NotasAulaENG1714 1 MarcioCarvalho

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ENG 1714 – Métodos Numéricos para 
Engenharia Mecânica 
 
 
http://lmmp.mec.puc-rio.br/eng1714/ 
 
 
 
 
0 100 200 300 400 500 600 700
0
100
200
300
400
500
600
700
nz = 20566
 
 
ENG 1714 – Métodos Numéricos para 
Engenharia Mecânica 
 
http://lmmp.mec.puc-rio.br/eng1714/ 
 
Professor: Márcio Carvalho, Sala 153-L, Tel: 3527-1174 ou 3527-2530. email: msc@puc-rio.br 
 
 
Horário: 3a: 15:00 – 17:00 – Sala 258L 
 5a: 15:00 – 17:00 – Sala 258L 
 
 
Atendimento: O aluno deve me procurar sempre que tiver alguma dúvida. 
 
Critério de Aprovação: 
5
4
231
,32 Se .5
5
2312





GG
MG
GG
M
. G1 e G2 são 
calculados da seguinte forma: 
 
PGP
PListasMedia
GP



,4 Se
2
,4 Se
 
 
Objetivo: Introduzir os conceitos básicos de métodos numéricos para solução de problemas em engenharia. 
 
Ementa: Introdução; Integração numérica; Cálculo de raiz de equação transcendental; Interpolação e Ajuste 
de Curvas; Solução de sistemas de equações algébricos; Sistemas não-lineares; Equações Diferenciais 
Ordinárias; Problema de Valor Inicial; Problema de Valor de Contorno; Equações Diferenciais Parciais; 
Otimização. 
 
Bibliografia: 
 
 Métodos Numéricos para Engenharia ,S. C. Chapra e R. P. Canale; McGraw Hill, 2002. 
 Análise Numérica, R. L. Burden e J. Douglas Faires, Thomson, 2003. 
 Numerical Recipies, W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky e W. T. Vetterling; Cambridge 
University Press, 1986. 
 Numerical Methods, G. Dahlquist, A. Bjorck e N. Anderson; Prentice Hall, 1974. 
 Manual do Scilab 
ENG 1714- Métodos Numéricos para Eng. Mecânica
Departamento de Engenharia Mecânica
Prof. Marcio S. Carvalho
email: msc@puc-rio.brSala: 153-LTel: 3527-1174 ou 3527-2530
APLICAÇÕES DE MÉTODOS NUMÉRICOS
 Tratamento de Dados Estatísticos
Análise de sinais
Cálcular de média, desvio padrão, variância, etc…
Determinar equação da curva que melhor descreve os
resultados de um experimento
 Simulação de sistemas
Previsão de comportamento de um sistema
Projeto mais barato e de melhor desempenho
Verificação
? )(xfy 
INTRODUÇÃO
MODELAGEM E SIMULAÇÃO
PROBLEMA REAL
MODELO FÍSICO
MODELO MATEMÁTICO MODELO EXPERIMENTAL
MÉTODOS NUMÉRICOS
PREVISÕES
TÉCNICAS EXPERIMENTAIS
PREVISÕES
MODELO MATEMÁTICO
 Conjunto de equações que descrevem um determinado fenômeno físico
Modelo é desenvolvido a partir de hipóteses simplificadoras
Hipóteses simplificadoras são importantes para facitilar a solução
Hipóteses devem ser coerentes com o fenômeno a ser descrito
Engenharia: Uso correto de hipóteses simplificadoras
Hipóteses erradas levarão a predições incorretas
 Qualidade das predições está diretamente ligada ao modelo usado
 Compromisso entre custo para solução das equações e qualidade dos resultados
Modelo pode ser DIFERENCIAL ou INTEGRAL
Modelos diferenciais geralmente levam a equações sem solução analítica
 Necessidade de desenvolvimento de ferramentas para resolver as equações
IMPORTÂNCIA DE PREDIÇÃO
 Projeto de engenharia mais econômico
 Otimização de projetos
Análise de situações sem dados experimentais
 Determinação de desempenho em casos limites
MÉTODOS DE PREDIÇÃO
Modelo Experimental
Em escala ou escala reduzida
Custo financeiro e de tempo elevado
Difícil de analisar efeitos de condições isoladas
Fundamental para validar modelos teóricos
Modelo Matemático
Baixo custo
Possibilidade de analisar diversos casos e otimizar projeto
Velocidade de obter resposta
Habilidade de simular condições reais e ideais
Necessidade de validar modelos matemáticos 
 Comentários
Ideal: Combinação de experimentos e modelos matemáticos
MÉTODOS NUMÉRICOS
EQUAÇÃO DIFERENCIAL )()( xG
dx
dTTk
dx
d 


