lista9Superfícies Parametrizadas – Área de Superfície
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Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matema´tica e Estat\u131´stica
Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo 3A \u2013 Lista 9
Exerc´\u131cio 1: Seja S uma superf´\u131cie parametrizada por
\u3d5(u, v) =
(
v cosu, v sen u, 1\u2212 v2)
com 0 \u2264 u \u2264 2\u3c0 e v \u2265 0.
a) Identifique esta superf´\u131cie.
b) Encontre uma equac¸a\u2dco da reta normal e a equac¸a\u2dco do plano tangente a S em \u3d5(0, 1).
Soluc¸a\u2dco:
a) As equac¸o\u2dces parame´tricas de S sa\u2dco
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = v cosu
y = v sen u
z = 1\u2212 v2
, com 0 \u2264 u \u2264 2\u3c0 e v \u2265 0. Eliminando os
para\u2c6metros u e v, temos x2 + y2 = v2 = 1\u2212 z ou z = 1\u2212 x2 \u2212 y2 (parabolo´ide circular).
b) Um vetor normal de S em \u3d5(0, 1) = (1, 0, 0) e´:
\u2212\u2192
N (0, 1) =
\u2202\u3d5
\u2202u
(0, 1)× \u2202\u3d5
\u2202v
(0, 1) =
= (\u2212v sen u, v cos u, 0)× (cosu, sen u,\u22122v)
\u2223\u2223\u2223
(0,1)
=
= (0, 1, 0)× (1, 0,\u22122) =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\u2212\u2192
i
\u2212\u2192
j
\u2212\u2192
k
0 1 0
1 0 \u22122
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 =
= (\u22122, 0,\u22121) .
Equac¸a\u2dco do plano tangente a S em \u3d5(0, 1) = (1, 0, 0)
Da fo´rmula
[
(x, y, z)\u2212 \u3d5(0, 1)] · \u2212\u2192N (0, 1) = 0 temos:[
(x, y, z)\u2212 (1, 0, 0)] · (\u22122, 0,\u22121) = 0 \u21d2 (x\u2212 1, y, z) · (\u22122, 0,\u22121) = 0 \u21d2
\u21d2 \u22122(x\u2212 1)\u2212 z = 0 \u21d2 2x+ z \u2212 2 = 0 .
Equac¸a\u2dco da reta normal a S em \u3d5(0, 1) = (1, 0, 0)
Da fo´rmula
[
(x, y, z)\u2212 \u3d5(0, 1)] = \u3bb\u2212\u2192N (0, 1), com \u3bb \u2208 R, temos:[
(x, y, z)\u2212 (1, 0, 0)] = \u3bb(\u22122, 0,\u22121)
Ca´lculo 3A Lista 9 138
com \u3bb \u2208 R que e´ a equac¸a\u2dco vetorial da reta normal ou\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 1\u2212 2\u3bb
y = 0
z = \u2212\u3bb
com \u3bb \u2208 R, que sa\u2dco equac¸o\u2dces parame´tricas da reta normal.
Exerc´\u131cio 2: Encontre uma representac¸a\u2dco parame´trica para a superf´\u131cie
a) S : parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que fica acima do plano z =
\u221a
2 .
b) S : parte do cilindro x2 + y2 = 4 que fica entre os planos z = \u22122 e y + z = 2.
c) S : parte do plano x+ y + z = 2 no interior do cilindro x2 + y2 = 1.
d) S : cone gerado pela semirreta z = 2y, y \u2265 0, girando-a em torno do eixo z.
Soluc¸a\u2dco:
a) O esboc¸o de S e´ a figura a seguir.
x
y
z
\u221a
2
\u221a
2
\u221a
2
2
2
2
\u3c6
Se (x, y, z) \u2208 S enta\u2dco
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 2 sen\u3c6 cos \u3b8
y = 2 sen\u3c6 sen \u3b8
z = 2 cos\u3c6
.
Da figura vemos que
{
0 \u2264 \u3b8 \u2264 2\u3c0
cos\u3c6 =
\u221a
2/2 \u21d2 \u3c6 = \u3c0/4 . Portanto, uma parametrizac¸a\u2dco de S e´ dada
por
\u3d5(\u3c6, \u3b8) = (2 sen\u3c6 cos \u3b8, 2 sen\u3c6 sen \u3b8, 2 cos\u3c6)
com (\u3c6, \u3b8) \u2208 D :
{
0 \u2264 \u3c6 \u2264 \u3c0/4
0 \u2264 \u3b8 \u2264 2\u3c0 .
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 9 139
b) O esboc¸o de S esta´ representado na figura a seguir.
x
y
z
S
2
2
2
\u22122
Se (x, y, z) \u2208 S enta\u2dco
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 2 cos t
y = 2 sen t
z = z
, com 0 \u2264 t \u2264 2\u3c0 e \u22122 \u2264 z \u2264 \u2264 2\u2212 y = 2\u2212 2 sen t.
