Lista1 Integrais

Prévia do material em texto

1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS - CAMPUS VARGINHA
1a Lista de Exercícios de Matemática III
Parte I. Integrais Duplas: Definição, Teorema de Fubini
1) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície dada por z = xy e acima do retângulo
[0, 6]× [0, 4] Utilize a soma de Riemann com m = 3 e n = 2 e tome como ponto amostral (o ponto
que você escolhe em cada sub retângulo determinado pela partição) o canto superior direito de cada
sub retângulo.
2) Calcule as seguintes integrais:
a)
∫ 3
1
∫ 1
0
(1 + 4xy)dxdy b)
∫ pi
2
0
∫ pi
2
0
sinx cos ydydx c)
∫ 3
0
∫ 1
0
(6x2y3 − 5y4)dxdy
d)
∫ 1
0
∫ 2
0
xyex
2ydxdy e)
∫ 2
1
∫ 3
2
xy2dxdy f)
∫ 2
0
∫ 2
1
x ln ydxdy
3) Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x+ 2y + z = 12 e acima do
retângulo [0, 1]× [−2, 3].
4) Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
x2
4
+ y
2
9
+ z = 1 e acima do
retângulo [−1, 1]× [−2, 2].
5) Inverta a ordem de integração.
a)
∫ 1
0
∫ x
0
f(x, y)dydx b)
∫ 1
0
∫ x
x2
f(x, y)dydx c)
∫ 1
−1
∫ √2−x2
x2
f(x, y)dydy
6) Calcule as seguintes integrais.
a)
∫∫
A
x3y2dxdy em que A = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 2,−x ≤ y ≤ x}
b)
∫∫
A
y2exydxdy em que A = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 4}
c)
∫∫
A
(x+ y)dxdy em que A é a região limitada por y =
√
x e por y = x2.
d)
∫∫
A
y3dxdy em que A é a região triangular de vértices nos pontos (0, 2), (1, 1) e (3, 2).
e)
∫∫
A
e−y
2
dxdy em que A é a região triangular de vértices nos pontos (0, 0), (1, 1) e (0, 1).
f)
∫∫
A
xdxdy em que A é a região triangular de vértices nos pontos (0, 0), (1, 1) e (2, 0).
Gabriel Alves
Realce
-(405/2) ou -202,5
Gabriel Alves
Realce
1
Gabriel Alves
Realce
10
Gabriel Alves
Realce
35/6
2
7) Determine o volume do sólido abaixo do paraboloide z = x2 + y2 e acima da região delimitada
por y = x2 e x = y2.
8) Calcule, por meio de integrais duplas, a área da região limitada pelas curvas y = x3 e y = x2.
9) Calcule, por meio de integrais duplas, a área da região R situada no primeiro quadrante limitada
por y = x3, y = x− 2, y = 0 e y = 1.
10) Uma das mais importantes aplicações da integração nas ciências físicas e sociais é o cálculo de
probabilidade. Uma função densidade de probabilidade, para uma variável aleatória X, é uma
função não negativa f(x) tal que a probabilidade de X estar entre a e b é dada por
P (a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f(x)dx
Em situações que envolvem duas variáveis aleatórias Xe Y , o cálculo da probabilidade se dá através
das integrais duplas de uma função densidade de duas variáveis, que é uma função não negativa de
f(x, y), tal que a probabilidade de que X esteja entre a e b e Y esteja entre c e d é dada por
P (a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =
∫ b
a
∫ d
c
f(x, y)dxdy
Detectores de fumaça fabricados por uma certa empresa contêm dois circuitos independentes, um
produzido na sua fábrica da Califórnia e o outro na fábrica de Ohio. Estudos de confiabilidade
sugerem que, se X mede o tempo de duração, dado em anos, de um circuito selecionado ao acaso da
instalação da Califórnia e Y o tempo de duração, dao em anos, de um circuito selecionado ao acaso
da instalçaõ de Ohio, a função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é f(x, y) = e−x−y. Se
o detector de fumaçã funcionará pelo menos enquanto um dos dois circuitos estiver funcionando,
calcule a probabilidade de que um detector selecionado ao acaso falhará dentro de um ano.