MODELO: CONSERVAÇÃO DE ENERGIA + LEI DE FOURIER
PROBLEMA REAL: TRANSFERÊNCIA DE CALOR
?)( xT
DETERMINAR TEMPERATURA APENAS EM ALGUNS PONTOS DO DOMÍNIO
DISCRETIZAR O PROBLEMA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL  EQUAÇÃO ALGÉBRICA
DIFERENTES MÉTODOS NUMÉRICOS
 DIFERENÇAS FINITAS
 ELEMENTOS FINITOS
 VOLUMES FINITOS
 ELEMENTOS DE CONTORNO
 ELEMENTOS ESPECTRAIS
 OUTROS ...
ESCOLHA DE SOFTWARE
 Softwares comerciais para diferentes aplicações
Análise estrutural: ANSYS, ADINA, ...
Escoamento de Fluidos: FLUENT, FIDAP, FLOW3D, ...
Fenômenos de Transferência: FLUENT, ...
 Softwares comerciais ou desenvolvidos
Versatilidade X desempenho
Desenvolvidos: Novos modelos
Comerciais: Mais “userfriendly”, interface gráfica
 Treinamento
Fundamentos físicos
Uso do software
EMENTA
 Cálculo de raiz de equação 
 Interpolação e ajuste de curva
 Integração numérica
 Solução de sistema de equações algébricas
 Solução de sistema não-linear
 Descrição matemática de fenômenos físicos
 Equação diferencial ordinária - Problema de Valor de Contorno Problema de Valor Inicial
 Equação diferencial parcial
Método de diferenças finitas, elementos finitos e volumes finitos
 Otimização
INTRODUÇÃO ao MATLAB
 Software e linguagem e ambiente de programação para cálculos matemáticos
MATLAB = Matrix Laboratory
 Possui diversas rotinas de cálculo matemático já programadas e testadas
 Possibilidade de criar programas e novas rotinas de acordo coma necessidade do usuário
 Instalação:
http://www.mec.puc-rio.br/downloads/MATLAB_Roteiro_Download_Instalacao_Aluno.pdf
JANELA DE COMANDO - COMMAND WINDOW
 Janela principal. Modo como o usuário se comunica com o progama MATLAB
 Os comandos e chamadas de programa são dados no prompt da janela
JANELA DE COMANDO - COMMAND WINDOW
Janela de comando
Diretorio de trabalho
Janela de variaveis
VARIÁVEL TIPO VETOR - ARRAY
CRIAÇÃO DE GRÁFICOS
JANELA DE PROGRAMAÇÃO / EDIÇÃO
 Criar uma nova janela de programação
 Edição do programa. O arquivo deve ser salvo como *.m
 Para executar o programa, deve-se primeiro trocar o diretório de trabalho
 Digitar o nome do arquivo *.m no prompt
JANELA DE VARIAVEIS
Principais comandos para gerenciamento da sessão
Comando Descriçãocasesen Controla a sensitividade de caracteres maiúsculos e minúsculosclc Limpa a janela de comandoclear Remove as variáveis da memóriawho Lista as variáveis correntes na memóriaquit Para a execução do MATLAB
Principais comandos do sistema e de controle de arquivos
Comando Descriçãocd diretorio Muda o diretório corrente para diretoriopwd Imprime o diretório correntedate Imprime a datadelete filename Remove o arquivo filenamedir Lista os arquivos presente no diretório correnteload Carrega todas as variáveis do arquivo matlab.matload filename Carrega todas as variáveis do arquivo filename.matsave Grava as variáveis da sessão no arquivo matlab.matsave filename Grava as variáveis da sessão no arquivo filename.mat
ESTRUTURAS DE PROGRAMAÇÃO
For
While
if / else
SCRIPT X FUNCTION
Script: Não trabalha com argumentos. Variáveis globais.
Programa principal
Function: Trabalha com argumentos. Variáveis locais.
Programa principal
Exercícios
1) Escreva um programa em MatLab para efetuar a multiplicação entre duas matrizes. O programa deve primeiro ler o número de linhas e colunas de cada matriz e o valor de cada entrada das matrizes. Antes de efetuar a operação, o programa deve verificar se a mesma é possível, i.e. se o número de colunas de uma matriz é igual ao número de linhas da outra.
02  cbxax2) Escreva um programa que calcule as raízes reais de um polinômio do 2o grau . O programa deve seguir os seguintes passos: (i) ler os coeficientes do polinômio; (ii) Calcular as raízes, tomando o cuidado para evitar divisão por zero e raízes complexas; (iii) Mostrar as soluções obtidas; (iv) Perguntar ao usuário se ele quer voltar ao passo (i).
AJUSTE DECURVAS E INTERPOLAÇÃO
Conhecendo-se os valores de uma função em pontos discretos de um intervalo,deseja-se determinar uma curva que “represente” esta função neste intervalo.
 
