Unidade 1 Parte 3

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
UNIDADE 1: (Parte 3) 
1.5.2 Integração por partes 
 
Uma vez que 
 
∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
 𝑥2 + 𝐶 e ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 =
1
3
 𝑥3 + 𝐶 
é evidente que 
∫ 𝑥 ∙ 𝑥 𝑑𝑥 ≠ ∫ 𝑥 𝑑𝑥 ∙ ∫ 𝑥 𝑑𝑥 
 
Em outras palavras, a integral de um produto não é o produto de integrais 
individuais, ou seja, 
 
∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 não é igual a ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∙ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥. 
Integração por partes é uma técnica para simplificar integrais da forma 
∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
Sejam 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) funções deriváveis no intervalo 𝐼. Temos, 
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥). 
Em termos de integrais indefinidas, essa equação se torna, 
∫[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]′𝑑𝑥 = ∫[ 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)] 𝑑𝑥 ou 
∫[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]′𝑑𝑥 = ∫ 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 . 
Rearranjando os termos dessa última equação temos: 
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∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)′𝑑𝑥 = ∫[ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]′ − ∫ 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 . O que leva a fórmula 
da integração por partes: 
∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
Sejam 𝑢 = 𝑓(𝑥) e 𝑣 = 𝑔(𝑥). Então 𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 e 𝑑𝑣 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥. Usando a 
regra da substituição, a fórmula da integração por partes se torna 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
 Exemplos: 
1. ∫ 𝑥 ∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
Sendo: 𝑢 = 𝑥 e 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 e 𝑣 = 𝑒𝑥 
 
∫ 𝑥 ∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
= 𝑥𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
= 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 
= (𝑥 − 1)𝑒𝑥 + 𝐶 . 
2. ∫ 𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 
Sendo: 
 𝑢 = ln 𝑥 
 𝑑𝑢 =
1
𝑥
 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑥 𝑑𝑥 
𝑣 =
𝑥2
2
 
∫ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
= ln 𝑥 ∙ 
𝑥2
2
− ∫
𝑥2
2
 ∙
1
𝑥
 𝑑𝑥 
=
𝑥2
2
ln 𝑥 −
1
2
 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 
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=
𝑥2
2
ln 𝑥 −
1
2
 ∙ 
𝑥2
2
 
= 
𝑥2
2
ln 𝑥 − 
𝑥2
4
+ 𝐶. 
3. ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
Sendo: 
𝑢 = 𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = cos 𝑥 
𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
= 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
= 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶. 
4. ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 
Sendo: 
𝑢 = ln 𝑥 
𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 
𝑣 = 𝑥 
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. ln 𝑥 − ∫ 𝑥.
1
𝑥
𝑑𝑥 
= 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 
= 𝑥(ln 𝑥 − 1) + 𝐶. 
5. Calcular ∫ 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 . 
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑑𝑢 = cos 𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
𝑣 = 𝑒𝑥 
∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
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= 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − {∫ 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥} (∗) 
(*) ∫ 𝑒𝑥 . cos 𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
= 𝑒𝑥 cos 𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 (−𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 cos 𝑥 + ∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − (𝑒𝑥 cos 𝑥 + ∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥) 
∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑒𝑥 cos 𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
2 ∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 
1
2
(𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑒𝑥 cos 𝑥) + 𝐶