PFM Aula 003 JHF 2014.1

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Princípios e Fenômenos da
Mecânica
Prof. José Henrique Fernandez
Escola de Ciências e Tecnologia
AULA 3
Movimento em Duas Dimensões
(Vetores)
AULA 3: Movimento de Projéteis
Como Descrever o Movimento?
Versores ou Vetores Unitários
y
x
0
jˆ
iˆ
Os versores servem para indicar 
uma DIREÇÃO e possuem 
sempre módulo unitário
Vetor Posição
ixˆ
jyˆ
jyixr ˆˆ

),( yx
y
x
partícula
0
1r

y
x
Deslocamento
2r

12 rrr


11 em tP
22 em tP
0
Vetor Velocidade
Definição:
dt
rd
Δt
rΔ
v
Δt



0
lim
dt
dy
v
dt
dx
v
y
x


jvivv yx
ˆˆ 

1r

2r

r

r


v

: Velocidade Instantânea
v

xv
yv

cosvvx 
sen vvy 
x
y
v
v
tan
22
yx vvv 
Exemplo 1
Um veículo robótico está explorando a superfície de
Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema
de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O
veículo, que será representado por um ponto, possui
componentes x e y que variam com o tempo de acordo
com
(a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do
módulo de aterrissagem no instante 2,0 s, e (b) a
velocidade instantânea neste ponto.
22)m/s 25,0(m 0,2 tx 
33)m/s 025,0(m/s)t 0,1( ty 
Solução:
m 0,1s) 0,2( x
m 2,2s) 0,2( y
(a) As coordenadas calculadas
em t=2,0 s são
e resultam na seguinte distância até o módulo:
m 4,2m)2,2()0,1( 2222  yxr
Em um tempo t qualquer o
veículo está se movendo com
uma velocidade (instantânea):
Onde:
)25002( 2t,,
dt
d
vx 
)025,0( 3tt
dt
d
vy 
jvivv yx
ˆˆ 

Em t=2,0 s:
m/s )ˆ3,1ˆ0,1( jiv 

m/s 6,1v
t50,0
2075,00,1 t
Teste
A figura mostra uma trajetória
circular descrita por uma
partícula. Se a velocidade da
partícula em um certo instante é
em qual dos quadrantes a
partícula está se movendo nesse
instante se ela se move (a) no
sentido horário e (b) no sentido
anti-horário? Desenhe na
figura para os dois casos.
(5 min.)
,ˆ)m/s 2(ˆ)m/s 2( jiv 

v

y
x
Vetor Aceleração
Aceleração instantânea:
dt
vd
Δt
vΔ
a
Δt



0
lim
Movimento de Projéteis
Projétil (que é projetado ou lançado), o
movimento é chamado de movimento balístico.
Trajetória Balística
Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis quicando em
uma superfície dura. Entre os impactos a trajetória da bola é
balística.
No movimento de projéteis, o movimento horizontal e o
movimento vertical são independentes, ou seja, um não
afeta o outro.
Uma bola é deixada cair
a partir do repouso no
mesmo instante que
outra bola é lançada
horizontalmente para a
direita. Os movimentos
verticais das duas bolas
são iguais. Chegam ao
mesmo tempo no solo!
No movimento de projéteis, o movimento horizontal e o
movimento vertical são independentes, ou seja, um não
afeta o outro.
Os movimentos horizontais 
também. Salvo algum 
acidente, o jovem vai em cima 
do skate após a finalização do 
salto!
Análise Matemática do Movimento
tvxx
vv
x
xx
00
0


Movimento Horizontal
)(2 0
2
0
2
2
2
1
00
0
yygvv
gttvyy
gtvv
yy
y
yy



Movimento Vertical
)ˆ( jggay 

O sinal depende da escolha do 
sentido positivo do eixo y.
00 t
0y
0x
(MU)
(MUV)
A Equação da Trajetória
Para obter o caminho percorrido pelo projétil temos que
determinar a função y(x), ou seja, temos que eliminar o
tempo nas equações abaixo:
2
2
1
00
00
gttvyy
tvxx
y
x


2
00
2
0
)cos(2
)(
)(tan


v
xg
xy


Após algumas manipulações algébricas:
(Parábola!)
em 
todo ponto da 
trajetória!
jgˆ
Alcance Horizontal
Ponto de impacto
Caso em que 
00 y 00 x
e
Alcance Horizontal
2
00
2
0
)cos(2
)(
)(tan  v
xg
xy


É a distância horizontal percorrida pelo projétil até voltar
à sua altura inicial (altura de lançamento).
2
00
2
0
)cos(2
)(tan0


v
gR
R 
R
0
2
0 2sen 
g
v
R 
O alcance 
horizontal
Teste
Prove que o alcance horizontal R é máximo para o ângulo de
lançamento de 45 graus para uma dada velocidade inicial.
(5 min.) as trajetóri todaspara igual 0v
0
2
0 2sen 
g
v
R 
Warning!!! Cuidado!!!
o45
Trajetória para
Trajetória mais achatada
Elevação 
inicial
Elevação final
Alcance 
horizontal
Alcances 
finais
O alcance horizontal é o alcance x do móvel quando este volta à mesma elevação y inicial!
Efeito do Ar
(I) Trajetória teórica de uma bola, levando em conta a
resistência do ar.
(II) Trajetória da bola no vácuo, calculada usando as
equações deste capítulo.
Teste
(5 min.)
Num jogo de taco, uma bola de tênis é rebatida na direção
do garoto que a arremessou. Ignorando a resistência do ar,
o que acontece com as componentes (a) horizontal e (b)
vertical da velocidade? Quais são as componentes (c)
horizontal e (b) vertical da aceleração durante toda a
trajetória da bola?
Exemplo 2
Um avião de salvamento vôa a 180 km/h, a uma altura
constante de 500 m, rumo a um ponto diretamente acima
da vítima de um naufrágio, para deixar cair uma balsa. (a)
Qual deve ser o ângulo da linha de visada do piloto para a
vítima no instante em que o piloto deixa cair a balsa?
Solução:
Velocidade em m/s:
m/s 50km/h 1800 v
Idéia: A distância horizontal D deve ser igual à velocidade v0 vezes o 
tempo que a balsa leva para cair (em queda livre) de uma altura h.
D
2
2
1
2
2
1
00
00 q
y
gth
gttvyy


s 1,10
2

g
h
tq
Como queremos que a balsa chegue até o náufrago o mais
perto possível temos que neste tempo a balsa se deslocou
horizontalmente uma distância
m 5050  qtvD
O ângulo da visada é: ohD 3,45/tan  
D
(b) No momento que a balsa atinge a água, qual é sua
velocidade em termos dos vetores unitários e na notação
módulo-ângulo?
v

m/s 500  vvx
Desprezando-se o efeito do ar, temos que a
componente x da velocidade é a mesma do
avião:
A componente y é determinada pela equação:
m/s 990  qyy gtvv
m/s )ˆ99ˆ50( jiv 

Logo: ou
ov 2,63 m/s, 111  zero