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166 Matemática a) 1 1 12 4 − − p p b) 1 1 12 2 − 0 p p c) 1 1 16 2 − − p p d) 1 1 16 2 − 0 p p e) 1 1 20 4 − − p p 35 (Fuvest-SP) No plano cartesiano, os comprimen- tos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma progressão geométrica de razão p, com 0 , p , 1. Dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então, se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale: X As medidas dos segmentos 8, o, a, 3, ... formam uma progressão geométrica de primeiro termo OA = 1 e razão p. As medidas dos segmentos 8, a, !, GH, ... formam uma progressão geométrica de razão p2. A abscissa x do ponto B é tal que: x = OA − CD 0 EF − GH 0 IJ − KL 0 MN − OP Υ Υ x = 1 − p2 0 p4 − p6 0 p8 − p10 0 p12 − p14 Υ Υ = 9 − − − − Υ = − 0 x p p x p p 1 1 1 1 1 2 8 2 16 2 [( ) ] ( ) 36 (UFES) Para que a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica 3, 6, 12, 24, ... seja um número compreendido entre 50 000 e 100 000, deveremos tomar n igual a: a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12X a1 = 3 q = 2(3, 6, 12, 24, ...) S a q q qn n = − ϑ 1 1 1 1 ( ) ( ) − Como 214 = 16 384 e 215 = 32 768, temos que n = 15. Então, 50 000 , 3 9 2n − 3 , 100 000 50 003 , 3 9 2n , 100 003 16 667 6 2 33 334 3, ,, ,n dividindo todos os membros por 3 somando 3 a todos os membros 37 (FGV-SP) a) Resolva a equação x x x x − 0 − 0 = 4 16 64 8... ,on- de o 1o membro é a soma dos termos de uma progres- são geométrica infinita. b) Numa progressão geométrica infinita, a soma dos ter- mos de ordem par é 10 3 , ao passo que a soma dos ter- mos de ordem ímpar é 20 3 . Obtenha o 1o termo e a razão dessa progressão. x x x x − 0 − 0 = Π 4 16 64 8... Π − − = Π = Π = x x x 1 1 4 8 5 4 8 10 b) (a1, a1 9 q, a1 9 q2, a1 9 q3, a1 9 q4, ...) PG infinita 1o) a a q a q1 1 2 1 4 20 30 9 0 9 0 = Π... Π − = Π 9 = 9 − a q a1 2 11 20 3 3 20 1( q ) (I)2 2o) a q a q a q1 1 3 1 5 10 39 0 9 0 9 0 = Π... Π 9 − = Π 9 9 = 9 − a q q a q1 2 11 10 3 3 10 1( q ) (II)2 Fazendo (II) : (I), vem: 3 3 10 1 20 1 1 2 1 1 2 2 9 9 9 = − − Υ = a q a q q q ( ) ( ) Em (I): 3 20 1 1 2 51 2 19 = 9 − Π =a a a) a seqüência x x x x; ; ; ; ...− − 4 16 64 é uma progressão geométrica em que a x e q1 1 4 = = − . Logo: 0 A y x B 0 A p CD H G I J L K N p2 p6 p10 p14 p12 p8 p4 M P O E F x y x B 1 S n n n= 9 − = 9 − 3 2 1 2 1 3 2 3 ( ) − 38 (MACK-SP) Na seqüência de números reais (log3 x, x, k, 3, log3 y, y), os termos de ordem ímpar formam uma progressão aritmética e os de ordem par, uma progressão geométrica. Então k é igual a: a) 1 3 b) 2 c) 3 d) 1 e) 1 2 X PG: (x, 3, y) 32 = xy Υ xy = 9 (II) De (I) e (II), vem: 32k = 9 Υ 32k = 32 2k = 2 Ι k = 1 PA: (log3 x, k, log3 y) 2k = log3 (xy) Υ xy = 32k (I) k x y = 0 Υ log log3 3 2 167 Matemática Como os lados dos quadrados formam uma PG de razão 1 2 , as áreas formam uma PG de razão 1 4 . a) A 4 1 256 = . b) A A 201 200 1 8 = . c) A1 0 A2 0 ... 