Apostila 2ª Unidade - MAT174 - UFBA

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1 Isolamento de raízes ....................................................................................................2 
2 Equações Algébricas (Polinomiais) .................................................................................4 
2.1 Valor Numérico de um Polinômio ......................................................................................6 
2.1.1 Método convencional................................................................................................6 
2.1.2 Método de Horner....................................................................................................7 
2.1.3 Método de Briot-Ruffini.............................................................................................7 
2.2 Limites das raízes reais....................................................................................................9 
2.2.1 Teorema de Lagrange ..............................................................................................9 
2.3 Número de Raízes .........................................................................................................13 
2.3.1 Regra (dos sinais) de Descartes ..............................................................................14 
2.4 Relação entre Raízes e coeficientes (Regra de Girard) ......................................................15 
2.5 Método da Bisseção.......................................................................................................16 
2.5.1 Número de Passos (Divisões) ..................................................................................17 
2.6 Método das Cordas (ou das partes proporcionais) ............................................................18 
2.6.1 Equação Geral .......................................................................................................20 
2.6.2 Outra dedução do método das cordas......................................................................21 
2.7 Método de Newton-Raphson ..........................................................................................22 
2.7.1 Interpretação Geométrica .......................................................................................23 
2.7.2 Convergência.........................................................................................................24 
2.8 Método da Iteração Linear .............................................................................................25 
2.8.1 Interpretação geométrica .......................................................................................26 
2.8.2 Convergência.........................................................................................................27 
2.9 Observações finais sobre os Métodos..............................................................................29 
2.10 Método de Birge-Vieta ...................................................................................................30 
2.11 Grau de exatidão de uma raiz ........................................................................................31 
 
 
 
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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES 
 
Existe uma necessidade em problemas de ciência e engenharia, de se determinar um 
número εεεε para o qual uma função )(xf seja zero, ou seja, 0)( =xf . 
 
Este número εεεε , é chamado raiz da equação 0)( =xf ou zero da função )(xf . 
 
Para se calcular uma raiz, duas etapas devem ser seguidas: 
 
1. Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ ]ba; , o menor possível, que contenha uma 
e somente uma raiz de 0)( =xf . 
2. Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão 
requerido pelo problema. 
 
1 Isolamento de raízes 
Teorema: Se uma função contínua no intervalo [ ]ba; , )(xf assume valores de sinais 
opostos nos pontos extremos deste intervalo e sua derivada primeira 
mantém o sinal, isto é 0)().( <bfaf , então, no intervalo conterá no 
mínimo uma raiz da equação 0)( ====xf . Em outras palavras haverá no 
mínimo um número [[[[ ]]]]ba;∈∈∈∈εεεε tal que 0)( ====εεεεf . 
 
 
A Raiz εεεε será definida e única se a derivada )(' xf existir e preservar o sinal 
dentro do intervalo [ ]ba; , isto é: 
 
e para 0)( ou 0)( '' bxaxfxfSe <<<<<<<<<<<<>>>> 
:sinal de muda não )( derivada 1ª a e contínua é )( ' xfxf 
 
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Exemplo: Aplicar o princípio da bisseção à equação 13)( 3 −+= xxxf , entre os pontos 
(3;1) e (-1;-5): 
 
 
 
 
Tomemos 4 intervalos: 
 
 
1º) raiz. tem não logo ,0)().( 
625,2)( 5,0
5)( 1
>



−=⇒−=
−=⇒−=
bfaf
bfb
afa
 
 
 
2º) raiz. tem não logo ,0)().( 
1)( 0
625,2)( 5,0
>



−=⇒=
−=⇒−=
bfaf
bfb
afa
 
 
 
3º) raiz. uma menos pelo tem é logo ,0)().( 
625,0)( 5,0
1)( 0
<



=⇒=
−=⇒=
bfaf
bfb
afa
 
 
 
4º) raiz. tem não logo ,0)().( 
3)( 1
625,0)( 5,0
>



=⇒=
=⇒=
bfaf
bfb
afa
 
 
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2 Equações Algébricas (Polinomiais) 
 
Seja uma equação algébrica de grau )1( ≥≥≥≥nn : 
 
 
0
2
2
1
1 ............)( axaxaxaxP nnnnnn ++++++++++++++++==== −−−−−−−−−−−−−−−− 
Equação A 
 
 
Teorema: Uma equação algébrica de grau “n” tem exatamente “n” raízes, reais ou 
complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com a sua 
multiplicidade. 
 
 
Uma raiz εεεε da Equação A tem multiplicidade “m” se: 
 
0)(
e 
0)(..........)()()( )1('''
≠≠≠≠
====================
−−−−
εεεε
εεεεεεεεεεεεεεεε
n
n
P
PPPP
 
 
 
Onde: 
 
njx
dx
xPdP j
j
..,,.........1 e , )()(
2
============ εεεεεεεε 
 
Exemplo: Seja: 
 
 
(((( )))) (((( ))))
0(2)P 3024)(P
0(2)P 123012)(P
0(2)P 412154)(P
0P(2) 846512)(
''''''
''2''
'23'
2343
≠≠≠≠∴∴∴∴−−−−====
====∴∴∴∴++++−−−−====
====∴∴∴∴++++++++−−−−====
====∴∴∴∴−−−−++++++++−−−−====−−−−−−−−====
xx
xxx
xxxx
xxxxxxxP
 
 
 
Então εεεε é uma raiz de multiplicidade m=3. 
 
