Estática dos Fluidos

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Fenômenos de Transporte
Estática dos Fluidos
Rodrigo Corrêa Basso
UNIFAL - Fenômenos de Transporte -
Rodrigo Corrêa Basso
Estática dos Fluidos
⇛ Em um elemento de fluido em repouso, a tensão deve sempre atuar 
perpendicularmente à superfície.
Tensão normal, 
na ausência de movimento 
Pressão
⇛ Lei de Pascal afirma que a pressão exercida em um ponto, em um fluido 
estático ou em um fluido com movimento uniforme, é igual em todas as 
direções.
► O fenômeno físico, a pressão, é contínua, sendo a mesma em todas as 
superfícies em um dado ponto.
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Estática dos Fluidos
Considerando o elemento de fluido ∆�∆� ∆� , conforme abaixo:
g
��∆�∆� ���∆�∆�∆�
�	∆�∆�
�	�∆	∆�∆�
�
∆�∆�
�
�∆
∆�∆�
� = �
� = � ∙ 
� = ���
����� = ����� (��. 1)
Representação das pressões
Provando que a força peso pode ser dada pela equação (1).
��� � ! =
��
�"
�
� �"UNIFAL - Fenômenos de Transporte -Rodrigo Corrêa Basso
Estática dos Fluidos
A distribuição de forças no elemento de volume pode ser dada como abaixo:
g
��∆�∆� ���∆�∆�∆�
�	∆�∆�
�	�∆	∆�∆�
�
∆�∆�
�
�∆
∆�∆�
#�� = �� ∆�∆� − ���∆� ∆�∆� = 0
#�
 = �
 ∆�∆� − �
�∆
 ∆�∆� = 0
#�	 = �	 ∆�∆� − �	�∆	 ∆�∆� − ��(Δ�Δ�Δ�) = 0
Aplicando a primeira lei de Newton 
em cada direção.
#� = 0
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A distribuição de forças no elemento de volume pode ser dada como abaixo:
#�� = �� ∆�∆� − ���∆� ∆�∆� = 0
#�
 = �
 ∆�∆� − �
�∆
 ∆�∆� = 0
#�	 = �	 ∆�∆� − �	�∆	 ∆�∆� − ��(Δ�Δ�Δ�) = 0
Dividindo as três equações por Δ�Δ�Δ�, e aplicando os limites, em cada equação, 
para Δ�, Δ�, Δ� tendendo a zero, tem-se:
#&� = − '�'� = 0
#&
 = − '�'� = 0
#&	 = − '�'� − �� = 0
onde & é a força externa atuando sobre o elemento 
de fluido
► caso não seja tomada em uma direção arbitrária, 
pode ser decomposto nas direções x, y e z 
(eq. 2)UNIFAL - Fenômenos de Transporte -
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#&	 =− +�+� − �� = 0 →
+�
+� = − ��
Como 010� � 
01
0
 são iguais a zero, a pressão não é função de x e z, e a equação 2 pode ser escrita como derivada ordinária.
Considerando um fluido incompressível e o campo gravitacional constante:
I +J = −��I +� → � − �K = −��(� − �K)
	
	L
�
�K
onde JK é a pressão no nível de referência escolhido arbitrariamente
�� = M → peso especíNico → massa por unidade de volume
⇛ Hidrostática
► Estudo do comportamento dos líquidos (fluidos incompressíveis) em equilíbrio 
estático
(eq. 3)
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y
0
�P
� 
Estática dos Fluidos
I +� = −��I +� → � − �K = −��(� − �K)
	
