Aula 06 - TEORIA DA AMOSTRAGEM

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1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
- CESNORS -
Unidade 4 – AMOSTRAGEM
TEORIA DE AMOSTRAGEM
Prof. Magda Zanon
1
� Censo 
� 100% dos indivíduos da população
� Reproduz “fielmente” as características 
(parâmetros)
� Valores reais ou verdadeiros
� Alta demanda de tempo/recursos
2
Teoria da amostragem
�Amostragem
� Porção da população
� Estimativas representativas do todo
�Grupo de unidades amostrais (parcelas) = amostra
� Estimativa correta SE alocada corretamente na população 
objeto
�Menor custo; menor tempo de observação
� “Probabilidade”de ser mais confiável
–Porção da população = mais tempo/recursos p/ 
medições cuidadosas
–Menor custo = aquisição de equipamentos de maior 
precisão
3
Teoria da amostragem
�AMOSTRAGEM
� A teoria de amostragem evoluiu pq:
–Parte da população
– Inferência sobre o todo
–Precisão desejada
–Baixo custo e curto espaço de tempo
–Probabilidade de confiança FIXADA
4
Teoria da amostragem
2
� POPULAÇÃO (N)
“Conjunto de seres da mesma natureza (espaço/tempo)”
� LOETSCH & HALLER (1973):
–Os indivíduos da população com respeito a uma característica 
típica, ou atributo chamado variável
� DAP; vários tipos de alturas; volume; incrementos; 
idade; espécies; qualidade da madeira; etc
� Árvores: indivíduos da população (variáveis observadas)
� As populações podem ser estatisticamente diferentes
� Média estimada; Variância; Desvio padrão; CV%; etc
� Exemplo de população (parâmetro)
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Teoria da amostragem
6
Teoria da amostragem
POPULAÇÃO
( N )
Parâmetros
Organização estrutural de uma população
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 N
� AMOSTRA (N)
� Parte da população
� Representativa, exceto ao acaso da aleatoriedade
� Critérios para seleção das amostras:
–Processo inconsciente
� Sem tendenciosidade
– Indivíduos inconvenientes não são substituídos
� Respeito à aleatoriedade
� Ex: parcelas “alocadas” locais de fácil acesso
� Ex: medição de alturas restrita à arvores visíveis
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Teoria da amostragem
� UNIDADE AMOSTRAL
� Espaço físico de observação
–Medidas quantitativas e qualitativas
� Normalmente:
– Área Fixa (circular; quadrada; retangular)
– Faixas
– Pontos amostrais ou árvores
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Teoria da amostragem
3
9
Teoria da amostragem
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 N
Organização estrutural de uma população, amostra e unidade amostral
AMOSTRA
(n)
Estimativas
UNIDADE 
AMOSTRAL
Características
Quali e Quanti
Tamanho da Amostra
DEPENDE:
�Objetivo
�Recursos Disponíveis
�Precisão Requerida
�Método de seleção
�Distribuição das unidades da amostra
CRITÉRIOS PARA ESTABELECER O TAMANHO DA 
AMOSTRA
• Em função de determinada porcentagem da área
da população a ser amostrada.
• Em razão de um erro de amostragem estabelecido
antecipadamente, segundo determinado nível de
probabilidade.
De acordo com esse critério, a expressão que 
determina o número de unidades de amostras:
• Populações Infinitas: n= t² s²
E²
• Populações Finitas: n = t² S² 
E² + t² S²
N
n = tamanho da amostra;
E = precisão requerida ou erro admissível em torno da média, em termos absolutos;
S² = variância da característica analisada nas unidades da amostra;
t = valor tabelado da estatística “t” de Student, a dado nível de significância (α) e n-1
graus de liberdade;
N = número total de unidades de amostra na população.
4
No caso de a precisão requerida ser estabelecida em termos 
percentuais (E%), as expressões anteriores ficam assim 
redefinidas:
• Populações Infinitas: 
n = t² (CV)²
(E%)²
• Populações Finitas:
n = t² (CV)²
(E%)² + t² (CV)²
N
Intensidade de Amostragem
• (1 – f) ≥ 0,98 : População infinita. 
• (1 – f) < 0,98 : População finita. 
f- fração de amostragem.
