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-1- Pertence a: _____________________________________________________ FUNÇÕES, LIMITES E DERIVADAS Referencial didático para o desenvolvimento da disciplina de Cálculo Diferencial Elaboração e Organização: Profa. Msc. Maricélia Soares maricelia.soares@anhembimorumbi.edu.br SÃO PAULO 2016-2 -2- SUMÁRIO UNIDADE 1: Funções – Ferramental Matemático para todas as Áreas 1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Função polinomial do 1° grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Função polinomial do 2° grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Gráfico da Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Função exponencial de base e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Comparação entre bases de uma função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Gráfico da Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Função logarítmica de base e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIDADE 2: Limites e Continuidade de Funções 1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Sucessões ou Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Convergência de Sucessões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Limite de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Definição de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Limites nos Extremos do Domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Propriedades Operatórias dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Notações Simbólicas Operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Continuidade de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Limite Exponencial Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 04 04 08 14 14 14 15 16 20 20 20 21 24 24 25 28 28 30 32 35 38 40 41 42 44 -3- UNIDADE 3: Teoria das Derivadas 1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. O que não varia hoje em dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Taxa de Variação Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Taxa de Variação Instantânea e Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. O Conceito de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Derivada de uma Função num Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Função Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Interpretação Geométrica da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Derivada das Principais Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Derivada da Função Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Derivada da Função Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Derivada da Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Derivada da Função Seno e Função Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Derivada da Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Propriedades Operatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Derivada da Função Composta - Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIDADE 4: Aplicações das Derivadas 1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Análise de Funções: Crescimento, Decrescimento e Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Funções Crescentes e Decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Pontos de Inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Pontos de Inflexão em Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Uma Aplicação à Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 51 56 61 61 62 62 65 65 65 66 67 67 68 70 72 72 72 75 76 79 81 84 89 100 -4- UNIDADE 1– FUNÇÕES: Ferramental Matemático para todas as Áreas 1. Introdução Na disciplina de Fundamentos de Ciências Exatas você já estudou as funções polinomiais de 1º e 2º grau, importantes elementos para o Cálculo e, portanto, neste tópico, faremos apenas uma revisão de seus aspectos algébricos e geométricos. 2. Função polinomial do 1° grau Definição: Uma função chama-se função afim ou função polinomial do 1º grau quando existem dois números reais a e b tais que f(x) = ax + b, para todo x R. Casos particulares da função afim Função linear: f: R R definida por f(x) = ax para todo x R. Nesse caso, a 0 e b = 0. Exemplos: a) f(x) = 3x b) f(x) = -2x Função constante: f: R R definida por f(x) = k para todo x R, onde k é uma constante real. Exemplo: a) f(x) = 2 Função afim: f: R R definida por f(x) = ax + b, para todo x R. Nesse caso, a 0 e b 0. Exemplos: a) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = -3x + 2 -5- Exercícios de Aprendizagem 01. Esboçar o gráfico das seguintes funções e classifica-las em linear (L), afim (A), constante (C), crescente (Cr) e decrescente (D); indicar as coordenadas do ponto de intersecção com o eixo y: a) y = 5 b) y = x + 1 c) y = 3x + 2 d) y = -x + 2 e) y = -3x f) y = 6 – 10x 02. Obtenha a função que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: a) A (1,2) e B (2,3) b) A (-1,0) e B (4,2) c) A (2,1) e B (0,4) d) A (0,0) e B (2,4) 03. O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função C(x) = 100 + 2x. a) Calcule C(10). b) Qual o custo de fabricação da décima unidade, já tendo sido fabricadas nove unidades? c) Faça o esboço do gráfico da função custo. 04. Duas editoras oferecem emprego com as seguintes condições salariais: Empresa A – Fixo de R$ 1.500,00 e comissão de R$ 15,00 por coleção vendida; Empresa B – Fixo de R$ 1.200,00 e comissão de R$ 20,00 por coleção vendida. a) Faça uma análise e avalie qual a melhor proposta salarial para o candidato à vaga. b) Qual a quantidade de coleções vendidas em que o salário das duas empresas será o mesmo? c) Apresente a situação problema por meio de um gráfico. 