0 ,A 10 1 3 . d) O menor valor de k para o qual A1 0 A2 0 ... 0 Ak . 1 3 1 1 200 − é igual a 5. 39 (UnB-DF) Na figura ao lado, Ak representa a área do k-ésimo quadrado sombrea- do, cujo lado é o dobro do lado do (k 0 1) - ésimo quadrado, para k = 1, 2, 3, ... Com base na figura, julgue os itens que se seguem. 40 (UFG) Segundo a lei de Malthus, a população hu- mana cresce em progressão geométrica, enquanto as fon- tes de alimento crescem em progressão aritmética. a) Explique o significado matemático dos termos progres- são geométrica e progressão aritmética. b) Calcule os cinco primeiros termos de uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 10 e razão 10. Faça o mesmo para uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 10 e razão 10. c) O que aconteceria à humanidade, segundo a lei de Malthus? a) Sugestão de resposta: A progressão geométrica é uma seqüência de números na qual qual- quer termo da seqüência é obtido multiplicando-se o termo anterior por uma constante (a razão da PG). A progressão aritmética é uma seqüência numérica na qual todo termo da seqüência é obtido adicionando-se ao termo anterior uma constante chamada razão da PA. b) PA com: a1 = 10; r = 10 a4 = 30 0 10 = 40 a2 = 10 0 10 = 20 a5 = 40 0 10 = 50 a3 = 20 0 10 = 30 (10, 20, 30, 40, 50, ...) PG com: a1 = 10; q = 10 a4 = 1 000 9 10 = 10 000 a2 = 10 9 10 = 100 a5 = 10 000 9 10 = 100 000 a3 = 100 9 10 = 1 000 (10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, ...) c) Sugestão de resposta: Grande parte da população ficaria sem comida, e morreria de fome em conseqüência disso, até que houvesse uma diminuição no crescimento populacional. A1 A2 A3 1 2 1 2 1 2 1 2 Portanto, o menor valor de k é 5. k = Υ = ,5 1 4 1 1 024 1 400 5 k = Υ = .4 1 4 1 256 1 400 4 Π − . − Π , 1 4 1 400 1 4 1 400 k k Devemos ter k : 1 3 1 3 1 4 1 3 1 1 200 − . − Π Para que A A A A k1 2 3 1 3 1 1 200 0 0 0 0 . −... = − = − 9 1 3 1 1 4 1 3 1 3 1 4 k k = − − = − − = A q q n k 1 1 1 1 4 1 1 4 1 1 4 ( ) d) Verdadeiro, pois A1 0 A2 0 A3 0 ... 0 Ak = = − − = 9 − = − 9 , 1 4 1 1 4 1 1 4 1 3 1 1 4 1 3 1 3 1 4 1 3 10 10 10 c) Verdadeiro, pois A1 0 A2 0 A3 0 ... 0 A10 = A q q 1 101 1 9 − − = ( ) b) Falso, pois A A A q A q201 200 200 200 1 4 = 9 = = a) Verdadeiro, pois A A q4 1 3 2 3 1 2 1 4 1 256 = 9 = 9 = 41 (UnB-DF) Os números a1, a2, a3, ..., an estão em pro- gressão aritmética, e b1, b2, b3, ..., bm estão em progressão geométrica de razão q, ambas estritamente crescentes. Sabendo que a1 = b1, a3 = b2 e a9 = b3, calcule a soma 1 0 q2 0 q4. PA e PG crescentes: r . 0 e q . 1 a1 = b1 1 0 q2 0 q4 = 1 0 32 0 34 Υ 1 0 q2 0 q4 = 91 q2 − 4q 0 3 = 0 a b a r b q b r q3 2 1 1 1 2 2 1 = Υ 0 = 9 Υ = − (I) a b a r b q b rq9 3 1 1 2 1 28 8 1 = Υ 0 = 9 Υ = − (II) Igualando (I) e (II), temos: 2 1 8 12 r q r q− = − q1 = 3 q2 = 1 (não serve, pois q . 