 
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Teorema: Se os coeficientes da equação algébrica A são reais, então as raízes complexas 
desta equação são complexos conjugados em pares, isto é, se iββββααααεεεε ++++====1 é uma 
raiz de multiplicidade “m”, então iββββααααεεεε −−−−====2 também é uma raiz desta equação 
e tem a mesma multiplicidade “m”. 
 
Exemplo: Seja 0106)( 2 ====++++−−−−==== xxxP 
 
Cujas raízes são: 
ii
ii
i
−−−−====
−−−−
====
++++====
++++
====
∴∴∴∴
±±±±
====
−−−−±±±±
====
3
2
26
3
2
26
2
26
2
40366
2
1
εεεε
εεεε
εεεε
 
 
Corolário: Se é uma equação algébrica de grau ímpar com coeficientes reais, tem no 
mínimo uma raiz real. 
 
 
 
Exemplo: (((( ))))(((( ))))
1
e 3
,3
:raízes como tem 101671106)(
3
2
1
232
====
−−−−====
++++====
−−−−++++−−−−====−−−−++++−−−−====
εεεε
εεεε
εεεε
i
i
xxxxxxxP
 
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2.1 Valor Numérico de um Polinômio 
2.1.1 Método convencional 
1. O valor numérico de um polinômio )( xP para cx ==== é igual ao resto da divisão de 
)( xP por cx ==== . 
 
(((( )))) nbcxxQxP ++++−−−−==== )()( 
 
Substituindo x por c vem: 
 
(((( )))) nn bbcccQcP ====∴∴∴∴++++−−−−==== P(c) )()( 
 
2. O valor numéricoda derivada do polinômio )( xP para cx ==== é igual ao resto da 
divisão de )(xQ por )( cx ==== . 
 (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
)()( 
)()()(
)()()(
)()(
'
''
''
cQcP
cQcccQcP
cQcxxQxP
bcxxQxP n
====∴∴∴∴
++++−−−−====
++++−−−−====
++++−−−−====
 
 
Aplicando o teorema do item (1) anterior, podemos afirmar que )(cQ é o resto da 
divisão de )(xQ por )( cx ==== . 
 
Este último teorema nos permite deduzir que para obter o valor numérico da 
derivada de um polinômio )(' xP basta dividi-lo duas vezes seguidas por )( cx ==== , 
e o resto da segunda divisão é o valor procurado. 
 
Para calcular )( 0xP de um )( xP , é necessário fazermos (((( )))) 21++++nn multiplicações e n 
adições. Então, se o grau n do polinômio for elevado (digamos 200≥≥≥≥n ), o cálculo de 
)( 0xP além de se tornar trabalhoso, é, também, ineficiente em termos computacionais 
(em época anterior). 
 
Exemplo: 
5316231521023)( 23456789 −−−−++++−−−−++++−−−−−−−−++++−−−−++++==== xxxxxxxxxxP 
 
No ponto 2 teremos: 
(((( ))))




====
====
++++
====
====
∴∴∴∴
−−−−++++−−−−++++−−−−−−−−++++−−−−++++====
9
15
2
199
321)(
5)2(3)2(16)2(2)2(3)2(15)2(2)2(10)2(232)( 23456789
adições
çõesmultiplica
xP
xP
 
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2.1.2 Método de Horner 
 
0121
012
3
1
2
012
2
1
1
01
2
2
1
1
))............)((....( 
.......................................................................... 
))........(( 
)...........( 
...............)(
axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxaxP
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
++++++++++++++++++++====
++++++++++++++++++++====
++++++++++++++++++++====
++++++++++++++++++++====
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
 
 
 
Exemplo: 
 
 
13)3(
8-4)32)3-5)3-3*((2()3(
3 ponto No
 
8)4)25((2x 
8)425(2 
84452)(
2
23
234
====
++++====
====
−−−−++++−−−−−−−−====
−−−−++++−−−−−−−−====
−−−−++++−−−−−−−−====
P
P
x
xxx
xxxx
xxxxxP
 
 
2.1.3 Método de Briot-Ruffini 
 
Sejam os polinômios: 
 
bxbxbxbxQ
e
axaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n
n
n
++++++++++++++++====
++++++++++++++++++++====
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
2
2
1
1
01
2
2
1
1
............)(
...............)(
 
 
Dividindo )( xP pelo binômio )( cx −−−− , obtemos: 
 
(((( )))) rcxxQxP ++++−−−−==== )()( 
 
Onde )(xQ é um polinômio de 1−−−−n e r uma constante (resto da divisão). Sendo que o 
resto r é o valor do polinômio. 
 