05. O valor total cobrado por um eletricista x inclui uma parte fixa, como visita, transporte etc., e outra que depende da quantidade de metros de fio requerida pelo serviço. O gráfico ao lado representa o valor do serviço efetuado em função do número de metros utilizados. a) Qual é o valor da parte fixa cobrada pelo eletricista b) O preço cobrado por um eletricista y depende unicamente do número de metros utilizados, não sendo cobrada a parte fixa. Se o preço do serviço é de R$ 4,50 por metro de fio utilizado, a partir de que metragem o consumidor deve preferir x a y 06. Construa, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o gráfico das seguintes funções: a) 0 xse ,2x 0 xse ,2 )x(f b) 0 xse ,2x 2x0 se 2, 2 xse ,x )x(f 72 60 14 20 metros (m) preço (R$) -6- Respostas dos Exercícios Questão 01 a) b) c) d) e) f) Questão 02 a) y = x + 1 c) 4x 2 3 y b) 5 2 x 5 2 y d) y = 2x Questão 03 a) $ 120,00 b) $ 2,00 c) Questão 04 a) Para vendas inferiores a 40 coleções, a Empresa A é mais vantajosa para o empregado. Para vendas acima de 40 coleções, a Empresa B torna-se mais vantajosa. Constante eixo y em (0, 5) Afim e Crescente eixo y em (0, 1) Afim e Crescente eixo y em (0, 2) Afim e Decrescente eixo y em (0, 2) Linear e Decrescente eixo y em (0, 0) Afim e Decrescente eixo y em (0, 6) -7- b) Para x = 40 coleções, o salário das duas empresas será o mesmo. c) Questão 05 a) A parte fixa é de R$ 32,00. b) A partir de 12,8 m Questão 06 a) b) -8- 3. Função polinomial do 2° grau Definição: Uma função chama-se função quadrática ou função polinomial do 2º grau quando existem três números reais a, b e c, com a 0, tais que f(x) = ax2 + bx + c, para todo x R. Parâmetros a, b e c: Vamos estudar os efeitos dos parâmetros a, b e c na parábola, que é o gráfico da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c. Parâmetro a: responsável pela abertura e concavidade da parábola. Se a > 0, a concavidade é para cima. Se a < 0, a concavidade é para baixo. Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (mais “fechada”), independente da concavidade. Parâmetro b: indica se a parábola intersecta o eixo y no ramo crescente ou decrescente da parábola. Se b > 0, a parábola intersecta o eixo y no ramo crescente. Se b < 0, a parábola intersecta o eixo y no ramo decrescente. Se b = 0, a parábola intersecta o eixo y no vértice. Parâmetro c: indica o ponto onde a parábola intersecta o eixo y. A parábola intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, c), ou seja f(0) = c. -9- Pontos Notáveis da Parábola: Raiz(es) ou Zero(s) da Função: é(são) o(s) ponto(s) de intersecção da parábola com o eixo x (se existirem). A partir das raízes resultantes da equação ax 2 + bx + c = 0, temos alguns casos a considerar: > 0 (duas raízes reais e distintas) a > 0 (concavidade para cima) a < 0 (concavidade para baixo) = 0 (duas raízes reais e iguais) a > 0 (concavidade para cima) a < 0 (concavidade para baixo) < 0 (não há raízes reais) a > 0 (concavidade para cima) a < 0 (concavidade para baixo) Fórmula resolutiva para determinar as raízes de uma equação do 2º grau (Fórmula de Bháskara): a2 b x , sendo ac4b2 . Vértice da Parábola: determina valores de máximo, ou de mínimo, de uma determinada situação problema que seja descrita por uma função quadrática. a4 y a2 b x vv Intersecção da parábola com os eixos coordenados: Exemplos: a) f(x) = x 2 – 2x + 1 b) f(x) = -4x 2 + 1 c) f(x) = x 2 + 2x + 3 -10- Exercícios de Aprendizagem 01. Esboce os gráficos das seguintes funções apresentando: (i) Interseção com o eixo x; (ii) Interseção com o eixo y; (iii) Vértice; (iv) Análise de sinal da função. 02. O gráfico ao lado representauma função do tipo y = ax 2 + bx + c, a 0. Então, podemos afirmar que: a) a > 0, b2 = 4ac, c > 0 e b < 0. b) a < 0, b2 > 4ac, c < 0 e b > 0. c) a < 0, b2 < 4ac, c < 0 e b > 0. d) a < 0, b2 > 4ac, c > 0 e b > 0. e) a < 0, b2 < 4ac, c < 0 e b < 0. 03. Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura h atingida por uma bala, em metros, em função do tempo t, em segundos, é dada por h(t) = -20t 2 + 200t. Qual a altura máxima atingida pela bala? Em quanto tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máxima? 04. O lucro (L) de uma empresa para certo produto é obtido através da função definida por L = – 2x2 + 2000x – 100 (x representa a quantidade do produto). Calcule quantas unidades desse produto são necessárias para se obter o lucro máximo possível. 06. A trajetória de um projétil lançado por um canhão, num local plano e horizontal, é dada pela função: x 8 1 x 32 1 y 2 . A que distância caiu o projétil? 05. O dono de uma marcenaria, que fabrica um certo tipo de armário, sabe que o número de armários N que ele pode fabricar por mês depende do número x de funcionários trabalhando na marcenaria, e essa dependência pode ser representada matematicamente pela função N = x 2 + 2x. Qual é o número de empregados necessários para fabricar 168 armários em um mês? a) b) c) d) e) f) distância (km) altura (km) ● Respostas: 02. B 03. 500 metros em 5 segundos 04. 500 unidades 05. 4 km 06. 12 funcionários -11- Teste seus Conhecimentos (10,0 pontos – 1,0 cada) T1. (UFPE) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando coordenadas cartesianas na região, as estradas ficam representadas pelas partes dos gráficos da parábola y = -x 2 + 10x e da reta y = 4x + 5, com 2 x 8. Qual a soma das coordenadas do ponto representando a interseção das estradas? a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 T2. Um camponês adquire um moinho ao preço de R$ 860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto afirmar que: a) Em nove anos, o preço do moinho será múltiplo de 9. b) Em três anos, o moinho valerá 50% do preço de compra. c) É necessário um investimento maior que R$ 450,00 para comprar esse equipamento após sete anos. d) Serão necessários dez anos para que o valor desse equipamento seja inferior a R$ 200,00. e) O moinho terá o valor de venda ainda que tenha decorrido treze anos. T3. (UFMG) A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8. A única afirmativa verdadeira sobre f(x) é: a) )3x)(1x(2y b) )3x)(1x(y c) )3x)(1x(2y d) )3x)(1x(y e) )3x)(1x(2y T4. A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t) = 400 4 t 2 , com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39ºC. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0 e) 39,0 T5. O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo de produção C. Suponha que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x) = 60x – x2 e C(x) = 10(x + 40), sendo x o número de itens produzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, considere as seguintes sentenças: I. O número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo, é 10. II. A função lucro L(x) é crescente no intervalo [0, 25]. III. Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir 30 itens por dia. IV. Se a fábrica produzir 50 itens num único dia, terá prejuízo. Assinale a alternativa correta: -12- a) As sentenças II e IV são verdadeiras. b) As sentenças I, III e IV são verdadeiras. c) As sentenças I, II e IV são verdadeiras. d) As sentenças I e II são verdadeiras. e) As sentenças II e III são verdadeiras. T6. (UFPR) Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços, os estudantes receberam de uma empresa a seguinte proposta, na qual o preço de cada passagem depende do total de passageiros: cada passageiro pagará R$ 90,00 mais o valor de R$ 5,00 por lugar que eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo que o ônibus tem 52 lugares, é correto afirmar: a) Se viajarem 30 passageiros, cada um deles pagará R$ 110,00. b) Se o total de passageiros for x, o preço (em reais) de cada passagem será calculado pela expressão y = 90 + 5·(52 – x). c) Se viajarem 40 pessoas, a empresa deverá receber um total de R$ 6.000,00, referente ao pagamento das passagens. d) Se viajarem x pessoas, o valor total (em reais) que a empresa deverá receber, referente ao pagamento das passagens, é calculado pela expressão y = 300x – x2. e) O valor total máximo que a empresa poderá receber pelo pagamento das passagens ocorrerá quando o total de passageiros for igual a 35. T7. Carlos trabalha como DJ e cobra uma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. Calcule o tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos. a) 9 h b) 8 h c) 7,5 h d) 3 h e) 2,5 h T8. (PUC-SP) Às 8 horas de certo dia, um tanque, cuja capacidade é de 2.000 litros, estava cheio de água; entretanto, um furo na base desse tanque fez com que a água por ele escoasse a uma vazão constante. Sabendo que às 14 horas desse mesmo dia o tanque estava com apenas 1.760 litros. O tanque atingiu a metade da sua capacidade total após: a) 25 h b) 15 h c) 12 h d) 10 h e) 6 h T9. A função L(x) = -100x 2 + 1200x – 2700 representa o lucro de uma empresa, em milhões de reais, onde x é a quantidade de unidades vendidas. Nesse contexto, considere as seguintes afirmações: I. Se vender apenas 2 unidades, a empresa terá lucro. II. Se vender exatamente 6 unidades, a empresa terá lucro máximo. III. Se vender 15 unidades, a empresa terá prejuízo. Está(ão) correta(s) apenas: a) I b) II c) III d) I e II e) II e III T10. (Vunesp -SP) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3.000 e 1.100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por -13- mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a produção de A a partir de: a) Março b) Maio c) Julho d) Setembro e) NovembroConfira as respostas com a professora e atribua sua nota. A B C D E Pontuação 01 1,0 02 1,0 03 1,0 04 1,0 05 1,0 06 1,0 07 1,0 08 1,0 09 1,0 10 1,0 Nota: -14- 4. Função Exponencial 4.1. Definição: Dado um número a (a > 0 e a 1), denomina-se função exponencial de base a toda função f: R R definida por f(x) = a x ou y = a x . O gráfico da função corta o eixo dos y = b, pois para x = 0, tem-se y = b. Não corta o eixo x, pois não se pode ter y = 0 para nenhum valor de x. Exemplos: a) x2)x(f b) x 2 1 )x(f c) x4)x(f 4.2. Gráfico da Função Exponencial A construção de gráficos de funções exponenciais segue dois modelos: quando o valor da base é maior que 1 (a > 1) e quando o valor da base está entre 0 e 1 (0 < a < 1). Observe os exemplos: a) f(x) = 2 x b) x 2 1 )x(f x -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 f(x) 4 1 2 1 1 2 4 f(x) 4 2 1 2 1 4 1 As restrições a > 0 e a 1 dadas na definição são necessárias, pois: Para a = 0 e x negativo, não existiria ax (não teríamos uma função definida em R). Para a < 0 e x = 1 2 , por exemplo, não haveria a x (não teríamos uma função em R). Para a = 1 e x qualquer número real, ax = 1 (função constate). -15- Os dois tipos de gráficos possuem características semelhantes, essas são características para qualquer gráfico de função exponencial. No entanto, algumas particularidades devem ser observadas, quando à base da função. Observe que no exemplo (a) a função y = 2 x , é crescente. Isso ocorre sempre que a base for maior que 1. Observe também que quanto menor for o valor de x mais o gráfico da função se aproxima da reta suporte do eixo x, sem, no entanto, atingi-la. No exemplo (b), a função x 2 1 y , é decrescente. Isso ocorre sempre que a base estiver entre 0 e 1. Neste caso, quanto maior for o valor de x mais o gráfico da função se aproxima do eixo x, sem, no entanto, atingi-lo. Assim, pela observação das tabelas e dos gráficos dos exemplos acima, podemos concluir que, para uma função exponencial: As ideias desenvolvidas no estudo da função exponencial f(x) = a x podem ser aplicadas em outras funções em que a variável aparece no expoente, como por exemplo: f(x) = 2·3x f(x) = 5x–2 f(x) = 5x – 2 4.3. Função exponencial de base e É uma função dada por y = ex, com Rx . A função Exponencial de Base e (e 2,718281828... – número de Euler – constante matemática) é chamada função Exponencial Natural. Na Matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Neper, constante de Neper, número neperiano, número exponencial etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. D(f) = R, CD(f) = R , Im(f) = R , f(1) = a. O gráfico é uma figura chamada curva exponencial, que passa por (0, 1). O gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV. Para a > 1 a função é crescente. Para 0 < a < 1, a função é decrescente. A função exponencial é ilimitada superiormente. -16- 4.3.1. Comparação entre bases de uma função exponencial As fórmulas de cálculo ficam simplificadas quando escolhemos para base aquela para a qual resulta uma reta tangente y = ax + b no ponto (0,1) com uma inclinação exatamente igual a 1. Esse número existe realmente e é denotado pela letra e: o número de Euler. O número e é o valor de n n 1 1 para n com valores muito grandes e aparece em fórmulas de Matemática Financeira ou em problemas envolvendo crescimentos exponenciais. As calculadoras científicas possuem uma tecla que facilita o cálculo. Observando as figuras seguintes, não nos surpreende que o número e esteja entre 2 e 3 e o gráfico de y = ex, entre o de y = 2 x e o de y = 3 x . -17- Exercícios de Aprendizagem 01. Identifique as seguintes funções como crescentes (C) ou decrescentes (D): a) x4)x(f e) x 5 1 )x(f b) x01,0)x(f f) x3)x(f c) x 2 2 )x(f g) x 3 4 )x(f d) x2)x(f h) x 3 2 )x(f 02. Construa o gráfico das seguintes funções, apresentando domínio e imagem: a) x3)x(f b) x 4 1 )x(f 03. O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 7.000 e cresce a uma taxa de 3% ao ano. a) Qual o número de habitantes daqui a 8 anos? b) Qual o número de habitantes daqui a 30 anos? 04. O PIB (Produto Interno Bruto) de um país este ano é de 600 bilhões de dólares, e cresce exponencialmente a uma taxa de 5% ao ano. Qual o PIB daqui a 5 anos? 05. Um automóvel novo vale R$ 20.000,00. Sabendo-se que ele sofre uma desvalorização de 15% ao ano: a) qual seu valor daqui a 5 anos? b) Seja y o valor do carro a x anos. Faça o gráfico de y em função de x. 06. Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros compostos durante 1 ano e meio à taxa de 2% ao mês. Qual será o montante? Lembre-se de que M = C(1 + i)t. 07. Daqui a t anos o valor de uma máquina (em milhares de dólares) será t)8,0(50V a) Qual seu valor hoje? b) Faça o gráfico de V em função de t . 08. Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S02 -0,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial se desintegre? -18- 09. Complete a tabela abaixo e observe o gráfico: x y = e x -2 -1 0 1 2 10. Suponha que após t meses de experiência um operário consiga montar p peças por hora. Suponha ainda que t4,0e2040p . a) Quantas peças ele montava por hora quando não tinha experiência? b) Quantas peças montará por hora após 2,5 meses de experiência? -19- Respostas dos Exercícios Questão 01 a) Crescente b) Decrescente c) Decrescente d) Decrescente e) Decrescente f) Crescente g) Crescente h) Crescente Questão 02 a) x3)x(f b) x 4 1 )x(f Questão 03 a) 8.867 habitantes b) 16.991 habitantes Questão 04 765,77 bilhões Questão 05 a) R$ 8.874,11 b) Questão 06 R$ 14.282,46Questão 07 a) 50 mil dólares. b) Questão 08 4 segundos Questão 09 x y = e x -2 0,14 -1 0,37 0 1 1 2,72 2 7,39 Questão 10 a) 20 peças por hora. b) Aproximadamente 33 peças por hora. -20- 5. Função Logarítmica 5.1. Definição Chama-se função logarítmica toda função f: R R, tal que f(x) = loga x, com a R e a 1. Observe, na definição, que o domínio de uma função logarítmica é R , ou seja, somente os números positivos possuem logaritmo. Quanto ao conjunto imagem da função logarítmica temos que qualquer número real é logaritmo de algum número real positivo, em uma certa base, portanto o conjunto imagem é R. Exemplos: f(x) = log2 x f(x) = xlog 2 1 y = log x f(x) = xlog 3 2 f(x) = log0,2 f(x) = xlog 2 5.2. Gráfico da Função Logarítmica Assim como na função exponencial, também a construção de gráficos de funções logarítmicas segue dois modelos: quando o valor da base é maior que 1 (a > 1) e quando o valor da base está entre 0 e 1 (0 < a < 1). Observe os exemplos: a) f(x) = log2 x b) f(x) = xlog 2 1 x 8 1 4 1 2 1 1 2 4 8 x 8 1 4 1 2 1 1 2 4 8 f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3 Observe que no exemplo (a) a função y = log2 x, é crescente. Isso ocorre sempre que a base for maior que 1. No exemplo (b), a função y = xlog 2 1 , é decrescente. Isso ocorre sempre que a base estiver entre 0 e 1. -21- Assim, pela observação das tabelas e dos gráficos dos exemplos anteriores, podemos concluir que, para uma função logarítmica: 5.3. Função logarítmica de base e É a função dada por xlny , com x > 0. x y = ln(x) 0,14 -2 0,37 -1 1,00 0 2,72 1 7,39 2 D(f) = R , CD(f) = R, Im(f) = R, f(1) = 0. O gráfico é uma figura chamada curva logarítmica, que passa por (1, 0). O gráfico não toca o eixo y e não tem pontos nos quadrantes II e III. Para a > 1 a função é crescente. Para 0 < a < 1, a função é decrescente. -22- Exercícios de Aprendizagem 01. Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos: a) 0,2log25 b) 0,25log2 c) 0,01log d) 5log625 e) 128log2 f) 2log128 g) 1000log h) 15log15 02. Resolva as seguintes equações logarítmicas: a) logx (3x 2 – x) = 2 b) log(x + 2) (20 – 2x) = 2 c) 45)4x(xlog 2 2 1 d) 1x)(xlog 212 03. Um explorador descobriu na selva amazônica uma espécie nova de planta e, pesquisando-a durante anos, comprovou que o seu crescimento médio variava de acordo com a fórmula , em que a altura média é medida em centímetros e o tempo em anos. Verificou também que seu crescimento estaciona após 20 anos, abaixo de 3 metros. Determine: a) a altura média, em centímetros, de uma planta dessa espécie aos 3 anos de vida; b) a idade, em anos, na qual a planta tem uma altura média de 1,6 m. 04. A expressão N(t) = 150020,2t permite o cálculo do número de bactérias existentes em uma cultura, ao completar t horas do início de sua observação (t = 0). Após quantas horas da primeira observação haverá 250.000 bactérias nessa cultura a) 37 b) 35 c) 30 d) 27 e) 25 05. A intensidade de um terremoto na escala Richter é definida por 0E E log 3 2 I , em que E é a energia liberada pelo terremoto, em quilo-watt-hora (kWh), e E0 = 10 -3 kWh. A cada aumento de uma unidade no valor de I, o valor de E fica multiplicado por: a) 10 b) 7 c) 3 20 d) 2310 e) 2110 06. A desintegração nuclear é regida pela equação exponencial t 0eNN , em que é uma constante, N0 é a quantidade inicial e N é a quantidade após um tempo t. A equação que fornece o tempo, em qualquer instante, é: a) eln)NN(-λt 0 b) eN N t 0 c) eN N t 0 d) 0N N ln 1 t e) eN N t 0 -23- Questão Desafio! O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. Às 22h30min o médico da polícia chegou e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 32,5 o C. Uma hora mais tarde, tomou a temperatura outra vez e encontrou 31,5 o C. A temperatura ambiente foi mantida constante a 16,5 o C. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva seja 36,5 o C e suponha que a lei matemática que descreve o resfriamento do corpo é dada por )t2( 0 2D)t(D em que t e o tempo em horas, D0 é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente no instante t = 0, D(t) é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente no instante t qualquer e é uma constante positiva. Os dados obtidos pelo médico foram colocados na tabela seguinte: Hora Temperatura do corpo ( o C) Temperatura do quarto ( o C) Diferença de temperatura ( o C) t = morte 36,5 16,5 D(t) = 20 t = 0 22h30min 32,5 16,5 D(0) = D0 = 16 t = 1 23h30min 31,5 16,5 D(1) = 15 Analisando os dados apresentados, determine: a) a constante ; b) a hora em que a pessoa morreu. Respostas dos Exercícios Questão 01 a) 2 1 S c) 2S e) 7S g) 2 3 S b) 2S d) 8 1 S f) 7 1 S h) 1 S Questão 02 a) 2 1 S c) 3 ,7S b) 2S d) 4 ,3S Questão 03 a) A = 53,24 cm b) t = 14,7 anos Questão 04: A Questão 05: D Questão 06: D Questão Desafio: a) 20 1 b) 19h17min -24- UNIDADE 2: Limites e Continuidade de Funções Infinitos e indivisíveis transcendem nosso entendimento finito: o primeiro por conta de sua magnitude, o segundo pela sua pequenez; imagine o que eles são quando combinados! Galileu Galilei (1564-1642) 1. Introdução O objetivo desta unidade é discutir a definição de limite de diferentes formas. Inicialmente apresenta-se a noção intuitiva usando exemplos de sucessões numéricas. Em seguida apresentamos tabelas e gráficos que auxiliam na visualização do limite da função. A definição formal é apresentada propiciando a demonstração de propriedades que serão usadas no cálculo de limites e, finalmente, é apresentado o conceito de continuidade das funções. 2. Sucessões ou Sequências Em alguns conjuntos a ordem em que os elementos aparecem é importante, nos remetendo ao conceito de par ordenado. Do mesmo modo, podemos estender esse conceito para triplas, quádruplas etc. ordenadas. Quando afirmamos que um conjunto está ordenado, queremos dizer que existe um primeiro elemento, um segundo elemento e assim por diante. Na realidade, o que fazemos é colocar esse conjunto em correspondência com o conjunto dos númerosnaturais, ou parte deste. Assim, chamamos de sucessão (ou sequência) a toda função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais ou parte deste. Exemplos: Exemplo 01: Seja a sucessão dada por n 1 )n(f com n N*. As imagens são dadas por: 1 1 1 )1(f ; 2 1 )2(f ; 3 1 )3(f ; 4 1 )4(f , etc. Tal função é dada por: ... , 4 1 ,4 , 3 1 ,3 , 2 1 ,2 ),1,1( . Habitualmente costuma-se representar uma sucessão escrevendo-se ordenadamente suas imagens. Assim, a sucessão dada nesse exemplo pode ser representada por: ... , 4 1 , 3 1 , 2 1 ,1 Exemplo 02: Consideremos a sucessão dada por 1n n )n(f . Ela pode ser representada por: ... , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 -25- Exemplo 03: A sucessão (1, 2, 3, 4, 5, ...) é definida por n)n(f em que n N*. Exemplo 04: A sucessão (-1, -3, -5, -7, ...) é definida por )1n2()n(f em que n N*. Exemplo 05: A sucessão (-1, 2, -3, 4, -5, ...) é definida por n)1()n(f n em que n N*. 3. Convergência de Sucessões Dizemos que uma sucessão converge para um número fixo se, à medida que n aumenta, o valor de f(n) se aproxima desse valor fixo. Formalmente, podemos dizer que uma sucessão (f(1), f(2), f(3), ...) converge para um número fixo a se para todo intervalo I centrado em a existir um número natural k tal que as imagens f(k + 1), f(k + 2), f(k + 3), ... pertencem todas a I. Tomemos novamente a sequência do Exemplo 1: ... , 4 1 , 3 1 , 2 1 ,1 . É fácil perceber que à medida que n cresce, a sucessão se aproxima de 0. De fato, se tomarmos o intervalo I1 = ]-0,5; 0,5[ veremos que f(3), f(4), f(5), ... são todos elementos que caem em I1. Se tomarmos outro intervalo centrado em 0, por exemplo, I2 = ]-0,1; 0,1[ veremos que f11 = 0,0909, f12 = 0,0833, f13 = 0,0769 etc. são todos elementos que caem em I2. Qualquer intervalo centrado em 0, por menor amplitude que tenha, permite encontrar um termo a partir do qual os elementos da sucessão caem dentro do intervalo. Se observarmos a sucessão do Exemplo 3, veremos que à medida que n aumenta, os valores de f(n) não convergem para nenhum valor fixo. Diremos que tal sucessão diverge. Entre as sucessões divergentes, existem aquelas em que à medida que n aumenta, os valores de f(n) conseguem superar qualquer valor fixado; dizemos que essas sucessões divergem para mais infinito; esse é o caso do Exemplo 3. Pode ocorrer que à medida que n aumenta, os valores de f(n) conseguem ficar abaixo de qualquer valor fixo, por menor que ele seja; dizemos que essas sucessões divergem para menos infinito; esse é o caso do Exemplo 4. Existem ainda as sucessões divergentes que não divergem nem para mais nem para menos infinito: é o caso do Exemplo 5. Observações: 1) Quando uma sucessão convergir para certo valor a, mas sempre por valores menores do que a, dizemos que a sucessão converge para a pela esquerda. Assim, por exemplo, a sucessão ,... 1n n ..., , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 converge para 1 pela esquerda. Analogamente, temos sucessões que convergem para a pela direita e ainda aquelas que convergem para a oscilando, isto é, tanto pela esquerda como pela direita. -26- 2) Dado um número a qualquer, é geralmente possível construir sucessões que convirjam para esse valor. Assim, por exemplo, dado o número 3, a sucessão ... ; 10 1 3 ..; ;.001,3 ;01,3 ;1,3 n converge para 3 pela direita, ao passo que a sucessão ... ; 10 1 3 ..; ;.999,2 ;99,2 ;9,2 n converge para 3 pela esquerda. -27- Exercícios de Aprendizagem 01. Nas sucessões abaixo, escreva a função definidora de cada uma: a) (1, 4, 9, 16, 25, ...) d) (0, 5, 10, 15, 20, ...) b) (-1, 2, -3, 4, -5, 6, ...) e) ... , 27 1 , 9 1 , 3 1 ,1 c) (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...) f) (0,1; 0,01; 0,001; ...) 02. Das sucessões abaixo, quais são convergentes (e para quais números convergem) e quais são divergentes? a) n 2 )n(f b) 2 1n )n(f c) 1n 1n )n(f 2 d) 1n 1n2 )n(f 2 2 e) n 2 3 n )n(f f) n 1n )n(f 2 g) 4 n 1 1)n(f h) 1n 1n )n(f 2 i) n1n)n(f j) n 1n )1()n(f n k) n 1 )1()n(f n l) ímparn para , n 1n5 parn para , n 1n5 )n(f Respostas dos Exercícios Questão 01 a) 2n)n(f (divergente) b) n)1()n(f n (divergente) c) 1n2)n(f (divergente) d) )1n(5)n(f (divergente) e) 1n 3 1 )n(f (converge para 0) f) n)1,0()n(f (converge para 0) Questão 02 a) Converge para 0. b) Divergente. c) Converge para 0. d) Converge para 2. e) Converge para 0. f) Divergente. g) Converge para 1. h) Converge para 0. i) Converge para 0. j) Divergente. k) Divergente. l) Converge para 5. -28- 4. Limite de Funções 4.1. Limites Laterais Exemplo 01: Seja a função 2x)x(f e uma sucessão qualquer que convirja para 2 pela direita ou pela esquerda. Calculando f(x) para cada um dos infinitos valores à direita de 2 dados pela sucessão (2,1; 2,01; 2,001; ...), teremos por exemplo: f(2,1) = (2,1) 2 = 4,41 f(2,01) = (2,01) 2 = 4,0401 f(2,001) = (2,001) 2 = 4,004001 Observa-se desta forma, que a medida que x aproxima-se de 2 pela direita a imagem f(x) aproxima-se de 4, e escreve-se: 4)xlim( )x(flim 2x 2 2x De outro modo, se x for assumindo os infinitos valores à esquerda de 2 dados pela sucessão (1,9; 1,99; 1,999; ...), teremos para f(x): f(1,9) = (1,9) 2 = 3,61 f(1,99) = (1,99) 2 = 3,9601 f(1,999) = (1,999) 2 = 3,9960010 Onde os valores de x ao aproximar-se de 2 pela esquerda produz imagens f(x) cada vez mais próximas de 4. 