	L
�
�K
�K → pressão no nıv́el de referência arbitrário
posso escolher meu nível de referência como sendo a superfície do 
fluido 
�K = �QRS
� − � K = −�� � − �K
� − � QRS = −�� −�
� = ��� + � QRS
⇛ Hidrostática
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Calcular de forma literal as pressões nos pontos a, b, c, d.
Calcular de forma literal as pressões nos pontos A, B, C, D.
� = ��� + � QRS
� = �Q��R + � QRS
► Ponto A
� = ��� + � QRS
� = �Q��U + � QRS
► Ponto a
� = ��� + � QRS
� = �Q� (�R − �V) + �S��V + � QRS
► Ponto D
 ⇒ +�X�Y+Z+� +Z água → �Q⇒ +�X�Y+Z+� +[ ��\]ú\Y[ → �S
⇛ Hidrostática
y
0
�P
� 
�U
�R
�K
�VHg
Exercício.
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y
0
�P
� 
⇛ Hidrostática
Expandindo a lei de Pascal:
A pressão é continua e uniformemente distribuída em um ponto de um
fluído com densidade constante em equilíbrio estático, variando apenas
com a distância vertical e sendo independente da forma do tanque.
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Considerando um tanque contendo água e óleo, conforme demonstrado abaixo, 
calcule a pressão (em Pa) na interface dos fluidos (�P) e no fundo do tanque (� )
�ó`�� = 917 �� �"!
�ácdQ = 1000 �� �"!
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�P = 10 &e ∙ 1 �3,2808 &e = 3,048 �
� = 2 &e ∙ 1 �3,2808 &e = 0,6096 �
�P = �ó`�� ∙ � ∙ �P + �QRS = 917 ���" ∙ 9,81
�
� ∙ 3,048 � + 101325 �Z = 128,7 ��Z 
� = �ácdQ ∙ � ∙ ℎ + �P = 1000 ���" ∙ 9,81
�
� 
∙ 0,6096 � + 128,7 ��Z = 134,68 ��Z
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⇛ Aeroestática
► Estudo do comportamento dos gases (fluidos compressíveis) em equilíbrio 
estático
►A densidade dos gases varia quase proporcionalmente à pressão.
A densidade deve ser considerada variável na integração da equação 3 quando
há diferença considerável de pressão.
Em pressões baixas e moderadas, o resultado torna-se suficientemente preciso se 
for utilizada a lei dos gases ideais em base mássica.
�j = �kl → � = �kl (��. 4)
+�
+� = − ��
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(��. 3)
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⇛ Aeroestática
Pode se substituir a equação 4 na equação 2, fazer a separação de variáveis e 
integrar:
+�
+� = −
�
kl � →
+�
� = −
�
kl +�
I +��
1
1L
= − �klI +� → mn
o
op = −
q
rs(t − tp)
u
uL
o = op ∙ vwx qrs ∙ (tp − t)
�
� → ][X�eZXe�
Em uma situação isotérmica:
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⇛ Aeroestática
Exercício
Considerando uma situação isotérmica, se no nível do mar a pressão é 0,101350 MPa,
calcular a pressão a uma altura de 5000 m, considerando uma temperatura a nível 
do mar igual a 15 °C
� = �K ∙ ��J �kl ∙ (�K − �)
y
� = 101350�Z ∙ ��J 9,81
�
� 
287� 
� ∙ y
∙ 288,15y
∙ 0 − 5000 � = 56 ��Z 
Dado R = 287
Sz
�z∙{
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⇛ Aeroestática
Substituindo a equação anterior na equação 2, substituindo-se a 
representação da densidade para gases ideais (eq.4) e fazendo a separação de 
variáveis tem-se:
+� = +l| → 
+�
+� = − �� → }o = −~q
}s

| = +l+� → constante
Em uma situação não isotérmica, porém com taxa de queda de pressão em 
função de y constante:
► deCinindo a taxa de queda constante →
� = �kl → +� = −
�
kl �
+l
| →
}o
o = −
q
rs
}s

