GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 3

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19/11/2023, 17:52 Estácio: Alunos
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Exercício
 avalie sua aprendizagem
Durante uma aula, o professor destaca que as matrizes podem receber diferentes denominações com base em seu
tamanho e/ou valores dos elementos. Ele menciona alguns exemplos comuns, como matriz (ou vetor) linha, matriz
(ou vetor) coluna e matriz quadrada. Considerando as denominações das matrizes com base em seu tamanho e/ou
valores dos elementos, qual das seguintes alternativas corretamente descreve uma matriz quadrada?
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Lupa  
 
DGT0228_202009187404_TEMAS
Aluno: KENNEDY KEVYN TOSTES MIRANDA Matr.: 202009187404
Disc.: GEOMETRIA ANALÍTIC  2023.3 EAD (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O
mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
MATRIZES E DETERMINANTES
 
1.
Uma matriz quadrada é aquela que possui apenas um elemento.
Uma matriz quadrada é aquela em que o número de linhas é sempre maior que o número de colunas.
Uma matriz quadrada é aquela que possui mais colunas do que linhas.
Uma matriz quadrada é aquela em que o número de linhas é igual ao número de colunas.
Uma matriz quadrada é aquela em que todos os seus elementos possuem o mesmo valor.
Data Resp.: 19/11/2023 17:51:16
Explicação:
Uma matriz quadrada é de�nida como uma matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Isso
signi�ca que ela possui a mesma quantidade de linhas e colunas. Por exemplo, uma matriz 3x3, onde possui 3
linhas e 3 colunas, é uma matriz quadrada. As matrizes quadradas são importantes em muitos aspectos da
álgebra linear e têm propriedades distintas.
VETORES E ESPAÇOS VETORIAIS
 
2.
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:aumenta();
19/11/2023, 17:52 Estácio: Alunos
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No contexto da física mecânica, considere o estudo do movimento de um objeto lançado em um plano inclinado.
Nesse cenário, é adotado um sistema de coordenadas tridimensional com três eixos: x, y e z. Cada eixo representa
uma direção especí�ca do movimento do objeto. Com base nessa contextualização, assinale a alternativa correta:
Considere o contexto da engenharia de transportes, onde são realizados estudos de tráfego em uma interseção de
vias urbanas. Para analisar o �uxo de veículos nessa interseção, é adotado um sistema de referência baseado em
três eixos ortogonais: x, y e z. Cada eixo representa uma dimensão especí�ca do tráfego, como velocidade,
densidade de veículos e nível de congestionamento. Nesse contexto, assinale a alternativa correta:
Quando a reta e o plano não são paralelos nem perpendiculares, a distância entre eles é medida ao longo de uma
linha perpendicular ao plano e que passa pelo ponto da reta mais próximo do plano. Considerando a reta r = {t(-1, 1,
2)|t ∈ R} e o plano α: x + y + z = 1, determine r ∩ α.
A projeção do vetor nas três direções do sistema de coordenadas é essencial para determinar a trajetória e a
velocidade do objeto durante o movimento.
A representação de um vetor no estudo do movimento de um objeto lançado em um plano inclinado não
requer o conhecimento de sua projeção nas três direções do sistema de coordenadas.
A projeção do vetor nas três direções do sistema de coordenadas é irrelevante no estudo do movimento de
um objeto lançado em um plano inclinado.
A representação de um vetor no estudo do movimento do objeto lançado é realizada apenas através de sua
magnitude, sem considerar sua projeção nas direções do sistema de coordenadas.
O sistema de coordenadas utilizado no estudo do movimento do objeto lançado possui apenas dois eixos, não
sendo necessária a projeção nas três direções.
Data Resp.: 19/11/2023 17:51:20
Explicação:
No contexto do estudo do movimento de um objeto lançado em um plano inclinado, o sistema de coordenadas
tridimensional é utilizado para descrever a trajetória e a velocidade do objeto. Nesse contexto, conhecer a
projeção do vetor nas três direções representadas pelos eixos é essencial para determinar a trajetória e a
velocidade do objeto durante o movimento. A projeção nos eixos x, y e z permite analisar as componentes do
vetor de posição, velocidade e aceleração do objeto em cada direção.
 
