aula-6

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IFBA
Processos Estoca´sticos
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2014
Aula 6
0.1 Distribuic¸a˜o de Bernoulli
Uma v.a. X e´ chamada v.a. Bernoulli com paraˆmetro p se sua func¸a˜o massa de probabilidade e´ dada por
pX(k) = P (X = k) = p
k(1− p)1−k, k = 0, 1
onde 0 ≤ p ≤ 1. A func¸a˜o fcd FX(x) da v.a. Bernoulli X e´ dada por
FX(x) =

0, x < 0
1− p, 0 ≤ x < 1
1, x ≥ 1
A me´dia e a variaˆncia de uma v.a. Bernoulli X sa˜o dadas por
µX = E(X) =
∑
XkpX(xk) = p
σX
2 = V ar(X) = p(1− p) = pq
Exemplo 1. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X a v.a. representando
o nu´mero de bolas verdes. Calcular E(X) e V ar(X).
Soluc¸a˜o:
Temos que
X =
 0, −→ q = 3050 = 351, −→ p = 2050 = 25
Assim,
E(X) =
2
5
V ar(X) =
2
5
.
(
1− 2
5
)
=
2
5
.
3
5
=
6
25
0.2 Distribuic¸a˜o Binomial
Uma v.a. X e´ chamada v.a. Binomial com paraˆmetro (n, p) se sua fmp e´ dada por
pX(k) = P (X = k) =
 n
k
 pk(1− p)n−k, k = 0, 1, . . . , n
onde 0 ≤ p ≤ 1 e  n
k
 = n!
k!(n− k)! .
A me´dia e a varaˆncia de uma v.a. Binomial X sa˜o dadas por
µX = E(X) = np
σX
2 = V ar(X) = np(1− p)
1
Exemplo 2. Um dado equilibrado e´ lanc¸ado 3 vezes. Qual e´ a probabilidade de se obter a face 5 duas vezes?
Soluc¸a˜o:
A probabilidade de sucesso por tentativa e´ dada por p = 16 . Assim,
pX(k) = P (X = k) =
 3
k
(1
6
)k (
1− 1
6
)3−k
, k = 0, 1, 2, 3
pX(2) = P (X = 2) =
 3
2
(1
6
)2(
5
6
)3−2
= 3.
1
36
.
5
6
=
15
256
≈ 0, 0694
0.3 Distribuic¸a˜o de Poisson
Uma v.a. X e´ chamada v.a. Poisso com paraˆmetro λ (λ > 0) se sua fmp e´ dada por
pX(k) = P (X = k) =
e−λλk
k!
, k = 0, 1, 2, . . .
A fcd correspondente FX(x) e´ dada por
FX(x) = e
−λ
n∑
k=0
λk
k!
n ≤ x < n+ 1.
A me´dia e a variaˆncia da v.a. de Poisson X sa˜o dadas por
µX = E(X) = λ
σX
2 = V ar(X) = λ
Exemplo 3. O nu´mero de chamadas telefoˆnicas que chegam a uma central durante qualquer per´ıodo de 10 minutos e´
conhecido por ser uma v.a. Poisson X com λ = 2.
a) Encontre a probabilidade de que mais de treˆs chamadas chegarem durante um per´ıodo qualquer de 10 minutos;
b) Encontre a probabilidade de nenhuma chamada chegar em um per´ıodo qualquer de 10 minutos.
Soluc¸a˜o:
a)
pX(k) = P (X = k) =
e−22k
k!
, k = 0, 1, 2, . . .
P (X > 3) = 1− P (X ≤ 3) = 1−
3∑
k=0
e−22k
k!
= 1− e−2
(
20
0!
+
21
1!
+
22
2!
+
23
3!
)
≈ 0, 143
b)
P (X = 0) = pX(0) = e
−2 2
0
0!
