Unidade 2 Parte 2

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
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DISCIPLINA:CÁLCULO II 
UNIDADE 2: (Parte 2) 
2.2 Integral Definida 
Consideremos o problema de definir a área de uma região plana 𝑆, 
delimitada pelo gráfico de uma função não negativa 𝑓, pelo eixo dos 𝑥 e por duas 
retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, conforme a figura abaixo: 
 
 Para isso, fazemos uma partição do intervalo [𝑎, 𝑏], isto é, dividimos o 
intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑛 subintervalos, escolhendo os pontos: 
 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 <. . . < 𝑥𝑖−1 < 𝑥𝑖 <. . . < 𝑥𝑛 = 𝑏 
Seja 𝛥𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 o comprimento do intervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. 
Em cada um destes intervalos [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], escolhemos um ponto qualquer 𝐶𝑖. 
Para cada 𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, construímos um retângulo de base 𝛥𝑥𝑖e altura 
𝑓(𝑥). 
 
𝛥𝑥𝑖 =⇑ 
A soma das áreas dos 𝑛 retângulos, que representamos por 𝑆𝑛, é dada por: 
 𝑆𝑛 = 𝑓(𝑐1)𝛥𝑥1 + 𝑓(𝑐2)𝛥𝑥2+. . . +𝑓(𝑐𝑛)𝛥𝑥𝑛 
Esta soma é chamada de soma de Riemann da função 𝑓(𝑥). 
 
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Podemos observar que a medida que 𝑛cresce muito e cada 𝛥𝑥𝑖 , 𝑖 = 1 , . . . , 𝑛, 
torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que 
intuitivamente entendemos como a área de 𝑆. 
 
 Definição 1: Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função contínua, não negativa em [𝑎, 𝑏]. A 
área sob a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) , de 𝑎 até 𝑏, é definida por: 
 𝑆 = 𝑙𝑖𝑚
𝑚á𝑥𝛥𝑥𝑖→0
∑ 𝑓(𝑐𝑖)𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 
 Onde para cada 𝑖 = 1 , . . . , 𝑛, 𝑐𝑖é um ponto arbitrário do intervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. 
 
 Definição 2: Seja 𝑓uma função definida no intervalo [𝑎, 𝑏] e seja 𝑝 uma 
partição qualquer de [𝑎, 𝑏]. A integral definida de 𝑓 de 𝑎ate 𝑏, denotada por: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, 
é dada por: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑙𝑖𝑚
𝑚á𝑥𝛥𝑥𝑖→0
∑ 𝑓(𝑐𝑖)𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
desde que o limite do 2º membro exista. 
 Se ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 existe, digamos que 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑏]. 
 Na notação ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, os números 𝑎e 𝑏 são chamados limites de 
integração (𝑎= limite inferior e 𝑏= limite superior). 
 Sempre que utilizamos um intervalo [𝑎, 𝑏], supomos que 𝑎 < 𝑏. Assim, em 
nossa definição não levamos em conta os casos em que o limite inferior é maior que 
o limite superior. 
 
 Definição 3: 
a) Se 𝑎 > 𝑏, então: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 
se a integral à direita existir. 
 
b) Se 𝑎 = 𝑏 e 𝑓(𝑎) existe, então: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0
𝑎
𝑎
. 
Teorema: Se 𝑓 é contínua sobre [𝑎, 𝑏], então 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑏]. 
 
Propriedades da Integral Definida 
 
Proposição 1: Se 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑏] e 𝑘é um número real arbitrário, 
então 𝑘𝑓é integrável em [𝑎, 𝑏] e 
 
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∫ 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Demonstração: como 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑏], existe: 
𝑙𝑖𝑚
𝑚á𝑥𝛥𝑥𝑖→0
∑ 𝑓(𝑐𝑖)𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 e portanto, podemos escrever: 
∫ 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑙𝑖𝑚
𝑚á𝑥𝛥𝑥𝑖→0
∑ 𝑘𝑓(𝑐𝑖)𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 = 𝑘 𝑙𝑖𝑚
𝑚á𝑥𝛥𝑥𝑖→0
∑ 𝑓(𝑐𝑖)𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 
 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Proposição 2: Se 𝑓 e 𝑔são funções integráveis em [𝑎, 𝑏] então 𝑓 + 𝑔 é 
integrável em [𝑎, 𝑏] e 
∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Demonstração: Se 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑏] existe o limite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑚á𝑥𝛥𝑥𝑖→0
∑ 𝑓(𝑐𝑖)𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 , que é ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 Se 𝑔 é integrável em [𝑎, 𝑏] existe o limite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑚á𝑥𝛥𝑥𝑖→0
∑ 𝑔(𝑐𝑖)𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 , que é ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
 Assim, 
∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑙𝑖𝑚
𝑚á𝑥𝛥𝑥𝑖→0
∑[𝑓(𝑐𝑖) + 𝑔(𝑐𝑖)]𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 = 𝑙𝑖𝑚
𝑚á𝑥𝛥𝑥𝑖→0
∑ 𝑓(𝑐𝑖)𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 + ∑ 𝑔(𝑐𝑖)𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 
 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 Esta proposição vale também para o caso de termos diferença de 
funções, ou seja, 
∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
− ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
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Proposição 3: Se 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 e 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑐]e em [𝑐, 𝑏], então 𝑓 
é integrável em [𝑎, 𝑏] e 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 
Proposição 4: Se 𝑓 é integrável e se 𝑓(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 em [𝑎, 𝑏], 
então: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≥ 0
𝑏
𝑎
 