4)xlim( )x(flim 2x 2 2x Quando os limites laterais (pela direita e pela esquerda) são iguais, diz-se que o limite da função no ponto é dado por esse valor comum e indica-se por: 4)xlim( 2x 2 Exemplo 02: Considere a função definida por 3x se 2x2 3x se 2x )x(f . Fazendo x aproximar-se de 3 pela direita e pela esquerda, observa-se que os limites laterais apresentam valores diferentes. Isto permite concluir sobre a inexistência do limite da função no ponto x considerado. Vejamos: Se x assumir pela esquerda os valores da sucessão (2; 2,5; 2,9; 2,99; ...), teremos: f(2) = 2 + 2 = 4 f(2,5) = 2,5 + 2 = 4,5 f(2,9) = 2,9 +2 = 4 f(2,99) = 2,99 +2 = 4,99 Repetindo o procedimentopara a sucessão de valores à direita de 3 dada por (4; 3,5; 3,01; 3,001; ...), teremos: f(4) = 24 + 2 = 10 f(3,5) = 2(3,5) + 2 = 9 f(3,1) = 2(3,1) +2 = 8,2 f (3,01) = 2(3,01) + 2 = 8,02 f(3,001) = 2(3,001) + 2 = 8,002 8)x(flim de diferente é 5)x(flim 3x3x -29- O esboço gráfico ajuda a concluir sobre a inexistência do limite da função no ponto x = 3. Exemplo 03: Dada a função 3x 5 )x(f cujo domínio é R – {3}, faça x percorrer pela direita o conjunto (3,1; 3,01; 3,001; 3,0001; ...) e pela esquerda o conjunto (2,9; 2,99; 2,999; 2,9999; ...) e represente a conclusão por meio da forma própria dos limites. Solução: x assume valores à direita de 3 x assume valores à esquerda de 3 50 1,0 5 )1,3(f 500 01,0 5 )01,3(f 5000 001,0 5 )001,3(f 50000 0001,0 5 )0001,3(f 50 1,0 5 )9,2(f 500 01,0 5 )99,2(f 5000 001,0 5 )999,2(f 50000 0001,0 5 )9999,2(f Das duas sucessões obtidas, vê-se que x converge para 3, pela direita ou pela esquerda, f(x) tende para mais infinito ( + ). Tal fato pode ser representado por: 3x 5 lim )x(flim )x(flim 3x3x3x + -30- 4.2. Definição de Limites Seja xf uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número ""a , exceto possivelmente no próprio ""a . Então, diz-se que o limite de xf quando x tende a ""a ax é L , e representa-se por Lxf ax lim se ax0 para todo 0 há um número correspondente 0 tal que Lxf sempre que ax0 , isto é, se Lxfax0 . Exemplo: Provar que 75x4lim 3x Solução: (a) Encontrar um valor para : Uma análise preliminar do problema indica que se 0 , deve encontrar-se um tal que 75x4 sempre que 3x0 , mas 3x43x412x475x4 sempre que 30 x , isto é, 4 3x sempre que 3x0 , logo 4 . (b) Prova: Portanto, dado 0 , escolhe-se 4 , e se 30 x , então, 4 443x43x412x475x4 Assim 75x4 sempre que 30 x , portanto 75x4lim 3x Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é, 3x , donde 75125345x4lim 3x Outros exemplos: a) 93xlim 22 3x b) 277457x5lim 4x Em alguns casos o limite não é tão evidente. Seja a função 2x 4x4x3 xf 2 , com 2x , isto é, 0 0 2x 4x4x3 limxf 2 2x Indeterminação. Neste caso, estudaremos artifícios matemáticos necessários para determinação do limite. -31- Exercícios de Aprendizagem 01. Para cada função abaixo f(x) e para cada a, calcule (quando existir) )x(flim e )x(flim ),x(flim axaxax : a) 2 ,)( 3 axxf b) 3 ,12)( axxf c) 0 , 3 5 )( a x x xf d) 2 , 3 5 )( a x x xf e) 3 , 3 se ,8 3 se ,12 )( a x xx xf f) 0 , 0 se , 0 se , )( 2 a xx xx xf g) 2 , 2 se ,7 2 se ,2 )( a x xx xf h) 7 ,43)( axxf i) 2 , 2 )( a x x xf j) 4 ),()( axsenxf k) 0 ),1log()( axxf 02. Calcule os limites: a) )5x7x4( lim 2 1 x b) x35 3x2x lim 2 3 x c) 3 2 2 2 x 4x3x 5x2x3 lim d) 4x5 3x3x2 lim 2 1 x e) 3 23 2 x 3x4 3xx5x3 lim f) x46 2x3x2 lim 2 2 x Respostas dos Exercícios Questão 01 a) 8; 8; 8 b) 7; 7; 7 c) 3 5 ; 3 5 ; 3 5 d) -7; -7; -7 e) 7; 7; 7 f) 0; 0; 0 g) 7; 4; não existe h) 5; 5; 5 i) 0; 0; 0 j) 2 2 ; 2 2 ; 2 2 k) 0; 0; 0 Questão 02 a) 2 b) 0 c) 8 1 d) 3 2 e) 3 5 39 f) -2 -32- 4.3. Formas Indeterminadas Consideremos a função 4x 2x )x(f 2 e vejamos qual o limite quando x tende a 2; se x tender a 2 pela esquerda ou pela direita, notamos que o numerador tende a 0, bem como o denominador. Teríamos então uma fração impossível de ser calculada 0 0 e que é chamada de forma indeterminada. Todavia, observamos que a expressão de f(x) pode ser simplificada ao fatorarmos o denominador, ou seja: 2x 1 )2x()2x( 2x 4x 2x )x(f 2 Assim sendo, as funções 4x 2x )x(f 2 e 2x 1 )x(h têm um comportamento idêntico (exceto para x = 2, em que a 1ª não é definida). Ora, no cálculo do limite de f(x), quando x tende a 2, não interessa o que acontece quando x = 2 (pois quando x tende a 2 ele é diferente de 2). Assim, no cálculo do limite f(x) e h(x) têm o mesmo comportamento. Portanto: 4 1 2x 1 lim 4x 2x lim 2x22x . Convém, antes de darmos novos exemplos, lembrarmos algumas fórmulas que auxiliarão no cálculo de limites quando na forma indeterminada: Produtos Notáveis: 1º) Quadrado da soma entre dois termos: 222 2)( bababa 2º) Quadrado da diferença entre dois termos: 222 2)( bababa 3º) Produto da soma pela diferença entre dois termos: 22)()( bababa 4º) Cubo da soma entre dois termos: 32233 33)( babbaaba 5º) Cubo da diferença entre dois termos: 32233 33)( babbaaba Fatorações: 6º) Fator comum: )( yxaayax 7º) Diferença de quadrados: )()(22 bababa 8º) Trinômio do 2º grau: ´ )´(´)(2 xxxxacbxax , onde x´ e x´´ são as raízes obtidas pela fórmula de Báskara. -33- 9º) Soma de cubos: )()( 2233 babababa 10º) Diferença de cubos: )()( 2233 babababa Conjugado de Radicais 11º) Conjugado de ba é ba , pois bababa . 