Matemática - Exercícios Resolvidos - Vestibular1 - IV

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MATEMATÁTICA IV 
 
 
01) Tenho quatro números primos positivos distintos. Um deles é um número par. O segundo é 
um divisor de 100 e é ímpar. O terceiro e o quarto são fatores de 1870. 
 
 A soma e o produto desses quatro números primos, são, respectivamente: 
 
a) 35 e 1870 b) 35 e 1326 
c) 43 e 3230 d) 44 e 1870 
e) 32 e 2145 
 
Alternativa A 
 
1o é par, portanto é 2 
2o é divisor de 100, portanto é 5 
3o e 4o são fatores de 1870 
1870 = 2 . 5 . 11 . 17 . Portanto são 11 e 17 
Soma = 2 + 5 + 11 + 17 = 35 
Produto = 2 . 5 . 11 . 17 = 1870 
 
02) Dado o número complexo 
 
 z = cos Θ - i sen Θ , Θ ∈ IR 
 
 é verdade que 
1
z
 é igual a 
 
a) sen Θ + i cos Θ b) sen Θ - i cos Θ 
c) cos Θ - i sen Θ d) cos Θ + i sen Θ 
e) 
1
cos 
 - i 
1
sen Θ Θ 
 
Alternativa D 
 
1
z
 = 
1 . (cos + i sen 
 - i sen ) (cos + i sen )
ΘΘΘΘ ΘΘΘΘ
ΘΘΘΘ ΘΘΘΘ ΘΘΘΘ ΘΘΘΘ
)
(cos
 
1
z
 = 
cos + i sen 
cos + sen 
2 2
ΘΘΘΘ ΘΘΘΘ
ΘΘΘΘ ΘΘΘΘ
 
1
z
= cos ΘΘΘΘ + i sen ΘΘΘΘ 
 
 
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03) Sabendo-se que o número complexo 
x
y
 = 4 + 7i, então a expressão 
 
x 
xy
- y
x + y
 + 1 . 
x + y
 + 1
2 2











2
 é: 
 
a) 4 + 7i b) 5 + 7i c) -4 + 7i 
d) -4 - 7i e) -5 - 7i 
 
Alternativa B 
 
x 
xy
- y
x + y
 + 1 . 
x + y
 + 1
2 2















2
 = 
= 
x - y + x + y
x + y
 . 
x + y + 2xy
2xy
2 2















= 
= 
2
2
x
x xy+ y
 . 
(x + y)
 = 
x + y
y 
 = 
x
y
 + 1
2
 = 
= 4 + 7i + 1 = 5 + 7i 
 
04) Seja dada a função 
A x
B x
( )
( )
, na qual A(x) e B(x) são polinômios inteiros em x de graus m e n, 
respectivamente, tais que m ≥ n ≥ 1 e B(x) ≠ 0. 
 Se o polinômio A(x) dividido por B(x) dá resto R(x) (de grau inferior a B(x)) e quociente Q(x), 
então 
 
a) A(x) = B(x) + Q(x) R(x) 
b) B(x) = A(x) + Q(x) R(x) 
c) 
A x
B x
( )
( )
 = 
Q(x)
B(x)
 + R(x) 
d) 
A x
B x
( )
( )
 = B(x) Q(x) + R(x) 
e) 
A x
B x
( )
( )
 = Q(x) + 
R x
B x
( )
( )
 
 
Alternativa E 
 
A(x) B(x) 
 ⇒⇒⇒⇒ A(x) = B(x) . Q(x) + R(x) 
R(x) Q(x) 
 
Sendo B(x) ≠≠≠≠ 0, temos 
A x
B x
( )
( )
 = Q(x) + 
R x
B x
( )
( )
 
 
 
 
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05) Sejam S a soma das raízes da equação x4 - (a2 + b2)x2 + a2b2 = 0 e P o seu 
produto. 
 Sabendo-se que a e b são dois números reais não nulos, é verdade que, 
 
a) S = 0 e P = a2b2 
b) S = 0 e P = -a2b2 
c) S = a2 + b2 e P = 0 
d) S = a2 + b2 e P = a2b2 
e) S = -(a2 + b2) e P = a2b2 
 
Alternativa A 
 
x4 - (a2 + b2)x2 + a2b2 = 0 
Pela relação de GIRARD, temos 
S = 0 e P = a2b2 
 
 
06) Se At é a matriz transposta da matriz A = 0 0
−




k
k , para todo k ∈ IR, então o determinante da 
matriz A - At é igual a 
 
a) 0 b) k2 c) 6k2 d) -4k2 e) 4k2 
 
Alternativa E 
 
A - At = 0 0
−−−−












k
k - 
0 k
-k 0 = 
0 -2k
2k 0 
 
det(A - At) = 4k2 
 
 
 