1) 1 2 3 168 Matemática 42 (Cefet-PR) Nas seqüências: a en = log ; log , ; log ; ...1 0 001 7291 3 bn = − − − 1 9 1 3 1; ; ; ... , a diferença entre o décimo termo de “an” e o nono termo de “bn” é: a) −756 c) 702 e) 270 b) −270 d) 756 log ; log , ; log1 0 0 001 3 729 61 3 = = − = − Então: a n = (0, −3, −6, ...) PA com a1 = 0 e r = −3 b n = − − − 1 9 1 3 1, , , ... PG com b e q1 1 9 3= − = a10 = a1 0 9 9 r Υ a10 = 0 0 9 9 (−3) = −27 b9 = b1 9 q8 Υ b9 = − 9 1 9 38 = −36 = −729 a10 −b9 = −27 − (−729) = 702 43 (Fuvest-SP) Uma progressão aritmética e uma pro- gressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo ter- mo de progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18X Substituindo (II) em (I): 4q2 = 2(4q − 2) 0 4 4q2 − 8q = 0 Υ q2 − 2q = 0 q = 0 (não convém) ou q = 2 a3 = 4q2 = 4 9 22 = 16 O 3o termo da PG é 16. PA: (4, 4 0 r, 4 0 2r, ...) PG: (4, 4q, 4q2, ...) 4 0 2r = 4q2 (4 0 r) − 4q = 2 1 2 3 4q2 = 2r 0 4 (I) r = 4q − 2 (II) 1 2 3Υ 44 (UFBA) Considere as seqüências (an)n > 1 e (bn)n > 1, tais que: � a1 = 2 e an 0 1 − an = 4, ? n > 1 � b b b b n b b e bn n n n 0 0 0 = ? > = − = 2 1 1 10 5 51 1 243 1 81 , , Sejam A = a5 0 a6 0 a7 0 ... 0 a20 e B o limite da soma b1 0 b2 0 b3 0 ... Calcule A 9 B 9 b3, indicando de modo completo toda a resolução da questão. I) a1 = 2 a n 0 1 − an = 4 1 2 3 a1 = 2 a n 0 1 = an 0 4 1 2 3Π que é uma PA de razão 4. Logo: a5 = a1 0 4 9 r = 2 0 4 9 4 Υ a5 = 18 a20 = a1 0 19 9 r = 2 0 19 9 4 Υ a20 = 78 1 2 3 A = 768 II) b b b b n n n n 0 0 0 = 2 1 1 Π (b n 0 1)2 = bn 9 bn 0 2 que é uma PG Logo: 1 4 4 2 4 4 3 b b b q b q q10 5 5 5 5 5 1 243 1 3 = 9 = = − Π = − b b q b b5 1 4 1 4 1 1 3 1 81 1= 9 = − = Π = III) b b q3 1 2 2 1 1 3 = 9 = 9 − Π B = 3 4 b 3 1 9= Logo: A 9 9 =B b3 768 E, portanto, A a 5= 0 0 0 0 = 0 9 a a a6 7 20 18 78 16 2 ... ( ) E B Lim S b qn n , portanto, = = − = − − Π → ∞ 1 1 1 1 1 3 x Logo: A 649 9 = 9 9 =B b3 768 3 4 1 9 169 Matemática Em 25 minutos, a extremidade do ponteiro percorre um arco d cuja medida, em centímetros, é tal que comp R( )d = 9 π = 9 9 9 =2560 2 5 12 2 3 4 10 1 (MACK-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 4 cm. Supondo π = 3, a distância, em centímetros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 25 minu- tos é: a) 15 b) 12 c) 20 d) 25 e) 10X 2 (EEM-SP) Quantos radianos percorre o ponteiro das horas de um relógio de 1h 5min até 2h 45min? 3 (Fafi-BH) Se f(x) = sen x 0 cos x, então o valor de Υ x = 2) 30δ Υ y = 22) 30δ de 1 h p/ 2 h (ponteiro pequeno) = 30) ε = 30) − x 0 y = 30) − 2) 30δ 0 22) 30δ = 50) 30) 60 min x 5 min 30) 60 min y 45 min a) 0 b) 1 2 c) 2 2 d) 3 2 e) 1 f sen19 4 19 4 19 4 π = π 0 π cos Observe que: 19 4 16 4 3 4 4 3 4 π = π 0 π = π 0 π Então, sen logo:19 4 3 4 19 4 3 4 π = π π = π sen e cos cos , f f19 4 3 4 3 4 19 4 2 2 2 2 0π = π 0 π Υ π = − = sen cos 4 (Cesgranrio-RJ) O valor de a) − 3 2 b) − 1 2 c) −1 d) zero e) 1 2 S = − = π = πa q 1 1 3 1 2 2 3 Logo: cos 23 1 2 π = − X X 5 (IBMEC) Um determinado processo industrial é dado pela função �(x) = ε 9 sen (2x), onde ε é uma