Se 0====r , então c é uma raiz real de 0)( ====xP . 
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Temos que: 
 
)1( 1 nkacbb
ab
knknkn
nn
≤≤≤≤≤≤≤≤++++====
====
−−−−
−−−−++++−−−−
 
 
Ou: 
 
010
212
11
...........................
acbb
acbb
acbb
nnn
nnn
++++====
++++====
++++====
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
 
 
Esquematicamente: 
 
 121 ...... aaaa nnn −−−−−−−− 0a 
c 21 ...... cbcbcb nn −−−− 1cb 
 121 ...... bbbb nnn −−−−−−−− rb ====0 
 
Exemplo: 
10167)( 23 −−−−++++−−−−==== xxxxP 
 
 167 1 −−−− 10−−−− 
2 102 12 
 6 5 1 −−−− 2 
2)2( ====P 
 
 
 1671 −−−− 10−−−− 
3−−−− 303−−−− 138 
 46101 −−−− 148 
148)3( −−−−====−−−−P 
 
 1671 −−−− 10−−−− 
1 61 −−−− 10 
 46101 −−−− 0 
0)1( ====P 
 
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2.2 Limites das raízes reais 
 
Consideremos o polinômio )( xP , vem: 
 
01
2
2
1
1 ............)( axaxaxaxaxP nnnnnn ++++++++++++++++++++==== −−−−−−−−−−−−−−−− 
 
Onde )1,1( com e 0 −−−−====∈∈∈∈≠≠≠≠ njRaa jn . 
 
2.2.1 Teorema de Lagrange 
 
Seja )10( e 0 ,0 0 −−−−≤≤≤≤≤≤≤≤≠≠≠≠>>>> nkkaan , o maior índice dos coeficientes 
negativos do polinômio )( xP . Então, para o limite superior das raízes positivas do 
polinômio, pode-se tomar o número: 
 
kn
na
BL −−−−++++==== 1 
 
Onde B é o máximo dos módulos dos coeficientes negativos do polinômio. 
 
Assim se pεεεε é a maior das raízes positivas do polinômio, então Lp ≤≤≤≤εεεε . Se os 
coeficientes de )( xP forem todos positivos, então 0)( ====xP não terá raízes positivas. 
 
Exemplo: Seja 
 
30975)( 234 ++++++++−−−−−−−−==== xxxxxP 
 
 
 
8
1
71 
negativos) termos de módulo, em e,coeficient(maior 7
negativos) termos de expoente(maior 3
34 ====++++====
−−−−====
====
−−−−L
B
k
 
 
 
Ou seja, a partir de 8 o polinômio não tem zeros. 
 
A partir daí, podemos procurar outros três polinômios que tenham uma relação entre suas 
raízes e o polinômio anterior. 
 
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1. Se substituirmos as raízes de )( xP pelos seus inversos, encontraremos outro 
polinômio cuja relação com o 1º será ter as raízes inversas. Chamaremos este 
Polinômio de )(1 xP , então teremos: 
nx
PxP
εεεεεεεεεεεε
1
,......
1
,
1
:serão raízes cujas ),1()(
21
1 ==== 
Sendo 
pεεεε
1
 a maior das raízes positivas e 1L o limite acima do qual 0)
1(1 ====
x
P não 
terá raízes positivas, então: 
1
11
1 L
L p
p
≥≥≥≥∴∴∴∴≤≤≤≤ εεεε
εεεε
 
ou seja, 
1
1
L
 é o limite inferior das raízes positivas de 0)(1 ====xP . Notar que é o “inverso” de 
acima do qual não temos raízes. 
 
2. Se substituirmos x pelo seu simétrico x−−−− , em 0)( ====xP , teremos 
0)()(2 ====−−−−==== xPxP , cujas raízes são: nεεεεεεεεεεεεεεεε −−−−−−−−−−−−−−−− ,.......,,, 321 
 
Sendo pεεεε−−−− a maior das raízes positivas de 0)(2 ====xP e 2L o limite superior das 
raízes positivas de 0)(2 ====xP , então: 22 LL pp −−−−≥≥≥≥∴∴∴∴≤≤≤≤−−−− εεεεεεεε 
 
Ou seja, 2L−−−− é o limite inferior (simétrico) abaixo do qual não temos raízes 
negativas em 0)( ====xP . 
 
3. Se substituirmos x pelo seu inverso simétrico 
x
1
−−−− , em 0)( ====xP , teremos 
0)1()(3 ====−−−−====
x
PxP , cujas raízes são: 
nεεεεεεεεεεεεεεεε
1
,.......,
1
,
1
,
1
321
−−−−−−−−−−−−−−−− 
 
Sendo )0( com 1 <<<<−−−− p
p
εεεε
εεεε
 a maior das raízes positivas de 0)(3 ====xP e 3L o limite 
superior das raízes positivas de 0)(3 ====xP , então: 
3
3
11
L
L p
p
−−−−≤≤≤≤∴∴∴∴≤≤≤≤−−−− εεεε
εεεε
 
 
ou seja, 
3
1
L
−−−− é o limite superior das raízes negativas de 0)( ====xP acima do qual 
não temos raízes negativas em 0)( ====xP . 
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Todas as raízes positivas ++++εεεε , se existirem, satisfarão a: L
L
≤≤≤≤≤≤≤≤ ++++εεεε
1
1
 e as negativas −−−−εεεε , se 
existirem, satisfarão a: 
3
2
1
L
L −−−−≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− −−−−εεεε . 
 