12º) Conjugado de 33 ba é 3 233 2 baba , pois babababa 3 233 233 ()( . Outros Exemplos: a) 0)5x(lim 5x )5x( lim 5x 25x10x lim 5x 2 5x 2 5x b) 4)5x(lim )1x( )5x()1x( lim 1x 5x6x lim 1x1x 2 1x c) 8)8x(lim x )8x(x lim x x8x lim 0x0x 2 0x d) 4 3 2x 5x lim )2x()2x( )5x()2x( lim 4x 10x7x lim 2x2x2 2 2x e) 6 9x )3x()x9( lim 3x 3x 3x x9 lim 3x x9 lim 9x9x9x f) 27)27x9x(limx x27x9x lim x 27)27x27x9x( lim x 27)3x( lim 2 0x 23 0x 23 0x 3 0x g) 1221212xlim 1212x 1212x 1212x x lim 1212x x lim 2 0x2 2 2 2 0x2 2 0x h) 25 6 x25 6 lim x25 x2 x 3 lim )x5()x5( x2 x 3 lim x5 1 x5 1 x 3 lim 20x20x0x0x i) 0 1 1x 2x lim )1x()1x( )1x()2x( lim 1x 2xx lim 1x1x2 2 1x Para o exemplo (i), acima, diremos, por ora, que o limite não existe, porém, vamos abortar situações como esta com maior propriedade no próximo tópico, denominado Limites Infinitos. -34- Exercícios de Aprendizagem 01. Obtenha os limites: a) 3x 9x lim 2 3x b) x7 x49 lim 2 7x c) 25x x25 x5 lim d) x3x xx lim 2 2 0x e) xx2 x lim 2 3 0x f) 1x 3x4x lim 2 1x g) 4x 12x7x lim 2 4x h) 2x3x 1x lim 21x i) 1x 1x2x lim 2 1x j) 4x 2x lim 22x k) 2x 8x lim 3 2x l) 6x5x 27x lim 2 3 3x m) 1x 3x4x lim 3 2 1x n) 2x3x 1x lim 21x o) 1x 1x lim 2 1 x p) x2 x4 lim 2 2 x q) 25x2x 35x2x lim 2 2 2 1 x r) 1x 1x lim 2 3 1 x s) 2 3 2 x x4 x8 lim t) 58x4xx 46x3xx lim 23 23 1 x (Questão Desafio!) Respostas dos Exercícios a) 6 b) 14 c) 10 1 d) 3 1 e) 0 f) -2 g) 1 h) -1 i) 0 j) 4 1 k) 12 l) 27 m) 3 2 n) 1 o) 2 p) 4 q) 3 7 r) 2 3 s) 3 t) 1 -35- 4.4. Limites Infinitos Consideremos a função 3x 5 )x(f definida para todos os reais diferentes de 3. Vejamos o que acontece com f(x) nas vizinhanças de 3. Calculemos o limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita: vamos atribuir a x os valores de uma sucessão que convirja para 3 pela direita, por exemplo: ...) 3,0001; 3,001; 3,01; ;1,3( . As correspondentes imagens são: 50 1,0 5 )1,3(f , 500 01,0 5 )01,3(f , 000.5 001,0 5 )001,3(f , 000.50 0001,0 5 )0001,3(f . Observamos que as imagens vão ficando cada vez maiores, superando qualquer valor fixado. Dizemos, neste caso, que o limite de f(x), quando x tende a 3 pela direita, é infinito, e escrevemos: 3x 5 lim)x(flim 3x3x . Analogamente, para calcularmos o limite de f(x) pela esquerda, vamos atribuir a x, por exemplo, os valores: ...) 2,9999; 2,999; 2,99; ;9,2( As correspondentes imagens são: 50 1,0 5 )9,2(f , 500 01,0 5 )99,2(f , 000.5 001,0 5 )999,2(f , 000.50 0001,0 5 )9999,2(f . Observamos que as imagens vão ficando cada vez menores, ficando abaixo de qualquer valor fixado. Dizemos que o limite de f(x) é menos infinito, quando x tende a 3 pela esquerda, e escrevemos: 3x 5 lim)x(flim 3x3x . -36- De um modo geral, o limite de uma função é infinito quando os valores de f(x) vão ficando cada vez maiores, superando qualquer valor fixado; da mesma forma, dizemos que o limite de uma função é menos infinito quando os valores de f(x) vão ficando cada vez menores, de modo a se situarem abaixo de qualquer valor fixado. -37- Exercícios de Aprendizagem 01. Para cada função f(x) abaixo, calcule )(lim xf ax e )(lim xf ax , quando existirem: a) 6 , 6 4 )( a x xf b) 1 , 1 3 )( a x xf c) 5 , 5 2 )( a x xf d) 0 , 5 )( a x x xf e) 2 , 2 )( a x x xf f) 1 , 1 )( 2 a x x xf g) 0 , 1 )( a x xf h) 0 , 1 )( 2 a x xf Respostas dos Exercícios i) 0 , 1 )( 2 a x xf j) 0 , 1 )( 3 a x xf k) 0 , 1 2)( 2 a x xxf l) 2 , 2 3 5)( a x xxf m) 1 , )1( 5 )( 2 a x x xf n) 1 , )1(5 1 )( 2 a xx xf o) 3 , )3( 4 )( 2 a x x xf p) 3 , )3(4 1 )( 2 a xx xf a) e - b) - e c) e d) e - e) - e f) e - g) e - h) e i) - e - j) e - k) e l) e - m) e n) e o) e p) e -38- 4.5. Limites nos Extremos do Domínio São os limites em que a variável independente x tende a assumir, em módulo, valores muito grandes positivos (+ ) ou negativos (– ). Simbolicamente, teríamos: x x f(x) lim ou )x(flim Exemplos: Calcule os limites das funções a seguir e faça o esboço gráfico para cada uma das situações apresentadas: a) x 1 lim x _______ b) x 1 lim x _______ c) 3 x xlim _______ d) 3 x xlim _______ e) 2 x x- lim _______ f ) 2 x x- lim _______ Os limites nos extremos (x tendendo a mais ou menos infinito) podem ser um número real, ou ainda podem dar mais ou menos infinito, conforme os exemplos anteriores mostraram. Há funções cujos limites nos extremos não existem, como a função f(x) = sen(x), pois f(x) oscila entre -1 e 1 à medida que x tende para mais ou menos infinito. O limite nos extremos de uma função polinomial é igual ao limite de seu termo de maior expoente, pois, colocando-se esse termo em evidência, todos os outros termos tendem a 0. Isso pode ser constatado no seguinte exemplo: 3 x32 3 x 23 x 2x lim x2 9 x2 5 x 2 12x lim)9x5x4(2x lim , pois todos os termos (exceto o 1º) entre parênteses tem limite igual a 0 quando x tende a infinito. Como consequência da observação anterior, quando tivermos o limite nos extremos de um quociente de dois polinômios, ele será igual ao limite do quociente dos termos do maior expoente do numerador e denominador. Assim, por exemplo: .2x lim x2 4x lim 17x8x2 9x7x54x lim x2 3 x2 23 x -39- Exercícios de Aprendizagem 01. Calcule os seguintes limites: a) 2 1 lim xx b) 2 1 lim xx c) 4 lim x x d) 4 lim x x e) 5 3lim x x f) 5 3lim x x g) x x e lim h) x x e lim i) )632(lim 34 xxx x j) )632(lim 34 xxx x k) )632(lim 25 xx x l) )632(lim 25 xx x m) 125 135 lim 2 24 xx xx x n) 125 135 lim 2 24 xx xx x o) 1 523 lim 23 x xx- x p) 3 12 lim x x x q) 3 12 lim x x x r) 316 225 lim x x- x s) xx xx x 52 13 lim 2 2 t) 3 1 lim 2 x x x u) 1 13 lim 23 2 x-xx xx x v) 152 14 lim 2 xx x x w) x x x 43 21 lim 2 x) x x x 43 21 lim Respostas dos Exercícios a) 0 b) 0 c) d) e) f) - g) h) 0 i) j) k) l) - m) n) o) - p) 2 q) 2 r) 16 25 s) 2 1 t) 0 u) 0 v) 0 w) x) 2 1 -40- 4.6. Propriedades Operatórias dos Limites 1. xvvexuuparavlimulimvulim axaxax 2. xuuparaulimCuClim axax e C é uma constante. 3. xvvexuuparavlimulimvulim axaxax 4. xvvexuupara vlim ulim v u lim ax ax ax 5. xuuparaulimulim m ax m ax 6. xuuparaulimulim m ax m ax 7. xuuparaulimloguloglim ax aa ax 8. xvvexuuparaulimulim vlim ax v ax ax 9. ,,0,00,00 e 0,,0 kk 10. Indeterminações de limites: 1,0,,, 0 0 ,0, 00 Exemplos: Dadas as funções )2x( 1 )x(f 2 e x3 g(x) , calcule os limites indicados, fazendo uso das propriedades operatórias: a) )x(flim 2x b) )x(glim 2x c) 2x2x )x(glim)x(flim d) 2x2x )x(glim)x(flim e) 2 2x )]x(f[lim f) 2x2x )x(glim)x(flim -41- 4.7. Notações Simbólicas Operacionais a) b) c) d) e) f) -42- 5. Continuidade de uma Função Intuitivamente, a ideia de função contínua decorre da análise de seu gráfico. Quando o gráfico de uma função não apresenta interrupções, dizemos que ela é contínua. Se houver algum ponto em que ocorre a interrupção, dizemos que esse é um ponto de descontinuidade. A fim de tornarmos mais formal esse conceito, observemos as funções que comparecem na figura abaixo: a) f1(x) = x 2 b) f2(x) = 2 1 x c) f3(x) = 0 para ,2 0 para ,1 xx xx d) f4(x) = 2 42 x x e) f5(x) = x 1 Temos as seguintes considerações a fazer: Para a função f1(x), cujo gráfico é uma parábola, para