constante real não-nula. Os valores de x para os quais �(x) se anula, para x 7 [0, 2π], formam o conjunto: a) 0 2 , , π π d) 0 2 3 2 2, , , , π π π π b) 3 2 2 π π, e) % c) π π π π 4 3 4 5 4 7 4 , , , III) Como x 7 [0; 2π], temos: sen (2x) = 0, pois ε ϑ 0I)�(x) = 0 �(x) = ε 9 sen (2x) 12 3 A B ε 12 11 1 10 2 9 3 8 4 7 6 x y 5 180) π 50) z Υ = π z rad5 18 f é: 19 4 π cos ... é: π 0 π 0 π 0 3 6 12 X S e q= π 0 π 0 π 0 = π = 3 6 12 3 1 2 ... .é soma de uma PG infinita de a1 II) sen (2x) 2x (k )= Π = π Π = 9 π 7 Β0 2 k x k x = 0 ou x = π 2 ou x = π ou x = π3 2 ou x = 2π M 11 - Trigonometria no Ciclo 170 Matemática 6 (Unesp-SP) Uma máquina produz diariamente x de- zenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de pro- dução C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximada- mente, em milhares de reais, respectivamente, pelas fun- ções C(x) 2 cos x 6 e V(x) 3 2 sen= − π = π x 12 , 0 < x < 6. O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é: a) 500 c) 1 000 e) 3 000 b) 750 d) 2 000 Para x dezenas de certo produto, o lucro em milhares de reais é obtido por: L(x) = V(x) − C(x) Para x = 3, resulta: X 9 (FGV-SP) a) Para que valores de m, a equação na incógnita x, 2 sen x − 1 = 3m admite solução? b) Dois lados de um triângulo medem 10 cm cada um. Qual a medida do ângulo formado por esses lados, de modo que resulte em um triângulo de área máxima? 8 (UEL-PR) O conjunto imagem da função y: ς Θ ς, y x= 02 2 1cos é: a) [0, 2] c) [−1, 3] e) [−2, 0] b) [1, 3] d) [−2, 2] −1 < cos (2x) < 1 Π 0 1< <cos (2x) Π Π 0 2 2 1 2 1 3< 9 < Π < 0 <cos (2x) cos (2x) X L sen( ) cos3 3 2 3 12 2 3 6 = 9 9 9 π − − 9 π = = 9 9 π − 0 π =3 2 4 2 2 sen cos = 9 9 − 0 = − =3 2 2 2 2 0 3 2 1 Portanto, o lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas dessas pe- ças é 1 000. 7 (IBMEC) Valor monetário de uma ação é dado por V(t) = 120 0 80 9 cos (t), onde t é um número real positivo. De acordo com este modelo, o valor monetário máximo que essa ação pode assumir é: a) 120 b) 200 c) 80 d) 40 e) 240 V(t) = 120 0 80 9 cos (t) Para que o valor monetário seja máximo devemos ter cos (t) = 1 e, portanto: V máx. = 120 0 80 9 1 Π Vmáx. = 200 X A m m equação admite solução Π − < 0 < Π − < <1 3 1 2 1 1 1 3 a) 2 1 3 3 1 2 sen x m sen x m − = Π = 0 b) Área sen sen= 9 9 ε = 9 ε10 10 2 50( ) cm2 Para que a área seja máxima devemos ter sen ε = 1 Π ε = 90) 10 cm 10 cm ε 10 cm ε 171 Matemática −1 < sen x < 1 Π 3−1 < 3sen x < 31 10 (UEL-PR) Seja f: ς Θ ς a função definida por f(x) = 3sen x. O conjunto imagem desta função é: a) [−3, 3] c) ]−1, 1[ e) −∃, 1 3 b) 1 3 3, d) [1, ∃[X O período da função cosseno é 2π, então vamos atribuir a 2x3 os valores0 e 2π: 11 (Unifor-CE) O período da função f, de ς em ς, defi- nida por f(x) cos 2x 3 é:= a) 2 3 π b) 3 2 π c) 2π d) 3π e) 4πX 1 3 3 3< < sen x p = 3π − 0 = 3π Graficamente, temos: 2x 3 = π Υ = π2 3x 2x 3 = Υ =0 0x 0 0,5 1 −1 −0,5 x cos 2x 3 12 (UEL-PR) O gráfico que