3.
A direção do eixo y é denominada de cota, representando a elevação em relação ao plano horizontal.
Os eixos ortogonais são utilizados apenas para representar coordenadas geográ�cas, não sendo relevantes
para a análise de tráfego.
A origem do sistema de referência é de�nida no cruzamento das vias, ponto 0, onde ocorre o
congestionamento máximo.
O sistema de referência adotado na engenharia de transportes utiliza apenas dois eixos ortogonais, não sendo
necessário o eixo z de cota.
Na interseção de vias, os eixos ortogonais são utilizados para representar as diferentes dimensões do tráfego,
como velocidade, �uxo de veículos e variação temporal.
Data Resp.: 19/11/2023 17:51:24
Explicação:
No enunciado, é apresentado um contexto relacionado à engenharia de transportes, onde um sistema de
referência baseado em três eixos ortogonais é utilizado para analisar o �uxo de veículos em uma interseção de
vias urbanas. Nesse contexto, os eixos representam diferentes dimensões do tráfego, como velocidade, �uxo de
veículos e variação temporal.
RETAS E PLANOS
 
4.
.r ∩ α = { , , 1}1
2
1
2
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O ângulo entre duas ruas que se cruzam pode afetar a visibilidade dos motoristas, a capacidade de manobra e até
mesmo a estética urbana. Considere as retas e como as equaçöes de
reta de duas ruas que se cruzam. O ângulo formado entre as duas ruas é de:
.
.
.
.
Data Resp.: 19/11/2023 17:51:27
Explicação:
Igualando as equaçōes para determinar a interseçăo entre a reta e o plano:
Onde: .
Substituindo:
Voltando
Logo,
 
5.
90º.
120º.
60º.
45º.
30º.
Data Resp.: 19/11/2023 17:51:41
Explicação:
Sabemos que:
Do enunciado, tiramos:
r ∩ α = {− , − , −1}1
2
1
2
r ∩ α = {− , , −1}1
2
1
2
r ∩ α = {− , , 1}1
2
1
2
r ∩ α = { , , −1}1
2
1
2
x = −t, y = t, z = 2t
(−t, t, 2t)
−t + t + 2t = 1
t = 1/2
(−t, t, 2t)
(− , , 1)1
2
1
2
r ∩ α = {− , , 1}1
2
1
2
r1 :
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = 3 + t
y = t
z = −1 − 2t
r1 : = y − 3 = 2
x+2
−2
cos θ =
∣
∣
→
r1 +
→
r2 ∣∣
∣
∣
→
r1 ∣∣
∣
∣
→
r2 ∣∣
→
r1 = (1, 1, −2)
→
r2 = (−2, 1, 1)
19/11/2023, 17:52 Estácio: Alunos
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Uma empresa de produção de alimentos está analisando seu estoque de ingredientes para garantir a e�ciência na
produção. Para isso, eles precisam resolver um sistema de equações lineares para determinar a quantidade
necessária de cada ingrediente em diferentes receitas. Sobre a de�nição e classi�cação do sistema de equações
lineares, assinale a alternativa correta:
Determine o foco da parábola de equação x2 + kx + 4y + 13 = 0 , k real, que passa no ponto (3 ,  - 7)
Calculando o produto escalar:
Calculando os módulos:
Voltando, temos:
 anngulo cujo cosseno é 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
 