Parte II. Integrais Duplas: Mudança de Variáveis
1) Determine o jacobiano da transformação.
a) x = 5u− v e y = u+ 3v b) x = α sin β e y = α cos β c) x = u
u+v
e y = v
u−v
2) Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada.
a) S = {(u, v); 0 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2}; ϕ(u, v) = (2u+ 3v, u− v)
3
b) S é a região triangular de vértices (0, 0), (1, 1) e (0, 1); ϕ(u, v) = (u2, v)
3) Calcule a integral, efetuando a mudança de variáveis apropriada.
a)
∫∫
B
x− 2y
3x− ydxdy em que B é o paralelogramo delimitado pelas retas x− 2y = 0, x− 2y = 4,
3x− y = 1 e 3x− y = 8
b)
∫∫
B
cos
(
y − x
y + x
)
dxdy em que B é a região trapezoidal com vértices (1, 0), (2, 0), (0, 2) e (0, 1)
c)
∫∫
B
e
√
x2+y2dxdy em que B = {(x, y); 0 ≤ x ≤√(ln 2)2 − y2, 0 ≤ y ≤ ln 2}
d)
∫ 3
0
∫ √9−x2
−√9−x2
(x3 + xy2)dxdy
e)
∫∫
A
xydxdy em que A é um disco com centro na origem e raio 3
f)
∫∫
A
cos(x2 + y2)dxdy em que A é a região acima do eixo x e dentro do disco x2 + y2 = 9.
Parte III. Integrais Triplas: Definição, Teorema de Fubini
1) Suponha que f seja uma função de três variáveis definida no bloco R = [a, b]× [c, d]× [e, f ]. (a)
Escreva uma expressão para a soma de Riemann de f . (b) Defina
∫∫∫
R
f(x, y, z)dxdydz como um
limite.
2) Calcule as seguintes integrais.
a)
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
(x2 + y2 + z2)dzdydx b)
∫ e
1
∫ e
1
∫ e
1
1
xyz
dxdydz c)
∫ 1
0
∫ pi
0
∫ pi
0
y sin zdxdydz
3) Considere a integral tripla
∫ 1
−1
∫ 1
x2
∫ 1−y
0
dzdydx. Reescreva a integral na forma de uma integral
iterada equivalente na ordem (a) dydzdx (b) dydxdz
4) Escreva uma integral tripla equivalente a integral
∫ 1
0
∫ 1
y
∫ y
0
f(x, y, z)dzdxdy
5) Utilize uma integral tripla para determinar o volume do tetraedro T delimitado pelos planos
x+ 2y + z = 2, x = 2y , x = 0 e z = 0.
6) Calcule as seguintes integrais.
a)
∫ 1
0
∫ z
0
∫ x+z
0
6xzdydxdz b)
∫ 3
0
∫ 1
0
∫ √1−z2
0
zeydxdzdy c)
∫ pi
2
0
∫ y
0
∫ x
0
cos(x+ y + z)dzdxdy
4
Parte IV. Integrais Triplas: Mudança de Variáveis
1) Calcule
∫ 3
0
∫ 4
0
∫ x= y
2
+1
x= y
2
(
2x− y
2
+
z
3
)
dxdydz aplicando a transformação u = 2x−y
2
, v = y
2
e
w = z
3
e integrando sobre uma região apropriada do espaço uvw.
2) Calcule as seguintes integrais.
a)
∫∫∫
B
(x2 + y2 + z2)
3
2dxdydz em que B é a bola com centro na origem e raio 5.
b)
∫∫∫
B
e
√
x2+y2+z2dxdydz em que B é delimitado pela esfera x2 + y2 + z2 = 9 no primeiro octante.
3) Calcule o volume do elipsoide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
≤ 1.
4) Calcule
∫∫∫
R
√
x2 + y2dxdydz em que R é a região que está dentro do cilindro x2 + y2 = 16 e
entre os planos z = −5 e z = 4.
5) Calcule
∫∫∫
R
√
x2 + y2dxdydz em que R é o sólido limitado por x2 + y2 = 1, z = 1− x2 − y2 e
abaixo do plano z = 4.
6) Mostre que
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
√
x2 + y2 + z2e−(x
2+y2+z2)dxdydz = 2pi.