f1*(x)
xAPLICAÇÕES
 f2*(x)
Ajuste de dados experimentais - Estes carregam incertezas.
Ajuste dos dados de acordo com um modelo – Esta abordagem permite a obtenção de parâmetros que possuam interpretação física. Ex. f1(x): .
Necessidade de integração da função em questão.
Desejo de se conhecer o valor da função em pontos específicos não dados.
Aproximar uma função por outra menos complexa, de fácil aplicação.
x
OBJETIVO
TIPOS DE PROCESSOS
Tem-se um conjunto de pontos e deseja-se obter uma curva que passe suavemente através de todos os pontos. A equação da curva interpoladora deve possuir omesmo número de parâmetros que o número de pontos dados. 
Tem-se um conjunto de pontos e deseja-se uma curva que passe “próxima” destes pontos. A equação da curva ajustada deve possuir um número de parâmetros menor que o número de pontos dados. 
INTERPOLAÇÃO PADRÃO
AJUSTE DE CURVAS 
f*AC(x)
x
Dados n pontos xi, f(xi) no intervalo (a,b) obtém-se f*(x) tal que | f*(xi)-f(xi) |<
 f*IP(x)
x
Dados n pontos xi, f(xi) no intervalo (a,b) obtém-se f*(x) tal que f*(xi)=f(xi) 
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
É o método mais utilizado para ajuste de curvas.
A condição que determina a curva a ser obtida é a minimização da soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função a ser determinada e da função original calculados nos pontos dados. 
E= [f*(xi)-f(xi)]2i=1n
f*(x)
x
 n pontos
f*(xi)-f(xi)
QUANTIDADE MINIMIZADA
EXEMPLO SIMPLES
x 1 3 4 6 7
f(x) -2,1 -0,9 -0,6 0,6 0,9
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8
Dada a tabela de pontos ao lado, determinar a reta que se ajusta a estes pontos utilizando o método de mínimos quadrados
SOLUÇÃO
Plotando-se os pontos dados, obtem-se o gráfico discreto ao lado. 
A função escolhida para representar estes pontos é do primeiro grau, portanto
A aplicação do método, neste caso, resultará na determinação dos valores dos coeficientes angular e linear da reta que se ajusta a estes pontos, segundo o critério da minimização da soma dos quadrados dos desvios.
  kmxxf *
Pode-se perceber que a grandeza a ser minimizada, com o procedimento adotado, é escrita como uma função dos coeficientes. 
   020 5
1