= e−2 ≈ 0, 135
0.4 Distribuic¸a˜o Uniforme
Uma v.a. X e´ chamada uniforme sobre um intervalo aberto (a, b) se sua fdp e´ dada por
fX(x) =
 1b−a , a < x < b0, do contrario
Sua fcd e´ dada por
FX(x) =

0, x ≤ a
x−a
x−b , a < x < b
1, x ≥ b
2
A me´dia e a variaˆncia de uma v.a. uniforme, sobre um intervalo aberto (a, b), X sa˜o dadas por
µx = E(X) =
a+ b
2
σX
2 = V ar(X) =
(b− a)2
12
Exemplo 4. Seja a v.a. cont´ınua X denotando o peso (em libras). A faixa de peso de pacotes esta´ distribu´ıda
unifomemente entre 45 e 60 libras.
a) Determine a probabilidade de que um pacote pese mais que 50 libras;
b) Encontre a me´dia e a variaˆnca do peso dos pacotes.
Soluc¸a˜o:
a) A fcd de X e´ dada por
FX(x) =

0, x ≤ 45
x−45
15 , 45 < x < 60
1, x ≥ 60
P (X > 50) = 1− P (X ≤ 50) = 1− FX(50) = 1− 50− 45
15
=
2
3
b)
µX = E(X) =
45 + 60
2
= 52, 5
σX
2 = V ar(X) =
(60− 45)2
12
= 18, 75
0.5 Distribuic¸a˜o Exponencial
Uma v.a. X e´ chamada exponencial com paraˆmetro λ > 0 se sua fdp e´ dada por
fX(x) =
 λe−λx, x > 00, x < 0
A fcd correspondente e´ dada por
FX(x) =
 1− e−λx, x > 00, x < 0
A me´ida e a variaˆncia de uma v.a. exponencial X sa˜o dadas por
µX = E(X) =
1
λ
σX
2 = V ar(X) =
1
λ2
Exemplo 5. Assuma que a durac¸a˜o de uma chamada telefoˆnica (em minutos) e´ uma v.a. exponencial X com paraˆmetro
λ = 110 . Se algue´m chega a uma cabine telefoˆnica pouco antes de voceˆ chegar, encontre a probabilidade de que voceˆ
a) tenha que esperar por menos de 5 minutos;
b) tenha que esperar entre 5 e 10 minutos.
Soluc¸a˜o:
a) A fcd da v.a. X e´ dada por
fX(x) =
 110e−x/10, x > 00, x < 0
P (X < 5) =
∫ 5
0
1
10
e−x/10dx = −e−x/10 |50= 1− e−0,5 ≈ 0.393
3
b)
P (5 < X < 10) =
∫ 5
0
1
10
e−x/10dx = −e−x/10 |105 = e−0,5 − e−1 ≈ 0, 239
0.6 Distribuic¸a˜o Normal(Gaussiana)
Uma v.a. X e´ chamada normal se sua fdp e´ dada por
fX(x) =
1√
2piσ
e−(x−µ)
2/(2σ2)
A fcd correspondente e´ dada por
FX(x) =
1√
2piσ
∫ x
−∞
e−(ξ−µ)
2/(2σ2)dξ =
1√
2pi
∫ (x−µ)/σ
−∞
e−ξ
2/2dξ
Definiremos
Φ(z) =
1√
2pi
∫ z
−∞
e−ξ
2/2dξ
que e´ uma func¸a˜o cujo obsejtivo e´ nos ajudar a calcular FX(x) uma vez que a func¸a˜o Φ(z) e´ tabelada. Neste caso,
FX(x) = Φ
(
x− µ
σ
)
.
Note que Φ(−z) = 1− Φ(z).
A me´dia e a variaˆncia da v.a. normal X sa˜o dadas por
µX = E(X) = µ
σX
2 = V ar(X) = σ2
Para o ca´lculo de Φ(z) podemos consultar a seguinte tabela observando o valor de z juntando, linha e coluna (nesta
ordem) e observando o valor de Φ(z) correspondente.