 
 
 
Exemplo: Seja a equação: 0302975 234 ====++++++++−−−−−−−− xxxx 
 
1. Cálculo de L 
 
 
8
1
71
negativos) termos de módulo, em e,coeficient(maior 7
negativos) termos de expoente(maior 3
34 ====++++====
−−−−====
====
−−−−L
B
k
 
 
2. Cálculo 1L 
Para a obtenção de )(1 xP substituiremos x por 
x
1
: 
 
 
03029751
03029751
4
432
234
====
++++++++−−−−−−−−
∴∴∴∴
====++++++++−−−−−−−−
x
xxxx
xxxx
 
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Logo: 
01572930)( 2341 ====++++−−−−−−−−++++==== xxxxxP 
 
 
67428,0148304,1
30
71
negativos) termos de módulo, em e,coeficient(maior 7
negativos) termos de expoente(maior 2
1
241 ====⇒⇒⇒⇒====++++====
−−−−====
====
−−−−
L
LB
k
 
 
3. Cálculo 2L 
Para a obtenção de )(2 xP substituiremos x por x−−−− : 
 
0302975)( 2341 ====++++−−−−−−−−++++==== xxxxxP 
 
 
38516,638516,6
1
291
negativos) termos de módulo, em e,coeficient(maior 29
negativos) termos de expoente(maior 2
2242 −−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒====++++====
−−−−====
====
−−−− LL
B
k
 
 
4. Cálculo 3L 
Para a obtenção de )(3 xP substituiremos x por 
x
1
−−−− : 
 
01572930)( 2341 ====++++++++−−−−−−−−==== xxxxxP 
 
 
50847,0196666,1
30
291
negativos) termos de módulo, em e,coeficient(maior 29
negativos) termos de expoente(maior 3
3
343 −−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒====++++====
−−−−====
====
−−−−
L
L
B
k
 
 
Logo: 
 
867427,0 ≤≤≤≤≤≤≤≤ ++++εεεε 50847,038616,6 −−−−≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− −−−−εεεε 
 
 
 
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2.3 Número de Raízes 
 
Teorema de Bolzano: Seja 0)( ====xP uma equação algébrica com coeficientes reais e 
);( bax ∈∈∈∈ . 
 
• Se 0)().( <<<<bPaP , então existe um número impar de raízes reais (contando suas 
multiplicidades) no intervalo );( ba . 
 
 
 
• Se 0)().( >>>>bPaP , então existe um número par de raízes (contando suas 
multiplicidades) ou não existem raízes reais no intervalo );( ba . 
 
 
 
 
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2.3.1 Regra (dos sinais) de Descartes 
Teorema: O número de raízes reais positivas ++++n de uma equação algébrica é igual 
ao número de variações de sinais na seqüência dos coeficientes, ou 
menor que este número por um inteiro par, sendo uma raiz de 
multiplicidade m , como m raízes e não sendo contados os 
coeficientes zero. 
 
Corolário: Se os coeficientes de uma equação algébrica são diferentes de 
zero, então, o número de raízes reais negativas −−−−n (contando suas 
multiplicidades) é igual ao número de permanências ns seqüência dos 
seus coeficientes, ou é menor que este número por um inteiro par. 
 
Exemplos: Seja o polinômio 0302975 234 ====++++++++−−−−−−−− xxxx 
 
5 e 3 1,- 2,- são raízes as
0 ou 222
0 ou 222
2
1
====⇒⇒⇒⇒−−−−====
====⇒⇒⇒⇒−−−−====
−−−−−−−−
++++++++
nkn
nkn
 
 
 
 
Seja o polinômio 0104079218579 2345 ====++++−−−−++++++++−−−− xxxxx 
 
2i3 e 2i-3 4, 4, 5,- são raízes as
11
0 ou 2 ,424 1
++++
====⇒⇒⇒⇒====
====⇒⇒⇒⇒−−−−====
−−−−−−−−
++++++++
nn
nkn
 
 
 
 
 
 
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2.4 Relação entre Raízes e coeficientes (Regra de Girard) 
Escrevendo 0)( ====xP na forma fatorada temos: 
 
(((( )))) (((( )))) 0............))(()( 321 ====−−−−−−−−−−−−−−−−==== nn xxxxaxP εεεεεεεεεεεεεεεε 
 
Se efetuarmos as multiplicações e agruparmos teremos: 
 
0).......()1(................ 
)....( 
).........( 
).....()(
321
3
1243121321
2
113213121
1
21
====−−−−++++++++
++++++++++++++++++++−−−−
−−−−++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++−−−−====
−−−−
−−−−−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
nn
n
n
nnnnn
n
nnnn
n
nn
n
n
a
xa
xa
xaxaxP
εεεεεεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεε
 
 
Comparando o resultado com 0)( ====xP vem: 
 
)()1(..........................
..............................................................
)(......
)(......
)(...................
0321
312321
213121
121
n
n
n
nnnnn
nnnn
nnn
aa
aa
aa
aa
−−−−====
−−−−====++++++++
====++++++++++++
−−−−====++++++++++++
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−
εεεεεεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεε
 
 
 
Exemplo: 010167 23 ====−−−−++++−−−− xxx 
 
Cujas raízes são: 
1
3
3
3
2
1
====
−−−−====
++++====
εεεε
εεεε
εεεε
i
i
 
 
Logo: 
 