I +��
�
1L
= − �k|I
+l
l → mn
o
op =
q
r ∙ mn
sp
s
€
€L
 (��. 6)
(eq. 5)
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⇛ Aeroestática
Em uma situação não isotérmica, porém com taxa de queda de pressão em 
função de y constante.
X ��K = X
lK
(lK + |�)
c
‚ƒ → o = op ∙ spsp + t
q
r (��. 7)
Considerando que há uma variação linear da temperatura com a altura, 
conforme expresso pela equação abaixo.
l = lK + |(� − �K)
Substituindo a expressão acima na equação , considerando �K = 0 
pela escolha da referência e aplicando a exponencial, tem-se:
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X ��K =
�
k| ∙ X
lK
l →
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⇛ Tensão superficial 
►O que ocorre quando uma gota de líquido está em contato com uma superfície? 
• As partículas no centro são rodeadas por partículas de líquido
enquanto as partículas na superfície possuem menos partículas de
líquido em contato.
Partículas na superfície são
atraídas para o interior da gota.
• Mais líquido adicionado à gota será atraído para o interior da gota, formando 
uma área superCicial maior → o trabalho associado com essa formação é a 
tensão superficial. 
tensão superficial→ „ 
• unidade de trabalho por área → …∙S Sz⁄
• unidade de força por comprimento de uma 
linha na super<cie livre → … S⁄UNIFAL - Fenômenos de Transporte -
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⇛ Tensão superficial 
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⇛ Tensão superficial 
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⇛ Tensão superficial 
► Diagrama de corpo livre de uma gota semi-esférica de 
líquido.
A diferença entre a pressão dentro e fora da gota semi-
esférica, agindo sobre a área superficial é 
contrabalanceada pela ação da tensão superficial (na 
superfície livre) sobre a circunferência da gota.
‡ \ Δ� = 2‡\„
Δ� = 
2„
\
 (��. 8)
• A tensão superficial, devido a diferença de energia entre as moléculas de 
líquido no interior e na superfície, provoca a diferença de pressão na gota.
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⇛ Tensão superficial 
► Diagrama de corpo livre de uma gota semi-esférica de 
líquido.
A diferença entre a pressão dentro e fora da gota semi-
esférica, agindo sobre a área superficial é 
contrabalanceada pela ação da tensão superficial (na 
superfície livre) sobre a circunferência da gota.
‡ \ Δ� = 2‡\„
Δ� = 
2„
\
 (��. 8)
• A tensão superficial, devido a diferença de energia entre as moléculas de 
líquido no interior e na superfície, provoca a diferença de pressão na gota.
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⇛ Ângulo de contato e molhabilidade
O efeito da capilaridade está ligado ao quanto o líquido molha a 
superfície.
Elevados ângulos de contato indicam molhabilidade reduzida.
normalmente → ˆ ‰ 90 → está	associado	ao	caso	de	não	molhabilidade
					ˆ	 Œ 	90 → está associado a elevada molhabilidadeUNIFAL - Fenômenos de Transporte -
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⇛ Capilaridade
O efeito da capilaridade está ligado ao quanto o líquido molha a 
superfície, neste caso, do tubo de vidro.
água → ˆ = 0° mercúrio → ˆ = 130°
Forças intermoleculares entre as 
moléculas de mercúrio são maiores 
do que entre as moléculas de 
mercúrio e a superfície.
Forças intermoleculares entre as 
moléculas de água são menores 
do que entre as moléculas de 
água e a superfície. UNIFAL - Fenômenos de Transporte -
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⇛ Tensão superficial e capilaridade
Diagrama de corpo livre de um líquido sofrendo capilaridade.
ˆ
Componente vertical deve suportar o peso 
da coluna de líquido com volume V = ‡\ ℎ
][�ˆ = „�R‘UQ`
2‡\„
„�R‘UQ` = 2‡\„][�ˆ
2‡\„
Igualando as forças verticais para que o fluido fique em equilíbrio estático. 
2‡\„][�ˆ = ��‡\ ℎ
ℎ = 2„][�ˆ
��\
 (��. 9)
h
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Exercício – Faça o balanço de distribuição de pressões nos sistemas de tubos.
�K −
2„][�ˆ
\ = �‘ − ���
��� = �‘ − �K + ’U��“
� = 1�� �‘ − �K +
2„][�ˆ
��\
Considerando o raio de curvatura igual 
ao da semi-esfera.
⇛ Tensão superficial e capilaridade
Diagrama de corpo livre de um líquido sofrendo capilaridade.
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⇛ Tensão superficial e capilaridade
Determine a distância h que o nível de mercúrio irá abaixar em um tubo de 
vidro de 4 mm de diâmetro inserido em um recipiente largo contendo 
mercúrio a 20 °C.
► Igualando as forças 
verticais
2‡\„][�ˆ = ��‡\ ℎ
ℎ = 2„][�ˆ
��\
Dados: ângulo de contato entre o mercúrio e o vidro → 130 °
densidade do mercúrio: 13580 
•c
S–
tensão superficial entre o mercúrio e o ar: 0,44 … S⁄
ℎ = 2 ∙ (0,44 ∙ cos 130°)13580 ∙ 9,81 ∙ 0,002 = −0,00212 �UNIFAL - Fenômenos de Transporte -Rodrigo Corrêa Basso