qualquer valor real de b temos: ),()(lim)(lim 111 bfxfxf bxbx ou seja, o limite existe para x tendendo a b, e, além disso, ele é igual ao valor da função em b. Para a função f2(x), se calcularmos o limite para x tendendo a zero, veremos que: ,)(lim)(lim 2 0 2 0 xfxf xx ou seja, o limite existe para x tendendo a 0, mas ele não é igual ao valor da função para x = 0, pois 0 está fora do domínio. Para a função f3(x), se calcularmos o limite para x tendendo a zero, veremos que: ,2)(lim e 1)(lim 3 0 3 0 xfxf xx ou seja, não existe o limite da função para x = 0. x y x y x y -1 2 1 2 x y 2 4 x y -43- Para a função f4(x), se calcularmos o limite para x tendendo a 2, teremos: ,4)(lim)(lim 4 2 4 2 xfxf xx ou seja, o limite existe para x tendendo a 2, mas a função não está definida para x = 2. Para a função f5(x), se calcularmos o limite para x tendendo a zero, teremos: ,)(lim e )(lim 5 0 5 0 xfxf xx ou seja, não existe o limite da função para x tendendo a zero. Pela análise dos gráficos, vemos que, com exceção de f1(x), todas as outras funções apresentam interrupções em algum ponto. No caso da função f1(x), o que caracteriza a ausência de interrupções é o fato de o limite existir em qualquer ponto b do domínio e, além disso, desse limite ser igual à imagem de b. Isso sugere a seguinte definição: Uma função f(x) é contínua num ponto b do domínio, se: ).()(lim)(lim bfxfxf bxbx Em resumo, temos: f1(x) é contínua em todos os pontos do domínio, f2(x) é descontínua para x = 0, f3(x) é descontínua para x = 0, f4(x) é descontínua para x = 2, f5(x) é descontínua para x = 0. Exemplos: Exemplo 01: Verificar se a função 2 4 )( 2 x x xf é contínua em x = 3. Resolução: Cálculo de )3(f : 5 43 43 )3( 2 f . Cálculo do :)(lim 3 xf x 2 4 lim 2 3 x x x = )2( )2)(2( lim 3 x xx x = )2(lim 3 x x = 5. Como )(lim 3 xf x = )3(f , )(xf é contínua no ponto x = 3. Exemplo 02:Verificar se a função 1 7 )( x x xf é contínua no ponto x = 1. Resolução: Como não existe divisão por zero, a função é descontínua em x = 1. Exemplo 03: Verificar se a função 3 22 3 2 )( xsex xsex xf é contínua em x =3. Resolução: Cálculo de )3(f : Para x = 3, tem-se 523)3( f . Contudo, como 5)(lim 3 xf x é diferente de ,8)(lim 3 xf x conclui-se que não existe o limite em x = 3, logo, a função é descontínua. -44- 6. Limite Exponencial Fundamental e x 1 1limou e x 1 1lim x x x x Onde e é um número irracional, chamado número de Euler em homenagem ao matemático suíço, Leonhard Euler (1707-1783), famoso por sua extensa e original produção no campo da matemática. Veja a sequência de cálculos para entender melhor a expressão acima. Façamos x variar de 1 até +. 2 1 1 11x 1 5,2 4 9 2 1 12x 2 36,2 27 64 3 1 13x 3 44,2 256 625 4 1 14x 4 59,2 10 10.59,2 10 1 110x 10 1010 705,2 100 1 1100x 100 717,2 1000 1 11000x 1000 e...71828182,2 1 1x Uma forma equivalente desse limite é: e)x1(lim x 1 0x Exemplos: Calcule os limites indicados abaixo: a) x4 x x 1 1lim ___________________ b) x x x 1 1lim ___________________ c) x 5 0x x1lim ____________________ -45- Exercícios de Aprendizagem 01. Dada a função 1x x1 )x(f , diga se )x(f é contínua nos pontos: a) x = 0 b) x = -1 c) x = 2 02. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas: a) 3 x3, 3 x,2pxx )x(f 2 b) -1 x,p -1 x,p2x )x(f 2 c) 0 x7,-p 0 x,e )x(f 3 x2 03. Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas: a) )7x)(3x( x )x(f b) )x6)(3x()x(f c) )x(sen21 1 )x(f d) 10x6x 1x3x )x(f 2 2 04. Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções: a) 0 xx, 0 x,0 )x(f b) 2 x1, -2 x, 2x 4x )x(f 2 c) 0 x1,- 0 x, x x )x(f d) 0 xx,- 0 x),1xln( )x(f e) 3x4x 3xx3x )x(f 2 23 05. Calcule os limites indicados abaixo, considerando o limite exponencial fundamental e x 1 1lim x x : a) 5x x x 1 1lim b) x x x1 x lim Respostas dos Exercícios Questão 01 a) Sim b) Não c) Sim Questão 02 a) 3 8 p b) p = 1 c) p = 2 Questão 03 a) 3 xe 7x b) x (3, 6) c) Zk ,k2 6 7 x Zk ,k2 6 x k2 k1 d) Contínua em todo domínio. Questão 05 a) e b) e 1 -46- Exercícios de Revisão da Unidade 2 01. Resolver os limites abaixo: a) 2x 6x5x lim 2 2x b) 2x 4x lim 2 2x c) 1x 1x lim 2 3 1x d) h 9)h3( lim 2 0h e) h h42 lim 0h f) 3 23x 2x6 4x lim 02. Resolver os limites abaixo: a) )3x2(lim x b) )x54(lim x c) )3x4x5(lim 2 x d) )x4(lim 2 x e) )4x3(lim 3 x 03. Resolver os limites abaixo: a) 10x3x2 x7x4 lim 2 3 x b) 1x2 2x11 lim 3 x c) 1xx2 1x3x lim 2 3 x d) 7x5 3x2 lim x e) 12x4 x121 lim 2 3 x f) x5x3x3 3x2x2 lim 23 3 x 04. Julgue as afirmações: I) x x 10lim II) x x alim , se 0 < a < 1 III) 0)(lim 4 xx x Assinale a alternativa correta: a) I, II e III são falsas. b) Apenas as afirmações I e II são falsas. c) I, II e III são verdadeiras. d) Apenas as afirmações I e III são falsas. e) Apenas as afirmações II e III são falsas. 05. O x9x 3x lim 29x é igual a: a) 9 1 b) 27 1 c) 243 1 d) 523 1 e) 54 1 06. Calculando-se 2x3x x2xx lim 2 23 2x , obtém-se: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 -47- 07. Seja 4 xse 2x,k 4 xse ,4x )x(f . O valor de k para o qual f(x) é contínua em x = 4 é: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 08. O valor de x x x 1 17lim vale: a) 7e b) e7 c) 7 – e d) 7 + e e) 7e 09. Observe o gráfico da função f(x). É correto afirmar: a) não existe o )x(flim 2x b) 2)x(flim 1x c) 4)x(flim 4x d) )x(flim 6x e) 5)x(flim 7x 10. Observando o gráfico correspondente à função f(x), assinale a única alternativa incorreta: a) 2)x(flim 1x b) )x(flim 1x c) 2)x(flim 1x d) 2)x(flim x e) f(1) = 2 11. Calcule os limites: a) )3x5x(lim 2 4 x b) 4x 3x2 lim 2 x c) x8 3x 1x5 lim 21 x d) 2x 64x lim 2 x e) x 4x lim 8 x f) 1x 1x lim 2 3 1- x g) 2x3x 1x lim 2 3 1- x h) 4x4x x2x lim 2 2 1- x i) 3x4x 2x3x lim 4 3 1 x j) 33 2 3x ax ax)1a(x lim k) h x)hx( lim 33 0h l) 31x x1 3 x1 1 lim m) 1x 1x lim 1x n) 4x 8x lim 364x o) 2 33 2 1x )1x( 1x2x lim p) 49x 3x2 lim 27x q) 2x 8x lim 38x r) 1x 1x lim 31x s) x51 x53 lim 4x t) x x1x1 lim 0x u) 2x2x3 1x4x2 lim 4 23 x v) 1xx3 3xx4 lim 34 3 x x) 8x3x2 3xx2x4 lim 2 23 x z) 1x2 1x2x lim 2 4 x -48- Respostas dos Exercícios Questão 01 a) -1 b) 0 c) 2 3 d) 0 e) 4 1 f) 2 1 Questão 02 a) b) c) d) e) Questão 03 a) b) 0 c) d) 5 2 e) f) 3 2 Questão 04: E Questão 05: E Questão 06: E Questão 07: D Questão 08: D Questão 09: A Questão 10: C Questão 11 a) -1 b) 6 7 c) -7 d) 12 6 e) 4 1 f) 0 g)
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