07) Uma das retas que é tangente à circunferência de equação x2 + y2 - 4x + 3 = 0 e que passa 
pela origem tem equação: 
 
 
a) y = x 
 
b) y = -x 
c) y = 
3
3
x 
d) y = 
2
2
x 
e) y = 2x 
 
 
Alternativa C 
 
 
x2 + y2 - 4x + 3 = 0 
C (2, 0) e R = 1 
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mr = tg 30o ⇒⇒⇒⇒ mr = 
3
3
 
y - yo = m (x - xo) ⇒⇒⇒⇒ y = 
3
3
x 
ms = tg 330o ⇒⇒⇒⇒ ms = - 
3
3
 
y - yo = m (x - xo) ⇒⇒⇒⇒ y = - 
3
3
x 
 
 
 
08) Precisamos alugar um carro por um único dia. Consultadas duas agências, a primeira cobra 
R$62,00 pela diária e R$1,40 por quilômetro rodado. A segunda cobra diária de R$80,00 e mais 
R$1,20 por quilômetro rodado. 
 
 Nessas condições, 
 
a) a primeira agência oferece o melhor negócio, qualquer que seja a quilometragem rodada. 
b) a segunda agência é melhor somente acima de 100 km rodados. 
c) a primeira agência cobra menos somente até 80 km rodados. 
d) a segunda agência é melhor, se rodados no máximo 120 km. 
e) existe uma quilometragem inferior a 100, na qual as duas agências cobram o mesmo valor. 
 
Alternativa E 
 
As funções ficam definidas: 
1o) y = 62 + 1,4x 
2o) y = 80 + 1,2x 
Onde y é o valor total do alugel e x , a quilometragem rodada. 
62 + 1,4x = 80 + 1,2x ⇒⇒⇒⇒ x = 90 km 
 
 
 
 
r 
s 
R = 1 
3 2 1 
30º 
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09) Seja a função logarítmica, real, definida por 
 
 f(x) = logx (6x2 - 5x + 1). 
 
 Seu campo de definição é: 
 
a) x > 
1
3
 
b) 0 < x < 
1
3
 ou x > 
1
2
 
c) 0 < x ≤ 1
3
 ou x = 
1
3
 ou x > 
1
2
 
d) 0 < x < 
1
3
 ou 
1
2
 < x < 1 ou x > 1 
e) IR 
 
Alternativa D 
 
f(x) = logx (6x2 - 5x + 1) 
Da definição de logaritmo vem que: 
6x2 - 5x + 1 > 0 e x > 0 e x ≠≠≠≠ 1 
As raízes da equação: 6x2 - 5x + 1 = 0 são x = 
1
3
 ou x = 
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Para todo número inteiro k., o conjunto solução de sen2 x - cos2 x = - 
1
2
 é o conjunto dos 
números reais x iguais a 
 
a) ± pi
6
 + kpi b) ± pi
3
 + kpi 
c) ± pi
6
 + 2kpi d) ± pi
3
 + 2kpi 
e) ± pi
6
 + 
kpi
2
 
Alternativa A 
 
sen2 x - cos2 x = - 
1
2
, como cos2 x = 1 - sen2 x 
sen2 x - 1 + sen2 x = - 
1
2
 ⇒⇒⇒⇒ 2 sen2 x = 
1
2
 ⇒⇒⇒⇒ 
sen2 x = 
1
4
 ⇒⇒⇒⇒ sen x = ±±±± 1
2
 ⇒⇒⇒⇒ x = ±±±± pipipipi
6
+ kpipipipi 
wwwwwww wwwww wwwww 
0 
3
1
 
2
1
 
1 
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11) Os dois ponteiros de um relógio estão, um exatamente no número 2 e o outro exatamente no 
número 7. 
 O ângulo formado pelos dois ponteiros é: 
 
a) 120o b) 135o c) 150o d) 90o e) 75o 
 
Alternativa C 
 
Cada divisão tem 30o, pois 
360
12
o
= 30o. Graficamente temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Tem-se uma chapa de aço retangular de 10m de comprimento por 4m de largura. Com esta 
chapa forma-se uma cuba, como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 O valor de Θ , em radianos para que o volume da cuba seja o maior possível é 
 
a) 
pi
4
 b) 
pi
2
 c) 
2
3
pi
 d) 
3
4
pi
 e) 
5
6
pi
 
 
Alternativa B 
 
V = AB.h h = 10m 
AB = 
a b. .senΘΘΘΘ
2
 
Como a altura é constante (h = 10m), o volume será máximo, quando a área da base for 
máxima. 
E a área da base será máxima quando senΘΘΘΘ = 1 ⇒⇒⇒⇒ ΘΘΘΘ = pipipipi
2
 
 
 
Fonte:uni-técnico 
150º 
9 
12 
1 
2 
3 
4 
5 
6 7 
8 
10 
11