1
101).3)(3(
1
161).3(1).3()3)(3(
1
71)3()3(
−−−−====−−−−++++
====−−−−++++++++++++−−−−++++
−−−−
−−−−====++++−−−−++++++++
ii
iiii
ii
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 16 de 32 
2.5 Método da Bisseção 
Consiste em descobrir duas abscissas ba e que contenha apenas uma raiz, tal que: 
)( e )( bfaf tenham sinais contrários. Ou seja: 
 
Dessa forma espera-se que poderemos tomar como valor inicial 0x a abscissa da 
metade desse intervalo, ou: 
2
 0)().( 0
ba
xbfaf ++++====⇒⇒⇒⇒<<<< 
Verificam-se os novos intervalos e se prossegue o processo ate que 0)( ====xf . 
 
 
 
Exemplo: Achar uma aproximação da raiz real (única) de 010167 23 ====−−−−++++−−−− xxx . 
 
Tomemos 4 intervalos iguais entre 1−−−− e 1++++ . 
 
1º) raiz. tem não logo ,0)().( 
625,2)( 5,0
5)( 1
>



−=⇒−=
−=⇒−=
bfaf
bfb
afa
 
 
2º) raiz. tem não logo ,0)().( 
1)( 0
625,2)( 5,0
>



−=⇒=
−=⇒−=
bfaf
bfb
afa
 
 
3º) raiz. uma menos pelo tem é logo ,0)().( 
625,0)( 5,0
1)( 0
<<<<



====⇒⇒⇒⇒====
−−−−====⇒⇒⇒⇒==== bfaf
bfb
afa
 
 
Logo 025
2
5,00
 e 0)().( 0 ====
++++
====<<<< xbfaf 
Material sujeito a correções 
 Página 17 de 32 
2.5.1 Número de Passos (Divisões) 
 
Em alguma etapa do processo teremos ou a raiz exata εεεε ou uma seqüência infinita de 
intervalos (caso de uma raiz ser um valor irracional), tal que: 
 
....)(n1,2,3,.. 0)().( <<<<bfaf 
 
Como a cada iteração o intervalo [[[[ ]]]]ba; é dividido ao meio, na n-ésima divisão o 
comprimento do intervalo será: 
 
nnn
ab
ab
2
−−−−
====−−−− ou 
 
Desde que 
 
εεεε≤≤≤≤−−−−
−−−−1nn xx 
 
Então: 
 
2ln
)(ln
2 1



 −−−−
≥≥≥≥∴∴∴∴≤≤≤≤
−−−−
++++
εεεε
εεεε
ab
n
ab
n
 
 
 
Ou seja, para um dado intervalo [[[[ ]]]]ba; , são necessárias, no mínimo n divisões calcularmos 
a raiz com tolerância εεεε . 
 
Como )(raizbLimaLim n
n
n
n
εεεε========
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
. 
 
Exemplo: Ver página 108 de Leônidas Barroso. 
 
Material sujeito a correções 
 Página 18 de 32 
2.6 Método das Cordas (ou das partes proporcionais) 
Seja a determinação da raiz de )(xf , 
_
xx ==== compreendida no intervalo bxa <<<<<<<< e seja 
)(xf representada da maneira que segue: 
 
Ligando-se os pontos (((( )))) (((( ))))f(bb; e )(; afa através de um seguimento de reta, determina-se 
sobre o eixo dos x o ponto 1x . Repetindo-se este procedimento em relação aos pontos 
(((( )))) (((( ))))f(bb; e )(; 11 xfx , determinamos 2x e assim sucessivamente até que 1++++rx tenderá 
para εεεε . 
 
Analiticamente teríamos: 
 
A equação da reta que passa pelos pontos (((( )))) (((( ))))f(bb; e )(; afa : 
 
[[[[ ]]]]
ab
ax
afbfafxf
ab
ax
afbf
afxf
xx
xx
yy
yy
−−−−
−−−−
−−−−++++====
∴∴∴∴
−−−−
−−−−
====
−−−−
−−−−
⇒⇒⇒⇒
−−−−
−−−−
====
−−−−
−−−−
)()()()( 
)()(
)()(
 
12
1
12
1
 
 
Fazendo 1xx ==== , vem: 
[[[[ ]]]]
ab
ax
afbfafxf
−−−−
−−−−
−−−−++++======== 1)()()(0)( 
E, portanto: 
(((( )))) )()(
)(
1
afbf
af
abax
−−−−
−−−−−−−−==== 
 
Generalizando teremos: 
(((( )))) )()(
)(
1
r
r
rrr
xfbf
xf
xbxx
−−−−
−−−−−−−−====++++ 
Material sujeito a correções 
 Página 19 de 32 
Quando )(xf tem a forma abaixo, a determinação da raiz envolve o emprego de duas 
fórmulas: 
 
 
 
 
 
Neste caso, indicamos reduzir o intervalo por bisseção para obter um intervalo com a 2ª 
derivada constante. Observar que sea mudança de sinal da 2ª derivada for a raiz basta 
calcular seu valor e igualar a zero. 
 