representa a função y: ς Θ ς, y x= 02 2 1cos é: X a) 1 2 6−2−4 0 x y 2 3 −1 −6 4 b) 1 2 6−2−4 0 x y 2 3 −1 −6 4 c) 1 2 6−2−4 0 x y 2 3 −1 −6 4 d) 1 2 6−2 −4 0 x y 2 3 −1 −6 4 e) 1 π−π 0 x y −1 I) Gráfico de cos (2x) II) Gráfico de cos (2x) 1 2 π−π 0 x y 1 π−π 0 x y III) Gráfico de cos (2x)2 9 IV) Gráfico de cos (2x)y = 9 02 1 1 2 π−π 0 x y 3 1 2 6−2−4 0 x y 2 3 −1 −6 4 172 Matemática 15 (UnB-DF) Estudando-se o fluxo de água em um pon- to do estuário de um rio, determinou-se que a águaflui para o oceano na vazão v, em milhões de litros por hora, em função do tempo t, em horas, de acordo com a equação v(t) = A 0 B sen (wt), em que A, B e w são constantes reais positivas, e t > 0. A vazão na qual a água do rio flui para o oceano varia por causa das marés. Na maré baixa, a água flui mais rapida- mente, com vazão máxima de 20 milhões de litros por hora, e, na maré alta, ela flui mais lentamente, com vazão mínima de 4 milhões de litros por hora. Nessa região, o tempo entre duas marés altas é igual a 12 horas e 24 mi- nutos. Com base nessas informações, escolha apenas uma das opções a seguir e faça o que se pede. a) Calcule o valor do coeficiente A. b) Calcule o período, em minutos, da função v. c) Determine o valor de t, em minutos, quando 10h < t < 22h, para o qual v(t) é máxima. • k = 0 Υ t = 3,1 horas (não convém, pois 10h < t < 22h) • k = 1 Υ t = 15,5 horas Υ t = 930 min a) De acordo com a equação v(t) = A 0 B sen (wt), verifica-se que: −1 < sen (wt) < 1 Υ A − B < A 0 B sen (wt) < A 0 B 4 < A 0 B sen (wt) < 20 A − B = 4 A 0 B = 20 Υ A = 12 e B = 8 1 2 3 Υ Υ 1 2 3 b) O período p da função v(t) é o tempo entre duas marés altas, isto é, p = 12 horas e 24 minutos Υ p = 744 min. c) O período p da função v(t) = 12 0 8 sen (wt) é dado por p w w w= π Υ π = Υ = π2 2 12 4 531, . Portanto, v(t) v(t) será máximo quando= 0 π12 8 5 31 sen t 5 31 t 2 2k , k tπ = π 0 π 7 Β Υ = 0 7 Β31 10 62 5 k k, . 13 (Unesp-SP) No hemocentro de um certo hospital, o número de doações de sangue tem variado periodicamen- te. Admita que, neste hospital, no ano de 2001, este nú- mero, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado, aproximadamente, pela expressão: S(t) = ι − − π cos ( )t 1 6 com ι uma constante positiva, S(t) em milhares e t em meses, 0 < t < 11. Determine: a) a constante ι, sabendo que no mês de fevereiro houve 2 mil doações de sangue; b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue. 14 (ITA-SP) Sejam f e g duas funções definidas por f(x) e g(x) = = − − 2 1 2 3 1 3 12( ) sen x sen x , x 7 ς. A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a: a) 0 b) c) 1 4 d) 1 2 e) 1X b) Houve 3 mil doações de sangue quando a) Em fevereiro, tem-se t = 1 e = ι − 1 = 2 Υ ι = 3 S(1) = ι − − π = ι − =cos ( ) cos1 1 6 0 Π t − 1 = 3 0 6n Π t = 4 0 6n Π t = 4 ou t = 10, pois 0 < t < 11 Π − π = Π − π = π 0 π 7 Β Πcos ( ) ( ) , t t n n 1 6 0 1 6 2 S(t) = ι − − π = − − π = Πcos ( ) cos ( )t t1 6 3 1 6 3 