• Intensidade de amostragem
• Quantas unidades amostrais utilizar?????
• Razão entre total unidades amostra / total unidades população
• Importante para:
– Cobrir a variabilidade da população
– Erro de amostragem fixado
– Probabilidade de confiança fixada
15
Teoria da amostragem
stE
st
x
x
N
N
n 222
22
∗+∗
∗∗
=
( )22 xLEE ∗=
Onde:
Sx2 = estimativa da variância – variabilidade
n = número de unidades amostradas – tamanho da amostra
T = tabelado – Distribuição de Student
E2 = erro de amostragem admitido (fixado)
LE = limite de erro de amostragem e x = média estimada
�Intensidade de amostragem
� Tempo
� Recursos disponíveis
16
Teoria da amostragem
5
� Erros de amostragem
� Diferença méd est. amostra e méd param. população 
� Tipos de erro (decorrência):
– Erro amostral
� Processo de amostragem
� Parte da população não amostrada (aceitável)
– Erro não-amostral
� Negligência na marcação das unidades
� Medições (operador, instrumentos, registro/processamento)
� Contribuem para o erro total do inventário
17
Teoria da amostragem
xX −=Ε
� Precisão e Acuracidade
� Precisão: considera somente os erros amostrais
– Tamanho dos desvios da amostra em relação a média estimada
� Acuracidade: considera erros amostrais e não-amostrais
– Tamanho dos desvios da estimativa amostral ao parâmetro da população
� Qto - erro A, + Precisão
� Qto - erro A + NA, +Acuracidade
� Ideal: Acuracidade, porém avalia-se a Precisão
� Precisão admissível:
– 10% do valor da média do volume (por unidade de área)
– Desejável: na ordem de 5% deste valor
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Teoria da amostragem
AMOSTRAGEMAMOSTRAGEM PROBALIBILISTICASPROBALIBILISTICAS::
ALEATÓRIAALEATÓRIA SIMPLESSIMPLES
SISTEMÁTICASISTEMÁTICA
ESTRATIFICADAESTRATIFICADA
CONGOMERADOSCONGOMERADOS
6
� Amostragem probabilistica
� Todas as U.A. da população (n) = igual chance de participar da
amostra
� Seleção da U.A. deve ser aleatória e independente
� a área a ser amostrada = população ÚNICA
� Se:
� U.A. de ÁREA FIXA � n= unidades amostradas e N=total de
unidades na população
� Então, o número de combinações possíveis é:
)!(!
!
nNn
NC Nn
−
=
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
Vantagens
- Produz estimativas sem tendências da população
- Permite estimar o erro de amostragem
Desvantagens
- Planejamento da listagem das unidades para posterior seleção
ALEATÓRIA.
- Dificuldade de localizar, no campo, a posição das U.A.
- Tempo improdutivo gasto no deslocamento entre as unidades.
- “Possibilidade” de uma distribuição irregular das U.A.
(estimativa irregular).
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
Métodos de seleção das U.A.
� COM ou SEM reposição
� Quando for selecionada COM reposição:
Mesma unidade ser selecionada novamente = população INFINITA
A maioria das amostras de ÁREA FIXA ou FAIXAS, em inventários florestais, é
selecionada SEM REPOSIÇÃO = população FINITA
� Infinita = despreza-se o fator de correção;;; Finita = considera-se
Notação
N = número total de unidades amostrais da população
n = número de unidades amostradas
f = fração de amostragem
X = variável de interesse
INFINITApopulaçãof ⇒≥− 98,0)1(
FINITApopulaçãof ⇒<− 98,0)1(
PARÂMETROS e ESTIMATIVAS
A A Simples
1 Média aritmética
2 Variância
Determina o grau de dispersão da variável de interesse em relaçãoa sua média
3 Desvio padrão
O desvio padrão é obtido extraindo-se a raiz quadrada da variância
populaçãodamédiadaEstimativa
n
X
xParâmetro
N
X
X
n
i
i
N
i
i
.........................
11
∑∑
==
==
iânciadaEstimativa
n
xX
sParâmetro
N
XX
S
n
i
i
x
N
i
i
x var.............1
)(
............
