Aula_2_funcoes2014

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Funções (continuação) 
 
Profa. Luciana Rizzo 
 
CÁLCULO I 
Simetria: funções pares e ímpares 
 Funções pares: satisfazem a expressão 
f(-x) = f(x) 
para todo x em seu domínio. Gráficos simétricos em relação ao eixo y. 
 
 
 
 
 
x 
y 
-x1 x1 
y1 
x2 -x2 
y2 
Simetria: funções pares e ímpares 
 Funções ímpares: satisfazem a expressão 
f(-x) = - f(x) 
para todo x em seu domínio. Gráficos simétricos em à origem. 
 
Funções definidas por partes 
 São funções que são definidas por diversas fórmulas, dependendo 
da região do domínio 
 
 Exemplo: 








0,2
01,1
)(
xsex
xsex
xf
y 
x 0 -1 
1 
2 
-2 
Funções modulares 
 São funções que envolvem o cálculo do valor absoluto (módulo) de 
uma certa expressão 
 Definição: 
 
 






0
0
)(
xsex
xsex
xxf
y 
x 0 -1 
1 
1 
Exercício 1: 
Determine se f é par, ímpar, ou nenhum dos dois: 
a) f(x) = x3 - x 
 
 
b) f(x) = x4 + 1 
 
 
c) f(x) = x2 – 5x + 6 
Exercício 2: 
Encontre o domínio e esboce o gráfico das funções: 
a) 
 
 
 
 
b) 








1,
1,2
)(
2 xsex
xsex
xf
12)(  xxf
Funções potência 
 São funções da forma f(x) = xa, onde a é uma constante. 
 Caso I: a = n, onde n é um inteiro positivo 
 f(x) = x 
 
 f(x) = x2 
 
 f(x) = x3 
 
 f(x) = x4 
 
 f(x) = x5 
 
Funções potência (continuação) 
 Caso II: a = 1/n, onde n é um inteiro positivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
xxxf  21)(
331)( xxxf 
Funções potência (continuação) 
 Caso III: Função recíproca (a = -1) 
 f(x) = x-1 = 1/x 
 O gráfico é uma hipérbole! 
 Exemplo de aplicação: Lei de Boyle 
 
 
 
 V = (nRT)/P 
V 
P 
Funções exponenciais 
 f(x) = ax, onde a é uma constante positiva (a>0) 
• Caso I: a > 1 
• Caso II: a = 1 
 
 
 
 
 
 Df = (-∞, +∞) 
 If = ]0, +∞) 
 
Funções exponenciais 
 f(x) = ax, onde a é uma constante positiva (a>0) 
• Caso I: a > 1 
• CasoII: a = 1 
• Caso III: 
 0 < a < 1 
 
 
 
 
 Df = (-∞, +∞) 
 If = ]0, +∞) 
 
O número e 
• Base conveniente para o cálculo diferencial e integral 
 
 
 
 
 
 
• Utilizando a base e ≈ 2,71828 a inclinação da reta tangente no 
ponto (0;1) é 1,0. 
Propriedades das funções exponenciais 
 
  xxx
xyyx
yx
y
x
yxyx
baab
aa
a
a
a
aaa





.
Funções logarítmicas 
 y = f(x) = logax → a
y=x 
 Condições de existência: 
 a > 0 e a ≠ 1 
 
 Quando a = e: 
 loge(x) = ln(x) 
 (logaritmo natural) 
 
 Df = ]0, +∞) 
 If = (-∞, +∞) 
Propriedades das funções logarítmicas 
 
 
a
x
x
xa
xrx
yx
y
x
yxxy
b
b
a
x
a
r
a
aaa
aaa
a
log
log
log
loglog
logloglog
logloglog
log










Sendo a>0 e a ≠1, b>0 e b ≠1, x>0, y>0: 
Funções trigonométricas 
 São definidas como razões entre os lados de um triângulo retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 Importante: vamos utilizar ângulos em radianos! 
y
x
x
y
x
r
r
x
y
r
r
y