Situações Possíveis: 
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 20 de 32 
2.6.1 Equação Geral 
 
Podemos utilizar a equação: 
 
(((( ))))cx
cfxf
xf
xx n
n
n
nn −−−−
−−−−
−−−−====++++ )()(
)(
1 
 
Sendo c o ponto extremo (fixo) do intervalo [[[[ ]]]]ba; onde a função )(xf apresenta o 
mesmo sinal da sua segunda derivada )(" xf , ou seja: 
 
 
0)().( " >>>>cfcf 
 
 
1. O ponto fixo ) ou ( ba é aquela que satisfaz 0)().( " >>>>xfxf . 
 
2. A aproximação sucessiva nx , se faz do lado da raiz εεεε , onde o sinal da função )(xf 
é oposto ao sinal da derivada segunda )(" xf . 
 
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 21 de 32 
2.6.2 Outra dedução do método das cordas 
 
Seja )(xf uma função contínua que tenha derivada segunda com sinal constante no 
intervalo [[[[ ]]]]ba; , sendo 0)().( >>>>bfaf e que exista apenas um número [[[[ ]]]]ba;∈∈∈∈εεεε tal que 
0)( ====εεεεf . 
 
O intervalo [[[[ ]]]]ba; é dividido em partes proporcionais à razão )(
)(
bf
af
−−−− . 
 
 
 
(((( ))))ab
affbf
af
ax
hax
bfaf
af
ab
h
−−−−
−−−−
−−−−====
++++====
++++−−−−
−−−−
====
−−−−
)(()(
)(
 Como
)()(
)(
1
11
1
 
 
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 22 de 32 
2.7 Método de Newton-Raphson 
 
Seja )(xf uma função contínua no intervalo [[[[ ]]]]ba; e εεεε o seu único zero neste intervalo. 
As derivadas )(" e )(' xfxf devem, também, ser contínuas. 
 
Desenvolvendo )(xf na série de Taylor, na vizinhança de um dos limites acima, (por 
exemplo: a ) vem, considerando os dois primeiros termos da série: 
 
(((( ))))
2
"
'
2
)()()()( 





−−−−++++−−−−++++====
−−−−
nnnn xx
f
xxxfxfxf εεεε 
 
Desprezando-se o termo do erro de e fazendo xx
_
==== no desenvolvimento acima, teremos: 
 
(((( ))))
(((( ))))
)(
)(
)()()(
0)()()(
0)()(
'
''
''
'
n
n
n
nnnn
nnnn
nnn
xf
xf
xx
xfxfxxfx
xfxxfxxf
xxxfxfxf
−−−−====
∴∴∴∴
−−−−====
====−−−−++++
====





−−−−++++====





−−−−
−−−−
−−−−
−−−−−−−−
 
 
Fazendo 1++++
−−−−
==== nxx ; 
 
n),1,2,3,....(n com )(
)(
'1 ====−−−−====++++
n
n
nn
xf
xf
xx 
 
Onde 1++++nx é uma aproximação de εεεε . 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 23 de 32 
2.7.1 Interpretação Geométrica 
 
 
Temos: 
 
10
0
0
' )()(
xx
xf
xftg
−−−−
========αααα 
 
)(
)(
1
'
0
10
xf
xf
xx ====−−−− 
 
Multiplicando-se por )1(−−−− e passando-se 0x para a direita da equação, vem: 
 
)(
)(
1
'
0
01
xf
xf
xx −−−−==== 
 
Por indução pode-se fazer o mesmo para ββββ e assim por diante. Logo: 
 
,.....)3,2,1( com )(
)(
'1 ====−−−−====++++ nxf
xf
xx
n
n
nn 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 24 de 32 
2.7.2 Convergência 
Da figura anterior vemos que traçando a tangente a partir do ponto [[[[ ]]]])(; 00 xfxa , podemos 
encontrar [[[[ ]]]]bax ;1 ∉∉∉∉ e o método pode não convergir. Por outro lado, se escolhermos 
0xb ==== o processo convergirá. 
È condição suficiente para a convergência do método de Newton-Raphson que: 
1. )( e )( "' xfxf sejam não nulas e preservem o sinal no intervalo [[[[ ]]]]ba; e 
2. que 0x seja tal que 0)().( "' >>>>xfxf 
Exemplo: Calcular a raiz quadrada de N . 
 
Seja 02 ====−−−− Nx , e como )(
)(
'1
n
n
nn
xf
xf
xx −−−−====++++ vem: 
 






++++====
++++−−−−
====
−−−−
−−−−====
++++
++++
++++
n
nn
n
nn
n
n
n
nn
x
N
xx
x
Nxx
x
x
Nx
xx
2
1
2
2
,
2
1
22
1
1
 
 
Tomemos 59N e 10 ========x 
2)( e 2x12)1()( "' ================ xffxf 
O que satisfaz às condições de convergência. Logo: 
 
68144,7
68144,7
5968144,7
2
1
68144,7
68467,7
5968467,7
2
1
68467,7
91744,7
5991744,7
2
1
91744,7
83733,9
5983733,9
2
1
83733,9
98333,15
5998333,15
2
1
98333,15
30
5930
2
1
30
1
591
2
1
7
6
5
4
3
2
1
====





++++====
====





++++====
====





++++====
====





++++====
====





++++====
====





++++====
====





++++====
x
x
x
x
x
x
x
 
O que nos indica que a raiz de 59 com até 5 decimais é 7,68144. 
Material sujeito a correções 
 Página 25 de 32 
2.8 Método da Iteração Linear 
 
Seja )(xf uma função contínua no intervalo [[[[ ]]]]ba; e εεεε um número pertencente a este 
intervalo, tal que: 0)( ====εεεεf . 
 