2o) g(x) = 9 − 1 2 3 12 sen x g(x) é mínimo para sen2 x = 1, assim: 1o) f(x) = =9 − 9 − 2 2 3 1 3 1 2( ) sen x sen x f(x) é mínimo para sen x = −1, assim: f mínimo = = = 9 − − −2 2 1 4 3 1 1 2 2 ( ) g mínimo = = = 9 − 1 2 1 2 1 4 3 1 1 2 3o) A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é: 1 4 1 4 1 2 0 = 173 Matemática I) sen 40) , sen 50) (verdadeira) No 1o quadrante, a função seno é estritamente crescente, portanto 40) , 50) Υ sen 40) , sen 50) 16 (Fatec-SP) Sobre as sentenças I. sen 40) , sen 50) II. cos 190) . cos 200) III. tg 60) = tg 240) é correto afirmar que somente: a) I é verdadeira. d) I e II são verdadeiras. b) II é verdadeira. e) I e III são verdadeiras. c) III é verdadeira. II) cos 190) . cos 200) (falsa) No 3o quadrante, a função cosseno é estritamente crescente, portanto 190) , 200) Υ cos 190) , cos 200) X As abscissas dos pontos de intersecção dos gráficos das funções f(x) = sen x e g(x) = cos x são os valores de x para os quais f(x) = g(x) e, portanto, sen x = cos x Π tg x = 1 (pois sen x e cos x não são simultanea- mente nulos). Se tg x = 1 e x 7 [0; 2π], então x = π = π 4 5 4 ou x e a soma das abscissas 17 (Fatec-SP) Para x 7 [0, 2π], a soma das abscissas dos pontos de intersecção dos gráficos das funções defini- das por f(x) = sen x e g(x) = cos x é igual a: a) π 4 b) 3 4 π c) π d) 3 2 π e) 3πX sen 50) 40) cos190) 200) III) tg 60) = tg 240) (verdadeira) tg tg tg240 60 180 60 3) = ) 0 ) = = ) =( ) 60) tg 240) será: π 0 π = π = π 4 5 4 6 4 3 2 18 (IBMEC) Seja f uma função real periódica. O gráfi- co a seguir representa f em parte de seu domínio: Uma possível representação para f é: a) 2 + tg x c) tg (x) e) tg x 2 b) tg (2x) d) 2 9 tg (x)X 0 x y 2 3π 2 π 4 π 2 π−π 2ππ 2− I) Gráfico de tg x 0 x y 1 3π 2 π 4 π 2 π 2− 3π 2− III) Gráfico de tg x2 9 II) Gráfico de 2 9 tg x 0 x y 2 3π 2 π 4 π 2 π 2− 3π 2− 0 x y 2 3π 2 π 4 π 2 π3π 2 π 2 −π −− 174 Matemática 00. Falso; pois tg 30) = 3 3 11. Falso; pois tg 60) = 3 22. Verdadeiro; pois cotg 30) = ) = = 1 30 3 3 3 tg 33. Verdadeiro; pois s 60ec ) = ) = 1 60 2 cos 44. Falso; pois cossec 30) = ) = 1 30 2 sen 21 (Unicap-PE) Sabendo que sen 60) = 3 2 e sen 30) = 1 2 , tem-se: I - II 0 - 0 tg 30) = 3 1 - 1 tg 60) = 3 3 2 - 2 cotg 30) = 3 3 - 3 sec 60) = 2 4 - 4 cossec 30) = 3 3 X sen x cos x= − = − 3 2 2 a a é tal que, , : a) a > 7 c) 3 < a , 5 e) a , 0 b) 5 < a , 7 d) 0 < a , 3 22 (UEL-PR) Seja x a medida de um arco em radianos. O número real a, que satisfaz as sentenças 0 3 1 1 2 2 1< − < − < − <a e a Condições de existência: 0 < 3 − a < 1 −2 < a − 2 < 2 −3 < −a < −2 0 < a < 4 (II) 2 < a < 3 (I) O número a é tal que 0 < a , 3. Usando a relação fundamental: sen2 x 0 cos2 x = 1 3 2 2 1 2 2 − 0 − =a a( ) 4 3 029 − 0 − =a a 4a Se 3 − a > 0, então 4 9 (3 − a) 0 a2 − 4a = 0 a2 − 8a 0 12 = 0 a = 2 ou a = 6 (não serve) Se 3 − a , 0, então 4 9 (−3 0 a) 0 a2 − 4a = 0 a2 − 12 = 0 a = 2 3 (não serve) a = − 2 3 (não serve) Em questões como a 21, assinale na coluna I as proposi- ções corretas e na coluna II as proposições erradas. 