1
)(
1
2
21
2
2
−
−
=
−
−
=
∑∑
==
padrãodesviodoEstimativa
n
xX
sParâmetro
N
XX
S
n
i
i
x
N
i
i
x .............1
)(
............
1
)(
1
2
1
2
−
−
=
−
−
=
∑∑
==
7
4 Variância da média
Determina a precisão da média estimada
5 Erro padrão
Expressa a precisão da média amostral na forma linear
6 Coeficiente de variação
É uma medida de variabilidade relativa que permite comparar a variância de duas ou
mais populações. Relaciona o desvio padrão com a média.
)1(
2
2 f
n
SS xx −= )1(
2
2 f
n
s
s xx −=
)1( f
n
SS xx −±= )1( f
n
s
s xx −±=
100⋅=
X
SCV x 100⋅=
x
s
cv x
INTENSIDADE DE AMOSTRAGEM
A A Simples
Determinada para populações FINITAS e INFINITAS
Quando a população for INFINITA, o fator de correção ( 1 - f ) pode ser desprezado, mas no
caso de população FINITA, este deve ser mantido na fórmula e a intensidade de
amostragem é considerada como função de população finita.
População FINITA (em função da Variância e do CV)
População INFINITA (em função da Variância e do CV)
StE
St
x
x
N
N
n 222
22
+
=
( )
( ) ( )222
22
%CV%LEN
%CVN
n
t
t
+
=
E
St xn 2
22
=
( )
( )2
22
%LE
%CV
n t=
É necessário o 
AJUSTE na 
intensidade de 
amostragem:
“n” constante
(n1…
n2…
n3…
n4……nn)
8
PORQUE ESTRATIFICAR???? QUAL O OBJETIVO AO ESTRATIFICAR????
a) Porque ao se obter estratos mais homogêneos que a população toda, consegue-
se estimadores mais precisos, já que a medida de variabilidade de cada estrato
será tanto menor quanto melhor for a estratificação da floresta;
b) A estratificação facilita a coleta de dados e o processamento destes por estrato;
c) É conveniente para o planejamento e a condução dos trabalhos de campo.
ASSIM,
O procedimento de subdivisão da floresta chama-se ESTRATIFICAÇÃO e as
unidades físicas resultantes são denominadas ESTRATOS ou SUBPOPULAÇÕES.
BASES PARA A ESTRATIFICAÇÃO
a) Espécie
b) Idade
c) Procedência
d) Regiões administrativas
e) Tipo de floresta
f) Altura média das árvores dominantes
g) Índice de Sítio
h) Classes de densidade
i) Classes de diâmetro
j) Característica de interesse (volume, biomassa, etc…)
A estratificação que se baseia na característica de interesse (por exemplo, volume),
possivelmente inclua o efeito de várias outras bases para a estratificação.
O QUE É
…….ESTRATIFICAR ???????
Esquema geral de estratificação de uma floresta
3 estratos em f(idade)
ESTRATO A
Idade 1
Idade 2
ESTRATO B
Idade 3
ESTRATO C
9
Distribuição aleatória (casual) de U.A.’s
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
Espécie 3
FAZENDA Espécie 1 Procedência 1
1 Procedência 1 Idade 1
Idade 1 Sítio I
Sítio III Espécie 2
Procedência 3
Idade 3 FAZENDA
Espécie 1 Sítio I 2
Procedência 1
Idade 1
Sítio II Espécie 2
Procedência 3
Espécie 1 Idade 4
Espécie 3 Procedência 1 Sítio I
Procedência 3 Idade 1 Espécie 1
Idade 1 Sítio II Procedência 1
Sítio II Espécie 3 Idade 3
Procedência 1 Sítio I
Idade 1
Sítio II
Espécie 2
Procedência 2 Espécie 3
Idade 2 Procedência 1
Sítio III Idade 2
Sítio II FAZENDA
3
Distribuição aleatória (casual) de U.A.’s
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
Estratos não 
representados 
na amostra
Vantagens e Desvantagens da Amostragem Estratificada
A Amostragem Estratificada, em inventários florestais, apresenta as seguintes VANTAGENS em relação 
à Amostragem Aleatória Simples:
� Proporciona estimativas SEPARADAS da média e da variância para cada estrato;
� Para uma MESMA INTENSIDADE DE AMOSTRAGEM, freqüentemente a estratificação produz
estimativas mais precisas dos parâmetros da população do que uma amostra aleatória simples.