 
 

i
i
ii xxfkmxm
E
       


5
1
2
1
2*
i
ii
n
i
ii xfkmxxfxfE
CÁLCULO DA SOMA DO QUADRADO DOS DESVIOS
A escolha dos coeficientes que minimizam E deve, portanto, ser tal que: 
 kmEE ,
   020 5
1


 
 
i
ii xfkmxk
E
m e k são raizes do sistema de equações.
i xi f(xi) xi2 xi*f(xi)1 1 -2.1 1 -2.12 3 -0.9 9 -2.73 4 -0.6 16 -2.44 6 0.6 36 3.65 7 0.9 49 6.3sum 21 -2.1 111 2.7
57.6 -290 0.505 -2.54114
  05151251   iiiiiii xfxxkxm

  015 51
5
5
1
5
1   iiiii xfxm
 
  

























 5
1
5
15
1
5
1
5
1
2
5
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
xf
xfx
k
m
x
xx

















 1.27.211121 215215111 11.27.2521 21111 2kmkm





 542.2505.0km
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8
Erro Abs. Erro Rel. Erro Quad.
CÁLCULO DO ERRO
Erro absoluto
)()( * iiA xfxfE 
Erro relativo
)( )()(
*
i
ii
R xf
xfxfE 
Erro quadrático
 2* )()( iiQ xfxfE 
CASO MAIS GERAL
)()()()()( 22111* xcxcxcxcxf mm
m
j
jj   


Para um caso mais geral, onde a função de ajuste é formada por uma combinação linear de funções linearmente independentes, tem-se:
    


n
i
ii xfxfE 1
2*
Exemplos:

000
2* )()1(





c
E
b
E
a
E
cbxaxxf
  
00
* cos)()2(




B
E
A
E
xBxsenAxf
0 jc
E
Nestes problemas, recai-se em um sistema de m equações (derivando-se E em relação a cada coeficiente) e mincógnitas (os coeficientes)
m equações
m incógnitas
  
00
*** )(lnln)](ln[)()3(




n
E
K
E
n nxKxfznKzgKzzg
    


n
i
ii xfxfE 1
2* 


m
k
kk
m
j
jj xcxcxf 11
* )()()( 
Coeficientes a serem determinados.
j e k são índices mudos.Sistema de equações (m equações):
  0)()()(2,...,1;0 *
1
)(
1
*









  
 
i
j
n
i
i
xf
m
k
ikk
j
xf
c
xfxcmj
c
E
i


  )()()(
1
*
ij
m
k
ikk
j
i
j
xxc
c
xf
c
 




 

Observe que...
  )()(...)()()()( 2332211212 iimmiii
m
k
ikk xxcxcxcxcc
xc
c
 




 

0)()()(0
1 1


 
  
 
ij
n
i
i
m
k
ikk
j
xxfxc
c
E 
 
 
 
 
 





 



n
i
iji
n
i
m
k
ijikk
n
i
iji
m
k
ikkij
j
mjxxfxxc
xxfxcx
c
E
11 1
1 1
,...,2,1;)()()(
0)()()(


 
 

n
i
iji
n
k
m
i
ijikk xxfxxc 11 1
;)()()( 
  mjxxfxxc n
i
iji
n
k
m
i
ijikk ,,2,1;)()()( 11 1     













































n
i
imi
n
i
ii
n
i
ii
m
n
i
im
n
i
imi
n
i
imi
n
i
imi
n
i
i
n
i
ii
n
i
imi
n
i
ii
n
i
i
xxf
xxf
xxf
c
c
c
xxxxx
xxxxx
xxxxx
1
1 2
1 1
2
1
1
2
1 21 1
1 21
221 21
1 11 211
21
)()(
)()(
)()(
)()()()()(
)()()()()(
)()()()()(