19 (Unicamp-SP) Sejam ε, ψ e υ os ângulos internos de um triângulo. a) Mostre que as tangentes desses três ângulos não po- dem ser, todas elas, maiores ou iguais a 2. b) Supondo que as tangentes dos três ângulos sejam nú- meros inteiros positivos, calcule essas tangentes. b) ε 0 ψ = 180) − υ Π tg (ε 0 ψ) = −tg υ Π Sendo ε, ψ e υ ângulos internos de um triângulo, então: a) tem-se ε 0 ψ 0 υ = 180) (I) E = (sec x − cos x) 9 (cossec x − sen x) 9 (tg x 0 cotg x) 20 (UCDB-MS) Simplificando a expressão E = (sec x − cos x) 9 (cossec x − sen x) 9 (tg x 0 cotg x), obtém-se: a) E = sen x c) E = tg x e) E = 1 b) E = cos x d) E = 0 X tg ε > 2 Υ ε . 60) tg ψ > 2 Υ ψ . 60) Υ ε 0 ψ 0 υ . 180) tg υ > 2 Υ υ . 60) se 1 4 2 4 3 o que contradiz a equação (I). Logo as tangentes dos três ângulos não podem ser, todas elas, maiores ou iguais a 2. Π tg ε 0 tg ψ 0 tg υ = tg ε 9 tg ψ 9 tg υ Supondo as tangentes dos três ângulos números inteiros e positivos e que não podem ser simultaneamente maiores ou iguais a 2, então ne- cessariamente uma delas deve ser igual a 1. Assim sendo, fazendo tg ε = a; tg ψ = b e tg υ = 1, tem-se a 0 b 0 1 = ab Π ab − a − b = 1 Π Π a(b − 1) − (b − 1) = 2 Π (a − 1) 9 (b − 1) = 2 Π Π (a − 1 = 1 e b − 1 = 2) ou (a − 1 = 2 e b − 1 = 1) Π Π (a = 2 e b = 3) ou (a = 3 e b = 2), pois a, b 7 Β ∗ 0. Π ε 0 ψ − ε 9 ψ = − υ Π tg tg tg tg tg1 E x x sen x sen x sen x x x sen x = − 9 − 9 0 1 1 cos cos cos cos E x x sen x sen x sen x x sen x x = − 9 − 9 01 12 2 2 2cos cos cos cos E sen x x x sen x sen x x = 9 9 9 = 2 2 1 1 cos cos cos Resposta: I II 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 175 Matemática 23 (Fuvest-SP) Se ε está no intervalo 0 2 , π e satis- faz sen4 ε − cos4 ε = 1 4 , então o valor da tangente de ε é: a) 3 5 b) 5 3 c) 3 7 d) 7 3 e) 5 7 Assim: sen4 4 1 4 ε − ε = Πcos Π ε 0 ε 9 ε − ε = Π( cos ) ( cos )sen sen2 2 2 2 1 4 Π ε − ε =sen2 2 1 4 cos Portanto: tg sen e tg pois2 2 2 5 3 5 3 0 2 ε = ε ε = ε = ε 7 π cos , , X sen2 2 1 4 ε − ε =cos sen2 ε 0 cos2 ε = 1 1 4 2 4 3 Υ sen2 5 8 ε = cos2 3 8 ε = 1 4 4 2 4 4 3 24 (UFSCar-SP) Sendo sen cos ε 0 ε = 1 5 , a) determine sen ε e cos ε. b) represente no círculo trigonométrico todos os ângulos ε que satisfazem a igualdade dada. a) Substituindo os valores em (I): Para sen ε = Θ ε = −4 5 3 5 cos Para sen ε = − Θ ε =3 5 4 5 cos b) Podemos ter: sen ouε = − ε = 3 5 4 5 cos sen2 ε 0 cos2 ε = 1 sen ε 0 ε =cos 1 5 cos ε = − ε 1 5 sen I( ) 1 4 2 4 3 sen2 ε 0 cos2 ε = 1 (II) 1 4 2 4 3 Υ sen sen sen sen2 2 21 5 1 25 5 12 0ε 0 − ε = Π ε − 9 ε − = sen ou senε = ε = − 4 5 3 5 sen ε cos ε 1P1 −1 −1 1 A ε 4 5 3 5− sen eε = ε = − 4 5 3 5 cos ε = AP1, tal que sen ε cos ε 1 P2 −1 −1 1 A ε 4 5 3 5− ε = AP2, tal que ou = 0 − sen θ 0 0 0 cos θ = 25 (UFCE) Sabendo que cos θ = 3 2 e que θ = − 1 2 sen , podemos afirmar corretamente que 26 (Unicap-PE) Um estudante