aula-5

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IFBA
Processos Estoca´sticos
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2014
Aula 5
0.1 Me´dia e Variaˆncia
A me´di (ou valor esperado) de uma v.a. X, denotada por µX ou E(X), e´ definida por
µX = E(X) =

∑
k xkpX(xk), X discreto∫∞
−∞ xfX(x)dx, X continuo
O n− e´simo momento de uma v.a. X e´ definido por
E(Xn) =

∑
k x
n
kpX(xk), X discreto∫∞
−∞ x
nfX(x)dx, X continuo
A variaˆncia, denotada por σX
2 ou V ar(X), e´ definida por
σX
2 = V ar(X) = E((X − E(X))2).
Portanto,
σX
2 =

∑
k(xk − µx)2pX(xk), X discreto∫∞
−∞(x− µX)2fX(x)dx, X continuo
e´ poss´ıvel mostra que
V ar(X) = E(X2)− (E(X))2.
Exemplo 1. Considere a v.a. discreta X cuja fmp e´ dada por:
pX(x) =
 13 , x = −1, 0, 10, do contrario
Calcule a me´dia e a variaˆncia de X.
Soluc¸a˜o:
µx = E(X) =
∑3
i=1 xipX(xi) = −1. 13 + 0. 13 + 1. 13 = 0
σX
2 = V ar(X) = E((x− µx)2) = E(X2) =
∑3
i=1 x
2
i pX(xi) = (−1)2. 13 + 02. 13 + 12. 13 = 23 .
Exemplo 2. Seja X uma v.a. cont´ınua com fdp. Exiba a me´dia e a variaˆncia de X.
fX(x) =
 2x, 0 < x < 10, do contrario
Soluc¸a˜o:
µX = E(X) =
∫∞
−∞ xfX(x)dx =
∫ 1
0
x.2xdx = 2x
3
3 |10= 23
E(X2) =
∫∞
−∞ x
nfX(x)dx =
∫ 1
0
x2.2xdx = 2.x
4
4 |10= 12
σX
2 = V ar(X) = E(X2)− (E(X))2 = 12 −
(
2
3
)2
= 118 .
0.2 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1. • Considere a v.a. X denotando o resultado do lanc¸amento de um dado honesto. Encontre a me´dia e
a variaˆncia de X.
Respostas: E(X) = 3, 5, V ar(X) = 3512 .
1
Exerc´ıcio 2. •• Considere uma v.a. X cuja fmp e´ dada por:
pX(x) =

1
4 , x = 0
3
4 , x = 2
0, do contrario
Calcule a me´dia e a variaˆncia de X.
Resposta: E(X) = 32 , V ar(X) =
3
4 .
Exerc´ıcio 3. •• Uma v.a. X tem fmp
pX(x) =
 cx , x = 2, 4, 80, do contrario
a) Qual o valor da constante c?
b) Calcule P (X = 4).
c) Calcule P (X < 4).
d) Calcule P (3 ≤ X ≤ 9).
Resposta: a) 87 , b)
2
7 , c)
4
7 , d)
3
7
Exerc´ıcio 4. •• A v.a. cont´ınua X tem fdp
fX(x) =
 14 , −1 ≤ x ≤ 30, do contrario
Defina a v.a. Y como sendo Y = h(X) = X2.
a) Calcule E(X) e V ar(X).
b) Calcule h(E(X)) e E(h(X)).
c) Calcule E(Y ) e V ar(Y ).
Respostas: a) E(X) = 1, V ar(X) = 43 , b) h(E(X)) = 1, E(h(X)) =
7
3 , c) E(Y ) =
7
3 , V ar(Y ) =
49
9
Exerc´ıcio 5. •• A v.a. cont´ınua X tem fcd
FX(x) =

0, x < 0
x
2 , 0 ≤ x ≤ 2
1, x > 2
a) Calcule E(X).
b) Calcule V ar(X).
Respostas: a) E(X) = 1, b) V ar(X) = 53
Exerc´ıcio 6. •• A fdp de uma v.a. e´ dada por
fX(x) =
 x2 , 0 ≤ x < 20, do contrario
a) Calcule E(X).
b) Calcule V ar(X).
Respostas: a) E(X) = 43 , b) V ar(X) =
2
9
2