Enta\u2dco uma parametrizac¸a\u2dco de S e´
\u3d5(t, z) = (2 cos t, 2 sen t, z)
com (t, z) \u2208 D :
{
0 \u2264 t \u2264 2\u3c0
\u22122 \u2264 z \u2264 2\u2212 2 sen t .
c) O esboc¸o de S esta´ representado na figura a seguir.
x
y
z
S
2
2
2
1
1
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 9 140
Se (x, y, z) \u2208 S enta\u2dco z = 2\u2212 x\u2212 y com (x, y) \u2208 D : x2 + y2 \u2264 1. Enta\u2dco, uma parametrizac¸a\u2dco de
S e´ dada por \u3c6(x, y) = (x, y, 2\u2212 x\u2212 y). Uma outra parametrizac¸a\u2dco de S e´ dada por
\u3d5(r, \u3b8) = (r cos \u3b8, r sen \u3b8, 2\u2212 r cos \u3b8 \u2212 r sen \u3b8)
com (r, \u3b8) \u2208 D :
{
0 \u2264 r \u2264 1
0 \u2264 \u3b8 \u2264 2\u3c0 .
d) O esboc¸o de S e´ esta´ representado na figura a seguir.
x
y
z
C
Uma parametrizac¸a\u2dco de C e´ dada por \uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x(t) = 0
y(t) = t
z(t) = 2t
com t \u2265 0. Se (x, y, z) \u2208 S enta\u2dco (x, y, z) pertence a` circunfere\u2c6ncia de raio y(t) = t e de centro
(0, 0, z(t)) = (0, 0, 2t). Enta\u2dco \uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = t cos \u3b8
y = t sen \u3b8
z = 2t
com t \u2265 0 e \u3b8 \u2208 [0, 2\u3c0].
Assim, uma parametrizac¸a\u2dco de S e´ dada por
\u3d5(t, \u3b8) = (t cos \u3b8, t sen \u3b8, 2t)
com (t, \u3b8) \u2208 D : t \u2265 0, \u3b8 \u2208 [0, 2\u3c0].
Exerc´\u131cio 3:
a) Encontre uma parametrizac¸a\u2dco para a superf´\u131cie obtida girando-se o c´\u131rculo (x\u2212 a)2+ z2 = r2,
com 0 < r < a, em torno do eixo z (esta superf´\u131cie e´ chamada toro).
b) Encontre um vetor normal a` esta superf´\u131cie.
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 9 141
Soluc¸a\u2dco:
a) Inicialmente vamos parametrizar o c´\u131rculo que esta´ no plano xz. Temos que
{
x(t) = a+ r cos t
y(t) = r sen t
,
com 0 \u2264 t \u2264 2\u3c0. Seja (x, y, z) \u2208 S. Temos\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = x(t) cos \u3b8
y = y(t) sen \u3b8
z = z(t)
com 0 \u2264 t \u2264 2\u3c0 e 0 \u2264 \u3b8 \u2264 2\u3c0. Enta\u2dco, uma parametrizac¸a\u2dco de S e´ dada por
\u3d5(\u3b8, t) =
(
(a + r cos t) cos \u3b8, (a + r cos t) sen \u3b8, r sen t
)
com 0 \u2264 \u3b8 \u2264 2\u3c0 e 0 \u2264 t \u2264 2\u3c0.
Um vetor normal a` S e´ dado por
\u2212\u2192
N (\u3b8, t) =
\u2202\u3d5
\u2202\u3b8
(\u3b8, t)× \u2202\u3d5
\u2202t
(\u3b8, t)
onde
\u2202\u3d5
\u2202\u3b8
=
(\u2212 (a+ r cos t) sen \u3b8, (a+ r cos t) cos \u3b8, 0)
\u2202\u3d5
\u2202t
= (\u2212r sen t cos \u3b8,\u2212r sen t sen \u3b8, r cos t) .
Logo:
\u2212\u2192
N (\u3b8, t) =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\u2212\u2192
i
\u2212\u2192
j
\u2212\u2192
k
\u2212(a + r cos t) sen \u3b8 (a+ r cos t) cos \u3b8 0
\u2212r sen t cos \u3b8 \u2212r sen t sen \u3b8 r cos t
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 =
=
(
r(a+ r cos t) cos \u3b8 cos t, r(a+ r cos t) sen \u3b8 cos t, r(a+ r cos t) sen t
)
=
= (a+ r cos t)(r cos \u3b8 cos t, r sen \u3b8 cos t, r sen t) .
Exerc´\u131cio 4: Seja S a parte do cilindro x2 + y2 = 4, com 0 \u2264 z \u2264 5, delimitada pelos semiplanos
y = x e y = 2x, com x \u2265 0.
a) Obtenha uma parametrizac¸a\u2dco de S.
b) Calcule a a´rea de S.
Soluc¸a\u2dco: O esboc¸o de S esta´ representado na figura que se segue.