estava resolvendo um problema e necessitou conhecer os valores de sen 75) e de sen 15). Ao procurar no livro, encontrou apenas os valo- res sen e sen45 2 2 30 1 2 ) = ) = . Usando seus conhe- cimentos de trigonometria, após alguns cálculos, encontrou: I - II 0 - 0 sen 75) = − 6 4 2 4 1 - 1 sen 75) = 0 6 4 2 4 2 - 2 sen 15) = − 6 4 2 4 3 - 3 sen 15) = sen 75) 4 - 4 sen 75) = 5 9 sen 15) X cos :θ 0 π 0 θ 0 π 2 2 sen é igual a a) 0 c) 3 2 1 2 0 e) − 0 3 2 1 2 b) − − 3 2 1 2 d) 3 2 1 2 − cos θ 0 π 0 θ 0 π = 2 2 sen = θ 9 π − θ 9 π 0 θ 9 π 0 π 9 θ =cos cos cos cos 2 2 2 2 sen sen sen sen = 0 1 2 3 2 I) sen 75) = sen (30) 0 45)) = sen 30) 9 cos 45) 0 sen 45) 9 cos 30) = = 9 0 9 = 0 1 2 2 2 2 2 3 2 6 4 2 4 II) sen 15) = sen (45) − 30)) = sen 45) 9 cos 30) − sen 30) 9 cos 45) = = 9 − 9 = − 2 2 3 2 1 2 2 2 6 4 2 4 Resposta: I II 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 176 Matemática 27 (UFOP-MG) O valor de tg 75) é: a) 6 2 6 2 − 0 d) 6 2 6 2 0 − b) 1 4 6 2 6 2 0 − e) 1 4 6 2−( ) c) 1 4 6 20( ) X tg tg tg tg tg tg75 45 30 45 30 1 45 30) = ) 0 ) = ) 0 ) − ) 9 ) =( ) = 0 − 9 = 0 − = 0 0 − 0 = 0 1 3 3 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) Racionalizando o denominador da expressão de d, temos: 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 8 4 3 4 2 30 − = 0 0 − 0 = 0 = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 28 (UFJF-MG) Considere as expressões M = cos a 0 cos b e N = sen a − sen b. Sendo a 0 b = 120), o valor de M2 0 N2 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 10X e 2 cos a cos b − 2 sen a sen b = 2 (cos a cos b − sen a sen b) = = 2 cos (a 0 b) M2 0 N2 = 2 0 2 cos (a 0 b) M2 0 N2 = 2 0 2 9 cos 120) = 1 M2 0 N2 = (cos a 0 cos b)2 0 (sen a − sen b)2 M2 0 N2 = cos2 a 0 2 cos a cos b 0 cos2 b 0 sen2 a − 2 sen a sen b 0 sen2 b 1 1 b) tg sen a b a b sen a b a sen b a b sen a sen b (a b)0 = 0 0 = 9 0 9 9 − 9 = ( ) cos ( ) cos cos cos cos 29 (FGV-SP) Conhecidas as relações trigonométricas cos (a 0 b) = cos a 9 cos b − sen a 9 sen b e sen (a 0 b) = sen a 9 cos b 0 sen b 9 cos a: a) obtenha, justificando, a expressão de cos 2x em função de cos x; b) obtenha, justificando, a expressão de tg (a 0 b) em fun- ção de tg a e tg b. a) cos (2x) = cos (x 0 x) = cos x 9 cos x − sen x 9 sen x = = cos2 x − sen2 x = cos2 x − (1 − cos2 x) = 2 9 cos2 x − 1 = 0 − 9 = 0 − 9 sen a a sen b b sen a a sen b b tg a tg b tg a tg b cos cos cos cos 1 1 = 9 0 9 9 9 − 9 9 = sen a b a sen b a b a b sen a sen b a b cos cos cos cos cos cos cos cos 30 (UniFEI) Sabendo que 0 4 , , πx e tg x 0 cotg x = 7, calcule tg (2x). II) sen2 (2x) 0 cos2 (2x) = 1 I) tg x x sen x x x sen x 0 = Π 0 = Πcotg 7 7 cos cos sen x x sen x x sen x x 2 2 7 1 7 0 9 = Π 9 = Π cos cos cos sen (2x) = 2 7 2 7 1 45 49 2 0 = Π = Πcos (2x) cos (2x)2 2 , pois 0 , , πx 4 cos (2x) = 3 5 7Π III) tg (2x) sen (2x) cos (2x)= = Π 2 7 3 5 7 tg (2x) = 2 5 15
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