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5° passo:
Classe (j)
Limite inferior 
da classe
Limite superior 
da classe
1 3,11 16,01
2 16,01 28,91
3 28,91 41,81
4 41,81 54,71
5 54,71 67,61
6 67,61 80,51
7 80,51 93,41
Frequência
absoluta
8
20
6
8
3
1
4
Construção da tabela
Completar a tabela com outras frequências importantes:
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Classe (j)
Limite inferior 
da classe (li)
Limite superior 
da classe (ls)
Fj Fj' fj fj' cj
1 3,11 16,01 8 8 0,16 0,16 9,56
2 16,01 28,91 20 28 0,4 0,56 22,46
3 28,91 41,81 6 34 0,12 0,68 35,36
4 41,81 54,71 8 42 0,16 0,84 48,26
5 54,71 67,61 3 45 0,06 0,9 61,16
6 67,61 80,51 1 46 0,02 0,92 74,06
7 80,51 93,41 4 50 0,08 1 86,96
Total 50 --- 1 --- ---
Ponto médio ou centro
da classe: (ls + li)/2
Interpretação da tabela
 F3 – 6 das 50 pessoas gastaram entre R$ 28,91 e R$ 41,81 (exclusive).
ou 6 das 50 pessoas gastaram R$ 28,91 ou mais, e menos de R$ 41,81.
 F5’ – Até 45 pessoas gastaram menos de R$ 67,61.
ou 45 pessoas gastaram entre R$ 3,11 e R$ 67,61 (exclusive). 
 f3 – 12% das pessoas gastaram entre R$ 28,91 e R$ 41,81 (exclusive).
 f5’ – Mais da metade das pessoas, 56%, gastaram até R$ 28,91.
27
Recomendações
 Usar intervalos de mesma amplitude, mas eventualmente uma amplitude variável 
poderá ser mais adequada ao contexto.
 Todas as observações devem ser classificadas.
 As classes são mutuamente exclusivas, ou seja, uma observação pertence a uma 
única classe.
 Os intervalos são fechados à esquerda e abertos à direita, com exceção da última 
classe, que é fechada à esquerda e à direita.
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Exercício proposto
Considere a variável: peso ao nascer (em kg) de bovinos machos. Os valores 
observados foram: 
16, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 
23, 23, 23, 23, 23, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 
29, 29, 29, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 31, 32, 33, 33, 33, 34, 34, 35, 36, 39
Construa a distribuição de frequências para esses dados.
29
Representação gráfica
As distribuições de frequências podem ser representadas graficamente:
 Gráfico de colunas;
 Gráfico de setores;
 Histograma;
 Polígono de frequências.
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Variável Qualitativa
Variável Quantitativa Contínua
Representação gráfica
31
Gráfico de colunas: Gráfico de setores:
A altura de cada coluna representa a 
frequência absoluta ou relativa da 
respectiva classe.
A frequência de cada categoria é 
representada pelo tamanho do setor 
(ou fatia).
Representação gráfica
32
Histograma: é um gráfico formado por um conjunto de retângulos 
contíguos, cuja base é igual à amplitude do intervalo e a altura proporcional 
à frequência das respectivas classes.
Frequência relativa
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Representação gráfica
33
Quando trabalhamos com variáveis quantitativas discretas, os retângulos do 
histograma se reduzem a retas, deixando de ser contíguos. 
Representação da 
distribuição do número de 
animais portadores de 
brucelose em 350 
propriedades rurais
Frequência no ponto
Representação gráfica
34
Polígono de frequência: é constituído por segmentos de retas que unem os 
pontos cujas coordenadas são o ponto médio e a frequência de cada classe. 
Tabelas de classificação cruzada
 Interesse em estudar duas ou mais variáveis simultaneamente 
Surgem as distribuições conjuntas de frequências. 
 As tabelas de classificação cruzada são tabelas de frequências
relativas a duas variáveis, qualitativas ou quantitativas. 
35
Frequências cruzadas de Variáveis Qualitativas
Se o estudo envolver duas variáveis qualitativas (categóricas), a tabela de frequência cruzada 
dessas duas variáveis é conhecida como tabela de dupla entrada, também chamadas de tabelas 
de contingência.
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Cada elemento no corpo da
tabela fornece a frequência
observada das duas variáveis
simultaneamente.
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Frequências cruzadas de Variáveis Qualitativas
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Número de alunos que 
pertencem simultaneamente às 
respectivas categorias: há 12 
homens que preferem geografia 
no segundo grau, já entre as 
mulheres apenas 6 preferem 
geografia.
Dos 41 alunos homens pesquisados no 
segundo grau, 11 preferem Matemática.
Forma de apresentação usada quando estamos interessados não somente na observação 
individual e, sim, no comportamento em conjunto das variáveis.
Frequências cruzadas de Variáveis Qualitativas
38
Com as frequências marginais da tabela cruzada, podemos obter a tabela de classificação 
simples para cada variável.
Há 5 alunos que 
preferem Ciências, 18 
que preferem 
Geografia, ...