Por um artifício algébrico é sempre possível transformar )(xf em )( xFx ==== , onde )(xF é 
uma função de iteração. 
 
Sendo 0x uma primeira aproximação da raiz εεεε , calcula-se )( 0xF . O processo pode ser 
então, generalizado como segue: 
 
...)0,1,2,....(n ),(1 ========++++ nn xFx 
 
Se a seqüência {{{{ }}}},......,, 210 xxx é convergente, isto é, se existe εεεε====
∞∞∞∞→→→→
n
n
xLim e )(xF é 
contínua, então: 
 






====
∞∞∞∞→→→→
++++
∞∞∞∞→→→→
n
n
n
n
xFx LimLim 1 
 
e, 
 
)(εεεεεεεε F==== , 
 
onde εεεε é uma raiz de 0)( ====xf . 
 
Material sujeito a correções 
 Página 26 de 32 
2.8.1 Interpretação geométrica 
 
Traçamos no plano xy os gráficos das funções xy ==== e )( xFy ==== . Cada raiz real da 
equação )(xFx ==== , é uma abscissa do ponto de interseção R da curva )(xFy ==== com a 
bissetriz xy ==== . 
 
 
Onde: 
)( 
)( 
......................................................
)(0
)(0
)(0
1
2322333
)1211222
)0100111
εεεεεεεε F
xFx
xFxCACBC
xFxCACBC
xFxCACBC
nn
====
====
====→→→→========
====→→→→========
====→→→→========
++++
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 27 de 32 
Situações que podem ocorrer: 
 
 
2.8.2 Convergência 
 
Teorema: Partindo de um valor de 0x pertencente a uma vizinhança r de I , ),( δδδδδδδδ ++++−−−− rr , 
no qual )(xF é diferenciável, as aproximações sucessivas realizadas na equação 
)( xFx ==== , convergirão para uma raiz real Ir ∈∈∈∈ se tivermos: 
 
1)(' <<<<xF 
 
Para todo. 
 
Se por outro lado 1)(' >>>>xF para todo Ix ∈∈∈∈ , as aproximações divergirão. 
 
Demonstração: Devemos provar inicialmente que todo valor 1++++ix obtido na i-ésima 
iteração, pertence a I se nxxx ..,,.........,,x 210 também pertencem. 
 
Temos: 
)()(x 
 )(x )(
1i
1i
rFxFr
xFrFr
i
i
−−−−====−−−−∴∴∴∴
========
++++
++++
 
Material sujeito a correções 
 Página 28 de 32 
Pelo teorema do valor médio aplicado a )(xF no intervalo ),( ou ),( ii xrrx , temos: 
 
)(')()( i
i
i F
rx
rFxF ξξξξ
−−−−
−−−−
 
 
onde, )( ou iiii xrrx ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ ξξξξξξξξ 
 
Logo: 
 
)).((' 11 rxFrx ii −−−−====−−−−++++ ξξξξ 
Ou: 
 
rxFrx iii −−−−====−−−−++++ .)('1 ξξξξ 
 A 
 
Para 0====i vem: 
rxFrx −−−−====−−−− 001 .)(' ξξξξ 
E como I∈∈∈∈0ξξξξ temos: 
1)(' 0 <<<<εεεεF 
∴∴∴∴ 
δδδδ<<<<−−−−<<<<−−−− rxrx 01 
 
Logo, Ix ∈∈∈∈1 
 
Podemos,analogamente, deduzir que .............,..........,,
,321 ixxxx também pertencem a I . 
 
Definindo 
)('
)('
xFmáximoM
xFmínimom
====
====
 
Isto é: 
Ix )(' ∈∈∈∈∀∀∀∀≤≤≤≤≤≤≤≤ MxFm 
Da relação A vem: 
rxMrxrxm
rxMrxrxm
rxMrxrxm
iii −−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−−
−−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−−
−−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−−
−−−−−−−− 11
121
010
..........................................
 
 
Multiplicando membro a membro (teremos smi ), retemos: 
 
rxMrxrxm ii −−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−− 010 
 
Material sujeito a correções 
 Página 29 de 32 
Se 1<<<<M , então: 0lim ====−−−−
∞∞∞∞→→→→
rxi
i
, portanto 0lim ====−−−−
∞∞∞∞→→→→
rxi
i
, e a seqüência converge para 
r . 
 
Por outro lado, se 1>>>>m , a diferença (((( ))))rxi −−−− aumenta indefinidamente e o método não 
converge. 
 
Como para 1)(' <<<<rF , deve existir uma vizinhança I de r , onde, para todo Ix ∈∈∈∈ , 
1)(' <<<<xF , e vice-versa, podemos finalmente concluir que obedecendo a duas condições 
asseguramos o êxito do processo. 
 