Para cada coeficiente existe uma equação correspondente, por exemplo, j=1:
0)()()()()()()(
1 11 11 211 2
2111



 
 

n
i
ii
n
i
imim
n
i
ii
n
i
i xxfxxcxxcxcc
E  
Colocando o sistema de equações na forma matricial tem-se:
  mjxxfxxc n
i
iji
n
k
m
i
ijikk ,,2,1;)()()( 11 1     
EXEMPLOS x 1.1 2.3 3.0 4.3 5.1 6
F(x) 1.1 1.9 3.4 4.8 5.5 6.9Considere os dados:
 
 
  
b
i
i
i
ii
A
i
i
i
i
i
i
xf
xfx
k
m
x
xx


























 6
1
6
16
1
6
1
6
1
2
6
Determine a reta que melhor represente os dados usando o método dos mínimos quadrados.
x F(x) X^2 x F1 1.1 1.1 1.21 1.212 2.3 1.9 5.29 4.373 3 3.4 9 10.24 4.3 4.8 18.49 20.645 5.1 5.5 26.01 28.056 6 6.9 36 41.4
Soma = 21.8 23.6 96 105.87
4205.01983.16.23 87.10568.21 8.2196 





 kem
k
m
  kmxxf *
Determine a parábola que melhor represente os dados usando o método dos mínimos quadrados.
  cbxaxxf  2*
Sistema de equações:
  
  
   020
020
020
6
1
2
6
1
2
26
1
2


 



 



 






i
iii
i
i
iii
i
i
iii
xfcbxax
c
E
xxfcbxax
b
E
xxfcbxax
a
E  
 
  
 
 
 
 
 






6
1
6
1
6
1
6
1
2
6
1
6
1
6
1
6
1
23
6
1
6
1
26
1
26
1
34
10
0
0
i i
i
ii
ii
i i
ii
i
i
i
ii
i i
ii
i
i
i
ii
xfcxbxa
c
E
xxfxcxbxa
b
E
xxfxcxbxa
a
E
 
 
  












































6
1
6
1
6
1
2
6
1
6
1
2
6
1
6
1
26
1
3
6
1
26
1
36
1
4
6
i
i
i
ii
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
xf
xfx
xfx
c
b
a
xx
xxx
xxx
1339.0;9924.0;0288.06.23 87.105
19.522
68.2196 8.219666.468
9666.46885.2424


























cba
c
b
a
x F(x) x^4 x^3 X^2 x^2 F x F1 1.1 1.1 1.46 1.33 1.21 1.33 1.212 2.3 1.9 27.98 12.17 5.29 10.05 4.373 3 3.4 81.00 27.00 9.00 30.60 10.204 4.3 4.8 341.88 79.51 18.49 88.75 20.645 5.1 5.5 676.52 132.65 26.01 143.06 28.056 6 6.9 1296.00 216.00 36.00 248.40 41.40
Soma = 21.8 23.6 2424.85 468.66 96.00 522.19 105.87
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7
Dados
Ajuste Linear
Ajuste Quadratico
x F(x) Ajuste Equad1.1 1.1 0.90 0.0412.3 1.9 2.34 0.1903 3.4 3.17 0.0514.3 4.8 4.73 0.0055.1 5.5 5.69 0.0366 6.9 6.77 0.017
E = 0.340
x F(x) Ajuste Equad1.1 1.1 0.99 0.0122.3 1.9 2.30 0.1613 3.4 3.10 0.0894.3 4.8 4.67 0.0185.1 5.5 5.68 0.0316 6.9 6.86 0.002
E = 0.312
Linear Quadrático
INTERPOLAÇÃO LAGRANGEANA
É um caso particular importante de interpolação, ou seja, de se obter uma curva que passe pelos pontos dados. 
Dados n pontos xi, f(xi) no intervalo (a,b) obtem-se f*(x) tal que f*(xi)=f(xi) 
A função interpoladora é polinomial e de grau mínimo possível (n-1)
O polinômio interpolador de grau n-1 é formado por uma combinação linear de n polinômios (polinômios-base) também de mesmo grau n-1.
Algumas características da Interpolação Lagrangeana são listadas a seguir:
Os coeficientes da combinação linear são os próprios valores da função original nos pontos dados e portanto os polinômios-base possuem valor unitário em um ponto e se anulam nos outros:



n
j
jj xPcxf 1
* )()(
Polinômios de graus n-1o número de polinômios-base é igual ao de pontos
ijijjjj xPyxfc  )()(*
EXEMPLO SIMPLES
Dados os pontos (2,2) e (3,3), determinar a reta que se ajusta a estes pontos utilizando o método da Interpolação Lagrangeana.
SOLUÇÃO
Como são dados dois pontos, (2,2) e (3,3), os n=2 polinômios-base são de grau 
n-1=1. Além disso, P1(x)=1, para o ponto (2,2) e P1(x)=0, para o ponto (3,3). Analogamente, P2(x)=0 para o ponto (2,2) e P2(x)=1, para o ponto (3,3). 
xxxxf  )2(3)3(2)(*
3)(1  xxP 2)(2  xxP
)(3)(2)()( 2121* xPxPxPyxf
n
j
jj  

ijij xP )(
O polinômio interpolador de grau n-1 é formado por uma combinação linear de npolinômios (polinômios-base) também de mesmo grau n-1.
ijij xP )(
jjj yxfc  )(*



n
j
jj xPcxf 1
* )()( Deve-se impor a condição f*(xi)=f(xi)
Prova da ida (a volta é análoga)



n
j
ijjijj xPxfxfxfc 1
** )()()()( 


m
k
ijikjk xx1
)()( 
OBS 3:
Logo, percebe-se que a condição nos coeficientes é também uma condição no tipo de polinômio que forma a base de funções ser satisfeita (de acordo com a OBS 3)
ijij xP )(
)()()()()()()()(1 1*1*122*111*1 xfxPxfxPxfxPxfxfi nn  
0)(0)(1)( 11211  xPxPxP n
)()()()()()()()(2 2*2*222*211*2 xfxPxfxPxfxPxfxfi nn  0)(1)(0)( 22221  xPxPxP n
ijijjjj xPyxfc  )()(*
ijij xP )(Exemplos de funções base polinomias que obedecem a condição:
Linear
Parabólica
P2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
P1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
P3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Cúbica
P1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
P2
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
P3
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
P4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
P1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
P2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
CÁCULO DOS POLINÔMIOS-BASE
Sabe-se que o polinômio base assume o valor unitário em um ponto e é nulo nos demais. Logo, estes demais pontos são raízes do polinômio. Portanto:
)())(())(( )())(())(()( 1121 1121 njjjjjjj njjj xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xP 











 n
jk
k
kj
n
ji
i
i
j
xx
xx
xP
1
1)(



n
j
jj xPyxf 1
* )()(
FUNÇÃO INTERPOLADORA
EXEMPLO
Considere a função f(x)=ex para 0<x<1. Utilize a interpolação Lagrangeana com três pontos x1=0, x2=0.5 e x3=1 para representar esta curva.
SOLUÇÃO


 ))(( ))(()())(( ))(()()( 3212 3123121 321* xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxfxf
))(( ))(()( 2313 213 xxxx
xxxxxf 

     )(
2
)(
25.0
)(
2*
332211
)2()44()132(1)(
xPyxPyxPy
xxexxexxxf 
187660.084168.0)( 2*  xxxf
)()()()()( 3322111* xPyxPyxPyxPyxf
n
j
jj  

Serão 3 polinômios-base do 2o. grau
xexf )(
187660.084168.0)( 2*  xxxf
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
y=exp(x)
y=f*(x)
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Erro Abs.
Erro Rel.
Erro Quad.
RESULTADOS
Erro absoluto
)()( * xfxfEA 
Erro relativo
)( )()(
*
xf
xfxfER