� Isto ocorre quando a estratificação obtém uma maior homogeneidade das unidades
amostrais dentro de um estrato do que para a população toda.
� Desvantagens
� O tamanho de cada estrato DEVE SER CONHECIDO ou, no mínimo, uma estimativa razoável desse
tamanho seja disponível;
� Unidades Amostrais (U.A.’s) devem ser instaladas em cada um dos estratos dos quais se queira obter
estimativas.
NOTAÇÃO dos termos relacionados à A. Estratificada
=L número de estratos; 
=hN número potencial de unidades do estrato (h); 
∑
=
==
L
h
hNN
1
 número total potencial de unidades da população; 
=hn número de unidades amostradas no estrato (h); 
==∑
=
L
h
hnn
1
 número total de unidades amostradas na população; 
===
A
A
N
NW hhh proporção do estrato (h) na população; 
==
n
n
w hh proporção do estrato (h) na amostra total; 
=hA área do estrato (h); 
==∑
=
L
h
hAA
1
 área total da população; 
==
h
h
h N
nf fração de amostragem do estrato (h); 
==
N
nf fração de amostragem da população; 
=ihX variável de interesse 
10
PARÂMETROS E ESTIMATIVAS
Amostragem Estratificada
1. Média por estrato
parâmetro
N
X
X
h
N
i
ih
h
h
.............
1
∑
=
=
estimativa
n
X
x
h
N
i
ih
h
h
.............
1
∑
=
=
PARÂMETROS E ESTIMATIVAS
Amostragem Estratificada
2. Média estratificada
parâmetroXW
N
XN
X
L
h
hh
L
h
hh
st .............
1
1 ∑
∑
=
=
⋅=
⋅
=
estimativaxW
N
xN
x
L
h
hh
L
h
hh
st .............
1
1 ∑
∑
=
=
⋅=
⋅
=
PARÂMETROS E ESTIMATIVAS
Amostragem Estratificada
3. Variância por estrato
parâmetro
N
XX
S
h
N
i
hih
h
h
.............
1
)(
1
2
2
−
−
=
∑
=
estimativa
n
xX
s
h
n
i
hih
h
h
.............
1
)(
1
2
2
−
−
=
∑
=
PARÂMETROS E ESTIMATIVAS
Amostragem Estratificada
4. Desvio padrão por estrato
parâmetro
N
XX
SS
h
N
i
hih
hh
h
.............
1
)(
1
2
2
−
−
==
∑
=
estimativa
n
xX
ss
h
n
i
hih
hh
h
.............
1
)(
1
2
2
−
−
==
∑
=
11
PARÂMETROS E ESTIMATIVAS
Amostragem Estratificada
5. Variância estratificada
parâmetroSWS
L
h
hhst .............
1
22
∑
=
⋅=
estimativasWs
L
h
hhst .............
1
22
∑
=
⋅=
PARÂMETROS E ESTIMATIVAS
Amostragem Estratificada
6. Variância da média estratificada
.............)1(
1
2
22
)( ∑
=
−⋅⋅=
L
h
h
h
h
hstx f
n
SWS
.............)1(
1
2
22
)( ∑
=
−⋅⋅=
L
h
h
h
h
hstx f
n
sWs
Estimativa tomada em função
da variância paramétrica
Estimativa tomada em função
da variância estimada
Lançamento das unidades na
área
500 m
472 m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
AMOSTRAGEM 
SISTEMÁTICA
AMOSTRAGEM POR 
CONGLOMERADOS
12
AMOSTRAGEM NÃO PROBABILÍSTICA
� Há escolha deliberada dos elementos da
amostra. Não representa a população, portanto
não podemos generalizar os resultados para a
população.
� Não há acesso a toda a população.
� Se as características da população acessível
forem semelhantes às da população alvo:
resultados equivalentes a uma amostragem
probabilística.
45
AMOSTRAGEM NÃO PROBABILÍSTICA
� Acidental: amostra formada por elementos
que vão aparecendo. Ex: pesquisa de opinião.• Intencional: amostra é determinada por
critérios.
• Quotas: levantamento de mercado e pesquisa
eleitoral
46