Proposição 5: Se 𝑓 e 𝑔 são funções integráveis em [𝑎, 𝑏] e 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 
para todo 𝑥 em [𝑎, 𝑏], então: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≥ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Proposição 6: Se 𝑓 é uma função contínua em [𝑎, 𝑏], então: 
| ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 | ≤ ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Proposição 7:Se 𝑓 é uma função contínua em [𝑎, 𝑏], existe um ponto 𝑐 
entre 𝑎 e 𝑏 tal que: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= (𝑏 − 𝑎). 𝑓(𝑐) 
Se 𝑓(𝑥) ≥ 0 , ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], podemos visualizar geometricamente esta 
proposição. 
 
Ela nos diz que a área abaixo da curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), entre 𝑎 e 𝑏, é igual à área 
de um retângulo de base 𝑏 − 𝑎 e altura 𝑓(𝑐). 
 
 
 
 
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2.3 Teorema Fundamental do Cálculo 
 
O teorema fundamental do cálculo nos permite relacionar as operações de 
derivação e integração. Ele nos diz que, conhecendo uma primitiva de uma função 
contínua 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ, podemos calcular a sua integral definida ∫
𝑏
𝑎
𝑓(𝑡) 𝑑𝑡. 
Para apresentar formalmente o teorema, inicialmente vamos definir uma 
importante função auxiliar, como segue. 
Tomamos a integral definida. 
∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
Fixamos o limite inferior 𝑎 e fazemos variar o limite superior que indicaremos 
por 𝑥. Fazendo𝑥 variar no intervalo [𝑎, 𝑏], obtemos uma função 𝐺(𝑥), dada por 
𝐺(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
 
 
Geometricamente, a integral ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 
𝑏
𝑎
representa a área abaixo do gráfico 
de 𝑓 entre 𝑎 e 𝑏. 
 
Da mesma forma, 
𝐺(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
 
nos dá a área abaixo do gráfico de 𝑓 entre 𝑎 e 𝑥. 
 
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Podemos observar que 𝐺(𝑎) = 0 e 𝐺(𝑏) nos dá a área da figura. 
 
Proposição 8: Seja 𝑓 uma função contínua num intervalo fechado [𝑎, 𝑏]. 
Então a função 𝐺: [𝑎, 𝑏] → ℝ, definida por: 
𝐺(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
 
 
Tem derivada em todos os ponto 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] que é dada por: 
𝐺′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ou seja, 
𝑑
𝑑𝑥
∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
= 𝑓(𝑥) 
Diante desses resultados, podemos estabelecer formalmente o Teorema 
Fundamental do Cálculo: 
Teorema: Se 𝑓é contínua sobre [𝑎, 𝑏] e se 𝐹é uma primitiva de 𝑓 neste 
intervalo, então: 
∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
Demonstração: como 𝑓é contínua sobre [𝑎, 𝑏], segue que da preposição 8: 
𝐺(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
é uma primitiva de 𝑓nesse intervalo. 
 Seja 𝑓(𝑥) uma primitiva qualquer de 𝑓sobre [𝑎, 𝑏], então 
𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝑐, ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 
Calculando 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎), temos 
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = [𝐺(𝑏) + 𝑐] − [𝐺(𝑎) + 𝑐] 
 = 𝐺(𝑏) + 𝑐 − 𝐺(𝑎) − 𝑐 
 = 𝐺(𝑏) − 𝐺(𝑎) 
 
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 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
− ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑎
𝑎
 
 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
 Também escrevemos: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑥)⎮𝑎
𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
Exemplos: Calcular as integrais definidas:1: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
3
1
=
𝑥2
2
⎮1
3 =
9
2
−
1
2
=
8
2
= 4 
 
2: ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡
𝜋
2
0
= 𝑠𝑒𝑛 𝑡⎮0
𝜋
2 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
− 𝑠𝑒𝑛 0 = 1 
 
3: ∫
𝑥
𝑥²+1
𝑑𝑥
1
0
=
1
2
∫
𝑑𝑢
𝑢
1
0
=
1
2
𝑙𝑛|𝑢|⎮0
1 =
1
2
𝑙𝑛|𝑥² + 1|⎮0
1 =
1
2
𝑙𝑛 2 −
1
2
𝑙𝑛 1 =
1
2
𝑙𝑛 2 
𝑢 = 𝑥² + 1 
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 
1
2
𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥 
 
4:∫ 𝑥 𝑒−𝑥²+1𝑑𝑥
2
1
= −
1
2
∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢
2
1
= −
1
2
𝑒𝑢⎮1
2 = −
1
2
𝑒−𝑥²+1⎮1
2 
 = −
1
2
𝑒−3 + −
1
2
𝑒0 = −
1
2
𝑒−3 +
1
2
 
𝑢 = −𝑥² + 1 
𝑑𝑢 = −2𝑥𝑑𝑥 
−
1
2
𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