Erro quadrático
 2* )()( xfxfEQ 
O nível da água no Mar do Norte é determinado pelo movimento de maré conhecido como Maré M2, com um período de 12 horas. A variação do nível com o tempo pode ser descrita pela seguinte fórmula:
Exercício
horas em t ,122sin122cos)( 210  tAtAhtH 
t 0 2 4 6 8 10 Horas
H(t) 1.0 1.6 1.4 0.6 0.2 0.8 metros
Determine os parâmetros da curva de variação de H(t), isto é , utilizando os dadosacima e o método dos mínimos quadrados. 210 , AeAh
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
 Frequentemente cálculos integrais são necessários em engenharia
 b
a
dxxfI )(
 Na maioria dos casos, a integral não pode ser calculada analiticamente
x
y
a b
x
I = Área sob o gráfico




4
1
4
1
)(])1([
)3()2()()(
i
i
i
xxfxxiafI
xxafxxafxxafxafI
Primeira idéia
x
y
a b
x
Melhor aproximação
Usar os pontos no meio do intervalo






 


 

 


 

 
4
1 21
4
1
)(2 )())1((
2 )4()3(2 )3()2(
2 )2()(2 )()(
i
i
i
xxfxxiaxiafI
xxaxafxxaxaf
xxaxafxxaafI
4 intervalos
5 pontosRegra do Retângulo
x
y
a b
x
Melhor aproximação
Intepolação linear em cada intervalo
4 intervalos
5 pontosRegra do Trapézio
   
   
 




 


4
1 2
)())1((
)4(21)3()2()()(21
2 )4()3(2 )3()2(
2 )2()(2 )()(
i
xxiafxiafI
xafxafxafxafafxI
xxafxafxxafxaf
xxafxafxxafafI
x
y
x1=a xn+1=b
x
x2
De uma forma geral, a integral é calculada poruma soma ponderada dos valores do integrandoem pontos do intervalo de integração



n
i
ii
b
a
xfwxfI
1
)()(
n : número de intervalos
n+1: número de pontos
wi são chamados de PESO e os pontos 
xi onde a função deve ser avaliada são chamados de ABSCISSA
As diferentes fórmulas de integração numérica são escolhas particulares dos pesos e abscissas Todo fórmula de quadratura deve tender a integral exata quando o número de pontos torna-se muito grande
 Geralmente usa-se abscissas igualmente espaçadas e escolhe-sepesos para obter a melhor aproximação
 O resultado pode ser sistematicamente melhorado dividindo o intervalo ao meio
A precisão do método pode ser avaliada calculando-se a integral com n pontose repetindo-se o processo com 2n pontos. Se os resultados coincidiremdentro de uma certa tolerância, aceita-se o resultado como preciso
 O erro na aproximação é sempre proporcional ao tamanho do intervalo elevado a alguma potência inteira
mm hxerro  m: ordem da aproximação
FÓRMULA DE NEWTON-COTES
 Divide-se o domínio em n intervalos com n+1 pontos
1,,2,1 para,)1(;  njhjax
n
abh j 
 Define-se polinômio de interpolação de grau n pelos pontos (xj, f(xj))



1
1
)()()( n
k
kk xLxfxP
Polinômio interpolador de Lagrange
A integral da função é aproximada pela integral do polinômio interpolador
 
  












1
1
1
1
1
1
)()()(
)()()()(
n
k
kk
n
k
b
a
kk
b
a
n
k
kk
b
a
b
a
wxfdxxLxf
dxxLxfdxxPdxxfI
EXEMPLOS DA FÓRMULA DE NEWTON-COTES 
 n = 1 e n+1 = 2
x
y
a b
P(x)
)( )()( e )( )()( onde
)()()(
12
1221
21
2
1
xx
xxxL
xx
xxxL
xLxfxP
k
kk





a ba b
)(1 xL )(2 xL1
22)( )()(
22)( )()(
12
12
122
12
21
211
abxxdx
xx
xxdxxLw
abxxdx
xx
xxdxxLw
b
a
b
a
b
a
b
a





    b
a
abbfafdxxfI )(2 )()()(
Regra do Trapézio para 1 intervalo
 De uma forma geral o método de Newton-Cotes pode ser escrito como:

  






1
1
1
1
)()(
)()()()(
n
k
k
n
k
n
k
b
a
kk
b
a
b
a
xfCab
dxxLxfdxxPdxxfI

b
a
k
n
k dxxLab
C )()( 1 Cotes-Newton de escoeficient
n C1n C2n C3n C4n C5n1 1/2 1/22 1/6 4/6 1/63 1/8 3/8 3/8 1/84 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
Tabela de coeficientes de Newton-Cotes
 n = 2 e n+1 = 3
  
b
a
abbfbafafdxxfI )()(61)2(64)(61)(
x
y
a b
P(x)
Regra de Simpson para 1 intervalo
A fórmula de Newton-Cotes é raramente aplicada em todo intervalo.
 O intervalo é subdividido em subintervalos iguais ou não e a fórmula éaplicada em cada subintervalo
COMENTÁRIOS
x
y
x1=a xn+1=b
x
x2
 Divide-se o intervalo (a,b) em n subintervalosde largura x e a fórmula é aplicada em cada intervalo
Exemplo: n = 1






 






  
)2(21)(21
)(21)(21)(
xafxafx
xafafxdxxfI
b
a
 


n
i
xxiafxiafI
1 2
)())1(( Regra do Trapézio
Exemplo: n = 2
O número de intervalos deve ser par. 
A fórmula é aplicada a pares de intervalos






 






  
)4(61)3(64)2(612
)2(61)(64)(612)(
xafxafxafx
xafxafafxdxxfI
b
a
     




 
2/
1
2261)12(64)1(261
n
i
xxiafxiafxiafI
Regra de Simpson
0.001
0.01
0.1
1
10
0.1 1 10
y = 0.28889 * x^(1.923) R= 0.99844 
Err
o %
Tamanho do Intevalo ( x)
 2xErro 
n Delta X Exata Trapezio Erro%4 2.5 1.5 3.8 1.538 1.25 1.5 2.21 0.4720 0.5 1.5 1.62 0.0880 0.125 1.5 1.51 0.008
QUADRATURA GAUSSIANA
Máxima precisão para um dado número de funções
 Intervalo não uniforme
 


b
a
n
i
ii xfwdxxf 1
)()(
Pontos de GaussPesos de Gauss
 Os valores das coordenadas dos pontos de Gauss e os correpondentespesos são apresentados em tabelas padronizadas geralmentepara limites de integração de -1 a 1.
 Para utilizar estas tabelas, é necessário fazer uma mudança de variável
 


b
a
n
i
ii gwdgdxxf 1
1
1
)()()( 
 wi1 -0.57735 1.002 +0.57735 1.00
 wi1 -0.77459 0.555552 0.00 0.888883 +0.77459 0.55555
 wi1 -0.86113 0.347852 -0.33998 0.652143 +0.33998 0.652144 +0.86113 0.34785
n = 2 n = 4
n = 3
 Para integrais em duas, três ou mais variáveis:

  
 






n
i
jij
n
j
i
b
a
d
c
gww
ddgdxdyyxf
1 1
1
1
1
1
),(
),(),(


Exercício
Calcule a integral pelo Método do Trapézio:
Determine no número de intervalos necessários para obter uma resposta com precisão de 3 casas decimais 
 10 )5exp(3 dxx
N intervalos Integral
5 0.6448
10 0.6081
20 0.5990
40 0.5967
80 0.5961
	capa
	eng1714_2017
	introducao17
	matlab17
	interpolacao17
	integracao17