Frequências cruzadas
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Na construção das tabelas de classificação simples era acrescentada à tabela a coluna 
referente às freqüências relativas, que forneciam a proporção de elementos em cada 
classe com relação ao número total de elementos. 
Um procedimento análogo pode ser feito para as tabelas bidimensionais. Existem três 
possibilidades para expressarmos as proporções de cada célula: 
(i) com relação ao total geral; 
(ii) com relação ao total de cada linha e 
(iii) com relação ao total de cada coluna. 
A escolha entre essas três possibilidades deverá ser feita de acordo com o objetivo
da análise.
Distribuição conjunta relativa
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(i) com relação ao total geral:
5% dos alunos são do sexo 
Masculino e preferem 
Ciências no segundo grau.
18,75% são do sexo 
feminino e preferem 
Matemática.
Em cada célula temos a proporção de indivíduos que pertencem às categorias das variáveis 
simultaneamente.
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Distribuição condicional
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(ii) com relação ao total de cada linha:
Dos alunos que preferem Português, 35,29% 
dos alunos são do sexo masculino e 64,71% do 
sexo feminino.
Dos alunos que preferem 
Ciências 66,67% dos alunos 
são do sexo masculino e 
33,33% do sexo feminino.
Distribuição condicional
42
(iii) com relação ao total de cada coluna:
Dentre os homens, a maioria prefere 
Geografia, enquanto que entre as mulheres a 
maioria prefere Matemática.
19,51% dos homens 
preferem História no 
segundo grau, enquanto 
que 15,38% das mulheres 
preferem Geografia. 
Representação gráfica
Gráficos em duas dimensões (diagramas): descrevendo a variação de um 
fator dentro dos níveis do outro.
43
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Masculino
Feminino
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Masculino Feminino
Ciências
Geografia
História
Matemática
Português
Ressalta a distribuição por sexo 
dentro de cada matéria .
Ressalta a distribuição por 
matéria predileta estratificado 
por sexo.
Frequências cruzadas de Variáveis Quantitativas
 Quando se estuda conjuntamente duas variáveis quantitativas, as tabelas 
de classificação cruzada são denominadas tabelas de correlação. 
 As tabelas de frequências cruzadas são construídas de modo similar às de 
classificação simples (seguindo todos os passos descritos antes). 
 Primeiro as observações são classificadas segundo uma das variáveis. 
 Em seguida, dentro de cada classe da primeira, as observações serão 
classificadas de acordo com a outra variável. 
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Frequências cruzadas de Variáveis Quantitativas
Os gráficos geralmente utilizados para descrever dados como estes são os 
histogramas em três dimensões (estereogramas), nos quais os retângulos são 
substituídos pelos paralelogramos.45
Representação gráfica
O diagrama de dispersão é um gráfico utilizado para representar conjuntamente os 
valores de duas variáveis quantitativas contínuas, com o objetivo de estudar uma 
possível relação entre as variáveis. 
Exemplo: 
 As variáveis despesas com alimentação e renda. Quando a renda aumenta será que 
ocorre também um aumento com as despesas com alimentação?
 Será que existe relação entre o peso do pai e o peso do filho?
46
Representação gráfica
Exemplo: A fim de estudar o relacionamento entre as variáveis Peso do pai (X) e Peso 
do filho (Y), foram medidos os pesos (em kg) de dez alunos de um Colégio Municipal e 
de seus respectivos pais.
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Observação
Peso dos 
pais
Peso dos 
filhos
1 78 60
2 65 52
3 86 68
4 68 53
5 83 65
6 68 57
7 75 58
8 80 62
9 82 65
10 66 53
Gráfico de dispersão
Exercício proposto
Considere o seguinte exemplo fictício:
A direção de uma empresa está estudando a possibilidade de fazer um seguro saúde 
para seus funcionários e respectivos familiares. Para isso, realizou um levantamento de 
dados por departamento obtendo informação sobre: sexo, estado civil, número de 
dependentes e salário (expresso como fração do salário mínimo). Os dados 
apresentados referem-se ao Departamento de Recursos Humanos.
1. Construa a distribuição de frequências para cada uma das variáveis.
2. Construa as distribuições conjuntas de frequências para as variáveis:
- sexo e número de dependentes; 
- estado civil, número de dependentes; 
- sexo e salário.
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Exercício proposto
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Nome Sexo Estado civil
Número de 
dependentes
Salário
João da Silva M Casado 3 6,26
Pedro Fernandes M Viúvo 1 7,39
Maria Freitas F Casada 0 5,73
Paula Gonçalves F Solteira 0 6,59
Ana Freitas F Solteira 1 6,23
Luiz Costa M Casado 3 7,67
André Souza M Casado 4 8,12
Patrícia Silva F Divorciada 2 6,49
Regina Lima F Casada 2 8,46
Alfredo Souza M Casado 3 7,54
Margarete Cunha F Solteira 0 6,73
Pedro Barbosa M Divorciado 2 7,00
Ricardo Alves M Solteiro 0 5,87
Márcio Rezende M Solteiro 1 5,49
Ana Carolina Chaves F Solteira 0 6,34