)(cotg)(tg
)sec()cos(
)(cosec)(sen



1 rad = π/180 Radiano: medida do comprimento do arco em um círculo trigonométrico 
de raio igual a 1 
Funções trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Funções periódicas: 
 
π 
π -2π π π 
= 
π π π π 
π 
= 
π -2π 
  
)cos()2cos(
)()2(
xx
xsenxsen




Algumas identidades trigonométricas 





22
22
22
22
sencos2cos
cos.sen22sen
seccoscotg1
sectg1
1cossen





Animação 
http://demonstrations.wolfram.com/SineCosineTangentAndTheUnitCircle/ 
Exercício 3: Identifique as funções 
(Stewart, pag. 36, capítulo 1.2, ex. 3) 
 a) y = x2 
 
 b) y = x5 
 
 c) y = x8 
Exercício 4: Identifique as funções 
 (Stewart, pag. 36, capítulo 1.2, ex. 4) 
 a) y = 3x 
 
 b) y = 3x 
 
 c) y = x3 
 
 
 d) y = x1/3 
 
Transformação de funções 
 I) Deslocamentos horizontais e verticais (translação) 
 Exemplo: f(x) = x2 ; c = 1 
 
 f(x) + c = x2 +1 
 
 f(x) - c = x2 -1 
 
 
 y = f(x) + c gráfico de f(x) deslocado c unidades para cima 
 y = f(x) - c gráfico de f(x) deslocado c unidades para baixo 
 
Transformação de funções (continuação) 
 I) Deslocamentos horizontais e verticais (translação) 
 Exemplo: f(x) = x2 ; c = 1 
 
 f(x+c) = (x+1)2 
 
 f(x-c) = (x - 1)2 
 
 
 y = f(x+c) gráfico de f(x) deslocado c unidades para a esquerda 
 y = f(x – c) gráfico de f(x) deslocado c unidades para a direita 
 
Transformação de funções (continuação) 
II) “Esticamentos” horizontais e verticais 
 
Exemplo: f(x) = cos(x) ; c = 2 
c.f(x) = 2cos(x) 
f (x)/c = (cos(x))/2 
y = c.f(x) gráfico de f(x) 
esticado na vertical por 
um fator c 
y = f(x)/c gráfico de f(x) 
comprimido na vertical 
por um fator c 
Transformação de funções (continuação) 
II) “Esticamentos” horizontais e verticais 
Exemplo: f(x) = cos(x) ; c = 2 
f(c.x) = cos(2x) 
f (x/c) = cos(x/2) 
y = f(c.x) gráfico de f(x) 
comprimido na horizontal 
por um fator c 
y = f(x/c) gráfico de f(x) 
esticado na horizontal por 
um fator c 
Transformação de funções (continuação) 
 III) Reflexões 
 Exemplo: f(x) = x2 – 1 
 
 y = -f(x) = - x2 + 1 
 
 
 
 y = - f(x) gráfico de f(x) refletido em relação ao eixo x 
Transformação de funções (continuação) 
III) Reflexões 
Exemplo: f(x) = 2x 
f (-x) = 2-x 
 
f(x) = 2-x 
 
f(x) = 2x 
y = f(-x) gráfico de f(x) refletido em relação ao eixo y 
Exercício 5 
 Esboce o gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 5, utilizando 
transformações de funções 
Exercício 6 
 Partindo do gráfico de sen(x), esboce o gráfico das seguintes 
funções: 
a) y = 2. sen(x) 
b) y = sen(x/2) 
c) y = 2 + sen(-x) 
Moodle: 
http://ead.unifesp.br/graduacao/course/view.php?id=2056 
Código de inscrição: “Diadema” 
 
Web site provisório: 
https://sites.google.com/site/calculo1unifesp/ 
 
Grupo no Facebok: 
https://www.facebook.com/groups/1403269246607035/ 
 Curiosidade: f(x) = (-2)x