Geometria Analítica aula 1

Prévia do material em texto

Geometria Analítica. MATA01
Translação							Aula 17/03/2014
A translação e a rotação de eixos são usadas para simplificar equações de curvas muito complicadas.
Obs.: Método de completar quadros.
Lembre-se: (x + c) ² = x² + 2cx + c²
Ex.¹: x² + 6x = x² +6x +9 -9
6x = 2cx
6 = 2c . x/x
6 = 2c . 1
6 = 2c
c = 6/2
c = 3X² + 6x + 9 = (x + 3)², porque:
(x + 3) . (x + 3)
 x² + 3x + 3x + 3²
 x² + 6x + 9	
Então, x² + 6x + 9 – 9 = (x+3) ² - 9
Ex.²: Simplifique a equação: x² + 2x + y² + 8y = 0.
x² + 2x + y² + 8y = 0.
(x² + 2x + 1 – 1) + (y² + 8y + 16 – 16) – 8 = 0
( x+ 1)² - 1 + (y + 4)² - 16 – 8 = 0
(x + 1)² + (y + 4)² - 25 = 0
(x + 1)² + (y + 4)² = 25
- Circunferência de raio 5 e centro em (-1,-4).- -4
-1
 Movendo-se o centro da circunferência para a origem do sistema de coordenadas, O (0,0), a equação torna-se:
x² + y² = 5².
- Porém, o mesmo efeito pode ser obtido sem movermos a figura, basta mover os eixos ordenados paralelamente eles mesmos no plano coordenado. De sorte que, a origem O coincida com o centro O’ (h, k) da circunferência, e os eixos coordenados tomem as posições paralelas designadas pelos novos eixos Ox’ e Oy’.O
Y
O’
X
X’
Y’
Antigas coordenadas: (x, y).
Novas coordenadas: (x’, y’). 
- A equação da circunferência no novo sistema de coordenadas é dada por (x’) ² + (y’) ² = 5². Aqui (h, k) = (-1, -4).
Definição 1: Uma TRANSLAÇÃO dos eixos coordenados consiste em mover os novos eixos Ox’ e Oy’ paralelamente em relação aos antigos eixos Ox e Ou.
Equações da translação. P
k
h
O
Y
O’
X
X’
Y’
Equações de translação de origem (h, k). 
x = x’ + h 
 y = y’ + k
 Equações inversas da translação.
x’ = x – h
				 y’ = y - k
P é ponto do plano.
xOy é um sistema de coordenadas desse plano.
X’O’y’ é o novo sistema de coordenadas obtido a partir de xOy pela translação de origem (h, k).
Exemplos:
Determinar as novas coordenadas dos pontos A (3, -2), B ( 6, 1) e C (0, 4), depois de uma translação de eixos coordenados de origem O’ (-2, -1).
A (3, -2) = (x, y)Seguindo esse pensamento teremos na situação B: (8, 2) e na situação C: (0, 4).
X’ = 3 – (-2) = 5
y’ = -2 – (-1) = -1
(h, k) = (-2, -1)
(x’, y’) = ?
Por uma translação de eixos coordenados, transforme as equações dadas em outras desprovidas de termos de 1º grau.
2x² + y² +16x – 4y + 32 = 0
Obs.: Note que as coordenadas do novo sistema não foram dadas. Devemos achá-las.
- Das equações de translação, temos que:
x = x’ + h		y = y’ + k
- Solução:
2 (x’ + h) ² + (y’ + k) ² + 16(x’ + h) – 4 (y’ + k) + 32 = 0
2 (x’² + 2x’h + h²) + (y’² + 2y’k + k²) + 16x’ + 16h – 4y’ – 4k + 32 = 0
2x’² + 4x’h + 2h² + y’² + 2y’k + k² + 16x’ + 16h – 4y’ – 4k + 32 = 0
Reagrupando os termos...
2x’² + 4x’h + 16x’ + y’² + 2y’k – 4y’ + 2h² + k² + 16h – 4k + 32 = 0
2x’² + x’(4h + 16) + y’² + y’(2k – 4) + 2h² + k² + 16h – 4k +32 = 0
Eliminando os termos do 1º grau. Dizemos que:
	4h + 16 = 0 h = -4
 	2k – 4 = 0 	k = 2 , logo a nova origem está em (- 4, 2).
Substituindo os valores temos:
2x’² + x’(4h + 16) + y’² + y’(2k – 4) + 2h² + k² + 16h – 4k +32 = 0
2 x’² + x’ (0) + y’² + y’ (0) + 2(-4)² + 2² + 16 (-4) – 4(2) + 32 = 0
2 x’² + y’² + 32 + 4 – 64 – 8 + 32 = 0
2 x’² + y’² - 4 = 0	ou	2x’² + y’² = 4
xy – x + 2y – 10 = 0 (Atividade de casa).
Equação de 2º grau: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
Obs.: É possível efetuar translação pelo método de completar quadrados em equações do 2º grau desprovidas do termo em xy. 
Simplifique as equações abaixo por meio de uma translação, usando o método de completar quadrados.
2x² + y² + 16x – 4y + 32 = 0
2 (x² + 8x) + (y² - 4y) + 32 = 0
2 (x² + 8x + 16 – 16) + (y² - 4y + 4 – 4) + 32 = 0
2 (x + 4) ² - 32 + (y – 2) ² - 4 + 32= 0
2 (x + 4)² + (y – 2)² - 4 = 0	ou	2 (x + 4)² + (y – 2)² = 4
Usando a equação de translação. Perceba que é a mesma equação do exemplo anterior, então já sabemos o h e o k. então:
	x’ = x – h		x’ = x + 4 		h = - 4
	y’ = y – k		y’ = y – 2 		k = 2
Equações em x’O’y’ = 2x’² + y’² = 4.