1. Escolher a função de modo que 1)(' ≤≤≤≤rF (condição necessária) e 
2. Escolher 0x na dita vizinhança. 
2.9 Observações finais sobre os Métodos 
1. Bisseção 
Não exige o conhecimento das derivadas, mas tem uma convergência lenta. Deve 
ser usado para diminuir o intervalo que contém a raiz. 
2. Cordas 
Exige que o sinal da derivada segunda permaneça constante no intervalo (o que 
pode ser verificado até graficamente). 
Se o ponto fixado c for razoavelmente próximo da raiz (grosseiramente 10)( <<<<cF ), 
o método tem boa convergência; caso contrario pode ser mais lento que a bisseção. 
3. Newton-Raphson 
Requer o conhecimento da forma analítica de )(' xf , mas sua convergência é 
extraordinária. 
4. Iteração Linear 
Sua maior dificuldade é encontrar uma função de iteração que satisfaça a condição 
de convergência. 
O teste 1)(' ≤≤≤≤rF pode levar a um engano se 0x não estiver suficiente próximo da 
raiz. 
A velocidade de convergência dependerá de )(' xf ; quanto menor este valor, maior 
será a convergência. 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 30 de 32 
2.10 Método de Birge-Vieta 
O algoritmo obtido quando combinamos os métodos os métodos de Briot-Ruffinni com o 
método de Newton-Raphson para determinarmos a raiz r de um polinômio, é conhecido 
como método de Birge-Vieta. 
 
Assim, no calculo de ix com: 
)(
)(
1
'
1
1
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−====
i
i
ii
xP
xP
xx 
usamos o teorema que nos dá o valor de )( 1' −−−−ixP que diz que basta dividirmos )( 1−−−−ixP 
duas vezes consecutivas por )( cx −−−− , o que pode ser feito através o método de Briot-
Ruffinni . 
 
Ex.: Seja 046163763)( 23 ====−−−−++++−−−−==== xxxxP 
Pesquisando zeros positivos pelo método da bisseção usando intervalos de amplitude 5 
encontramos uma raiz, pelo menos, entre 3404)25( e 3186)20( ====−−−−==== PP . 
Tomando, então, 5,22====x , aplicamos o método de Birge-Vieta. 
 
 00,3 00,76−−−− 00,163 00,46−−−− 
50,22 00,3 50,8−−−− 25,28−−−− 25,681−−−− 
50,22 00,3 00,59 25,1299 
Logo: 
02,23
25,1299
25,68150,221 ====
−−−−
−−−−====x 
 
 
 00,3 00,76−−−− 00,163 00,46−−−− 
02,23 00,3 94,6−−−− 24,3 58,28 
02,23 00,3 12,62 24,1433 
Logo: 
00,23
24,1433
58,2802,231 ====−−−−====x 
 
 
 00,3 00,76−−−− 00,163 00,46−−−− 
00,23 00,3 00,7−−−− 00,2 0 
 
E sem dúvida 00,23 é uma raiz. 
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 31 de 32 
2.11 Grau de exatidão de uma raiz 
 
Após obter a raiz, por qualquer método numérico, encontramos um valor, possivelmente 
aproximado. 
 
Teorema: Seja εεεε uma raiz isolada exata e nx uma raiz aproximada de 0)( ====xf com εεεε e 
nx pertencentes ao [[[[ ]]]]ba; e: 
 
)(min ' xfm
bxa ≤≤≤≤≤≤≤≤
==== 
Então: 
m
xf
x nn
(
≤≤≤≤−−−− εεεε 
 
Prova: 
 
Aplicando o teorema do valor médio vem: 
 
[[[[ ]]]]baccx
onde
cfxfxf nn
:)(
:
)()()()( '
∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒<<<<<<<<
−−−−====−−−−
εεεε
εεεεεεεε
 
 
Como 
 
b)x(a para 0)( e 0)( ' ≤≤≤≤≤≤≤≤>>>>≥≥≥≥==== mxff εεεε 
 
Temos 
 
εεεεεεεε −−−−≥≥≥≥−−−−==== nnn xmfxfxf )()(( ) 
 
Vem 
m
xf
x nn
)(
≤≤≤≤−−−− εεεε 
 
Exemplo: Sendo 8)( 2−−−−==== xxf , delimitar o erro cometido com 827,2====nx , no intervalo 
[[[[ ]]]]3;2 . 
42min
32
========
≤≤≤≤≤≤≤≤
xm
x
 
 
002,0827,2
002,0
4
8827,2827,2
2
±±±±====
∴∴∴∴
====
−−−−≤≤≤≤−−−−
εεεε
εεεε
 
Material sujeito a correções 
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O cálculo de m muitas vezes é trabalhoso e difícil de ser feito. 
 
Por esta razão, a tolerância de εεεε pode ser avaliada por um dos três critérios (que também 
podem ser critérios de parada de processos iterativos) a seguir: 
 
εεεε
εεεε
εεεε
≤≤≤≤
−−−−
≤≤≤≤−−−−
≤≤≤≤
−−−−
−−−−
n
1n
1n
n
x
x
 .3
x .2
)f(x .1
n
n
x
x