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 9 142
x
y
z
S
\u3b8 = arctg 2
\u3b8 = pi/4
y = x
y = 2x
2
2
5
Adotando as coordenadas cil´\u131ndricas \u3b8 e z como para\u2c6metros temos
S : \u3d5(\u3b8, z) = (2 cos \u3b8, 2 sen \u3b8, z)
com (\u3b8, z) \u2208 D :
{
0 \u2264 z \u2264 5
\u3c0/4 \u2264 \u3b8 \u2264 arctg 2 .
b) Temos:
A(S) =
\u222b\u222b
D
\u2223\u2223\u2223\u2223\u3d5\u3b8 × \u3d5z\u2223\u2223\u2223\u2223 d\u3b8dz
onde
\u3d5\u3b8 × \u3d5z =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~i ~j ~k
\u22122 sen \u3b8 2 cos \u3b8 0
0 0 1
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
= (2 cos \u3b8, 2 sen \u3b8, 0)
e \u2223\u2223\u2223\u2223\u3d5\u3b8 × \u3d5z\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u221a4 cos2 \u3b8 + 4 sen2 \u3b8 = \u221a4 = 2 .
Enta\u2dco:
A(S) =
\u222b\u222b
D
2 d\u3b8dz = 2
\u222b arctg 2
pi/4
\u222b 5
0
dzd\u3b8 = 10
\u222b arctg 2
pi/4
dz =
= 10
(
arctg 2\u2212 pi
4
)
u.a.
Exerc´\u131cio 5: Seja a superf´\u131cie S parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4, interior ao cone z =
\u221a
x2 + y2
3
.
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 9 143
a) Parametrize S usando coordenadas cartesianas como para\u2c6metros.
b) Parametrize S usando coordenadas polares como para\u2c6metros.
c) Parametrize S usando coordenadas esfe´ricas como para\u2c6metros.
d) Calcule a a´rea de S.
Soluc¸a\u2dco:
a) De x2 + y2 + z2 = 4 e z =
\u221a
x2 + y2
3
, temos x2 + y2 +
x2 + y2
3
= 4 donde x2 + y2 = 3. Logo,
a intersec¸a\u2dco e´ a circunfere\u2c6ncia x2 + y2 = 3 e ocorre no plano z = 1. Assim, o esboc¸o de S esta´
representado na figura a seguir.
x
y
z
S
D
\u3b1 \u221a
3
\u221a
3
1
2
2
2
Temos S : \u3d5(x, y) =
(
x, y,
\u221a
4\u2212 x2 \u2212 y2
)
, com (x, y) \u2208 D : x2 + y2 \u2264 3.
b) Usando as coordenadas polares, temos x = r cos \u3b8, y = r sen \u3b8, e z =
\u221a
4\u2212 r2, com 0 \u2264 r \u2264 1
e 0 \u2264 \u3b8 \u2264 2\u3c0. Logo, temos S : \u3d5(r, \u3b8) = = (r cos \u3b8, r sen \u3b8,\u221a4\u2212 r2), com (r, \u3b8) \u2208 D : 0 \u2264 r \u2264
1 , 0 \u2264 \u3b8 \u2264 2\u3c0.
c) As coordenadas esfe´ricas sa\u2dco: \u3c1, \u3c6 e \u3b8. Em S, temos que \u3c1 = 2. Logo, x = 2 sen \u3c6 cos \u3b8,
y = 2 sen\u3c6 sen \u3b8 e z = 2 cos\u3c6. Temos tg\u3b1 =
\u221a
3/1, donde \u3b1 = \u3c0/3. Assim, S pode ser definida
por:
S : \u3d5(\u3c6, \u3b8) = (2 sen\u3c6 cos \u3b8, 2 sen\u3c6 sen \u3b8, 2 cos\u3c6)
com (\u3c6, \u3b8) \u2208 D :
{
0 \u2264 \u3c6 \u2264 \u3c0/3
0 \u2264 \u3b8 \u2264 2\u3c0 .
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 9 144
d) Usando o item (c), temos que dS = \u3c12 sen \u3c6 d\u3c6d\u3b8 = 4 sen\u3c6 d\u3c6d\u3b8. Temos que,
A(S) =
\u222b\u222b
S
dS =
\u222b\u222b
D
4 sen\u3c6 d\u3c6d\u3b8 = 4
\u222b pi/3
0
\u222b 2pi
0
sen \u3c6 d\u3b8d\u3c6 =
= 8\u3c0
\u222b pi/3
0
sen \u3c6 d\u3c6 = 8\u3c0
[\u2212 cos\u3c6]pi/3
0
= 8\u3c0
(
1\u2212 1
2
)
= 4\u3c0 u.a.
Exerc´\u131cio 6: Seja a superf´\u131cie S parte do cone z2 = x2 + y2 que se encontra dentro do cilindro
x2 + y2 \u2264 2y, fora do cilindro x2 + y2 \u2264 1 e acima do plano xy.
a) Parametrize S usando coordenadas cartesianas.
b) Parametrize S usando coordenadas polares.
c) Calcule a a´rea de S.
Soluc¸a\u2dco:
a) O esboc¸o de S esta´ representado na figura a seguir.
x
y
z
D
S
1
2
2
x
y
D
\u3b1
1
2
(
\u2212
\u221a
3/2 , 1/2
) (\u221a
3/2 , 1/2
)
Adotando x e y como para\u2c6metros, temos S : \u3d5(x, y) =
(
x, y,
\u221a
x2 + y2
)
, com (x,