6.
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde todas as incógnitas são constantes e
representam pontos no plano cartesiano.
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde as incógnitas são elevadas a potências
maiores que 1 e representam parábolas no plano cartesiano.
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde as incógnitas são lineares, ou seja,
elevadas a expoentes iguais a 1 e representam retas no plano cartesiano.
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde todas as incógnitas têm expoentes iguaisa
1 e representam retas no plano cartesiano.
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde as incógnitas são elevadas a diferentes
potências e representam curvas no plano cartesiano.
Data Resp.: 19/11/2023 17:52:11
Explicação:
No contexto das equações lineares, uma equação linear é aquela em que as incógnitas aparecem apenas com
expoentes iguais a 1. Portanto, um sistema de equações lineares é composto por equações lineares, e as
incógnitas representam retas no plano cartesiano. As outras alternativas mencionam equações com potências
diferentes de 1, o que não corresponde à de�nição de um sistema de equações lineares.
SEÇÕES CÔNICAS
 
7.
→
r1 ⋅
→
τ2 = (1, 1, −2) ⋅ (−2, 1, 1) = 1 × (−2) + 1 × 1 + (−2) × 1 = −3
∣
∣
→
r1 ∣∣ = √1
2 + 12 + (−2)2 = √6
∣
∣
→
r2
∣
∣ = √(−2)
2 + 12 + 12 = √6
cos θ = = = =
∣
∣
→
r1 ⋅
→
r2 ∣∣
∣
∣
→
r1 ∣∣
∣
∣
→
r2 ∣∣
| − 3|
√6 × √6
3
6
1
2
O  é 60∘1
2
logo, θ = 60∘
19/11/2023, 17:52 Estácio: Alunos
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Determine o lugar geométrico e a excentricidade da cônica representada pela equação 
.
Marque a alternativa que apresenta uma matriz antissimétrica de ordem 3.
(-2, -3)
(0, -3)
(-1, 2)
(-1, -4)
(-1. -2)
Data Resp.: 19/11/2023 17:52:16
Explicação:
A resposta correta é: (-1, -4)
 
8.
Hipérbole vertical com excentricidade 
Hipérbole vertical com excentricidade 
Elipse vertical com excentricidade 
Hipérbole horizontal com excentricidade 
Hipérbole horizontal com excentricidade 
Data Resp.: 19/11/2023 17:52:20
Explicação:
A resposta correta é: Hipérbole vertical com excentricidade 
MATRIZES E DETERMINANTES
 
9.
Data Resp.: 19/11/2023 17:52:24
Explicação:
− = 1
(y−3)2
9
(x+2)2
16
5
3
5
4
3
5
5
3
5
4
5
3
∣
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∣
3 1 0
1 3 2
0 2 3
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0 −1 −4
1 0 2
4 −2 0
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∣
∣
∣
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∣
3 −3 3
3 −3 3
∣
∣
∣
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∣
3 −3 3
−3 3 −3
∣
∣
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3 −1 4
0 3 2
0 0 3
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19/11/2023, 17:52 Estácio: Alunos
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(AGIRH/2022 - Adaptado) A representação grá�ca de um sistema de 1º grau, cujo resultado é possível e
indeterminado é dado por:
Ao realizar a transposta e a inversa de  vemos que ambas são iguais.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
 
10.
Duas retas ortogonais em R3.
Duas retas paralelas.
Duas retas perpendiculares ortogonais.
Duas retas concorrentes.
Duas retas sobrepostas.
Data Resp.: 19/11/2023 17:52:27
Explicação:
A resposta correta é: Duas retas sobrepostas
A representação grá�ca de um sistema de equações lineares de 1º grau com uma incógnita é dada por uma reta
no plano cartesiano. Se o sistema tem uma única solução, a reta passa por um único ponto, que é a solução do
sistema. Se o sistema não tem solução, as retas são paralelas e não se cruzam. Se o sistema tem in�nitas
soluções, as retas são coincidentes e se cruzam em todo o seu comprimento.
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Exercício inciado em 19/11/2023 17:51:06.
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0 −1 −4
1 0 2
4 −2 0
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