(1)
4
Exemplo 6. O diaˆmetro interior me´dio de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma ma´quina e´ de 0, 502, e
o desvio padra˜o e´ de 0, 005. As dimenso˜es extremas toleradas para esses diaˆmetros sa˜o 0, 496 e 0, 508. Fora desses
limites, as arruelas sa˜o rejeitadas. Determine a porcentagem de arruelas defeituosas (rejeita´veis) produzidas pela
ma´quina, supondo os diaˆmetros distribu´ıdos normalmente.
Soluc¸a˜o: Temos µX = 0, 502 e σX = 0, 005. A porcentagem de pec¸as na˜o-defeituosas e´ igual a
P (0, 496 < X < 0, 508) = FX(0, 508)− FX(0, 496) = Φ
(
0, 508− 0, 502
0, 005
)
− Φ
(
0, 496− 0, 502
0, 005
)
=
= Φ(1, 2)− Φ(−1, 2) = Φ(1, 2)− (1− Φ(1, 2)) = 2Φ(1, 2)− 1 = 2.0, 8849− 1 = 0, 7698
Logo, a porcentagem de pec¸as defeituosas e´ dada por 1− 0, 7698 = 0, 2302.
0.7 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1. • Uma fonte bina´ria gera d´ıgitos 1 e 0 aleatoriamente com probabilidades 0, 6 e 0, 4, respectivamente.
a) Qual e´ a probabilidade de que dois 1s e treˆs 0s ocorreram em uma sequeˆncia de cinco d´ıgitos?
b) Qual e´ a probabilidade de que pelo menos treˆs 1s ocorram em uma sequeˆncia de cinco d´ıgitos?
Repostas: a) 0, 23, b) 0, 683
Exerc´ıcio 2. • Uma moeda honesta e´ lanc¸ada 10 vezes. Encontrar a probabilidade da ocorreˆncia de cinco ou seis
faces cara.
Resposta: 0, 451
Exerc´ıcio 3. • O nu´mero de chamadas telefoˆnicas que chegam a uma central telefoˆnica, durante qualquer per´ıodo de
10 minutos e´ conhecido por ser uma v.a. Poisson X com λ = 2.
a) Encontre a probabilidade de que mais de treˆs chamadas cheguem em um per´ıodo de 10 minutos.
b) Encontre a probabilidade de que nenhuma chamada chegue durante um per´ıodo de 10 minutos.
Respotas: a) 0, 143, b) 0, 135.
Exerc´ıcio 4. • Considere a experieˆncia de jogar um par de dados na˜o viciados.
a) Encontre a probabilidade de ocorrer em menos de seis lanc¸amentos um resultado 7.
b) Encontre a probabilidade de ocorrer em mais de seis lanc¸amentos um resultado 7.
Respostas: a) 0, 598, b) 0, 335.
Exerc´ıcio 5. • Considere a experieˆncia de rolar um dado justo. Encontrar o nu´mero me´dio de rolagens necessa´rias
para a obtenc¸a˜o de um 6.
Resposta: 6
Exerc´ıcio 6. • Todos os dispositivos fabricados e ma´quinas na˜o podera˜o mais trabalhar, mais cedo ou mais tarde.
Suponha que a taxa de falha seja constante e o tempo de falha (em horas) uma v.a.exponencial X com paraˆmetro λ.
a) As medic¸o˜es mostram que a probabilidade de que o tempo de falha de um chip de memo´ria computadorizado em
uma determinada classe exceder 104 horas se´ igual a e−1 (≈ 0, 368). Calcule o valor do paraˆmetro λ.
b) Utilizando o valor do paraˆmetro determinado no item a), calcule o tempo x0, tal que a probabilidade de que o tempo
de falha seja inferior a x0, seja de 0, 05.
Respostas: a) λ = 10−4, b) 513 horas.
Exerc´ıcio 7. • Uma linha de produc¸a˜o fabrica resistores 1000− ohm (Ω) com 10 por cento de toleraˆncia. Seja X a
v.a. que indica a resisteˆncia de um resistor. Assumindo que X e´ uma v.a. normal com me´dia igual 1000 e variaˆncia
2500, encontrar a probabilidade de que um resistor escolhido aleatoriamente seja rejeitado.
Resposta: 0, 045
5