Engenharia Econômica - 4 - Critério da Taxa Interna de Retorno

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4 
 
 
 
 
 
 
Critério da taxa interna 
de retorno 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1 Análise de um único projeto com fluxo de caixa convencional 
 
o Critério da Taxa Interna de Retorno (CTIR) - conhecido também pelos no- 
mes de Critério de Rentabilidade Interna, Critério da Taxa de Lucro ou Critério 
da Eficiência Marginal do Capital- é um dos critérios mais conhecidos e usados pelo 
mercado devido ao seu fácil entendimento econômico-financeiro por parte 
dos empresários/investidores. Como o próprio nome indica, representa a taxa 
de rentabilidade interna ou de lucro de uma proposta de investimento fornecida 
pelo seu fluxo de caixa. A sua determinação é realizada quando igualamos a O 
(zero) o valor presente líquido (VPL) da proposta: 
 
 
 
" R - C 
VPLx{ix = 'L\..', --- ' , = O (4.1) 
J 
,= o (1 + i)' 
 
 
ou, fazendo Ro = O.· 
 
 
 
" R-C 
VPLx{ix) = - Co + 
'\' 
--- 
' , = O (4.2) L.., 
'-1 (1 + i)' 
 
 
_____ 47•• _ 
 
/ 
 
 
 
 
Engenharia econômica e avaliação de projetos de investimento • Ferreira 
Critério da taxa interna de retorno 89 
 
Onde: Solução: 
VPL 
x 
(i) = valor presente líquido da proposta X a uma taxa interna "i,"; 
x 
i = taxa interna de retorno ou taxa de lucro da proposta X; 20 80 120 1 
x VPLx. = - 200 - + + + 60 
R = receita faturamento ou entrada de caixa na data "t"; 
('xl (1 + i) (1 + iy (1 + iy . a 3];x' (1 + iY = O 
r ' 
C = custo despesa ou saída de caixa na data "t"; 
l ' Fazendo uso da HP-12C: 
n = Vida útil, vida econômica ou horizonte de planejamento da proposta X. 
Como as variáveis Rr' C e n são conhecidas, a única incógnita da equação do [!J B 200 I CHSI ~ ICFo I 20 ICHSIGJ~ 80 GJ~ 120 ~~ 
l 
"n-ésimo" grau, para vpLxCix) = 0, é a própria taxa interna de retorno '\", sendo 
que, pelo confronto com a taxa mínima de atrarividade (iM)' podem-se deduzir: 60 GJ ~ 3 GJ -----.~ i, = 16,85% 
Se: 
Como ix =,16,85% =: ~aior do que '; = 6% a.a., concluímos que a proposta 
i
x 
> i => Proposta X apresenta lucro econômico; X apresentara lucro economico caso seja executada. M 
i = i => Proposta X apresenta lucro normal; Observações: 
x M 
i
x 
< i => Proposta X apresenta prejuízo. 
M 
a) u~ c~nsequência. ~esse resultado, se procurarmos saber qual o VPLx 
E essas três situações podem ser visuali.zadas no gráfico a seguir: (~ -. 6!1o a.a.), v:nfJcaremos que teremos a mesma resposta quanto à 
vIabII~d.ade eCOn0l11lCada proposta (considerando os dados ainda nas 
memonas da HP-12 C) 
 
 
--- .•• VPL (i
M 
= 6%) = R$ 87,74 
 
como VPLx (~ = 6%) é maior do que ° (zero), a nossa conclusão de acordo com 
o CVP~, está, obviamente, em perfeita concordância com o CTI~: a proposta X 
~ ~ ~~_~ I~ i 
o ! i~ se realizada, apresentará lucro econômico. ' 
 
b) A t~a m~n~ma de atratividade (iM) poderá alcançar, teoricamente, até o 
limite máximo de 16,85% a.a., e, ainda assim, aceitaremos a proposta 
I<. 1'llIplo I: 
X como viável. 
 
Ali di 011 .t vinhilidad econômica da proposta X fornecida pelo seu fluxo de Por outro lado, através da planilha Excel, podemos determinar a Taxa Interna 
01'\'"1111 , .ulornndo como taxa mínima de atratividade a taxa de 6% a.a. de Retorno (TlR) e traçar o gráfico VPL versus Taxa de Juros: 
 
 
 
I ) 
 
(anos) 
111 
\ lI) 
1111 
 
 
 
 
Engenharia econômica e avaliação de projetos d investimento . Ferreira 
Critério da taxa interna de retorno 91 
 
" à planilha Excel para marcar com o mouse o fluxo de caixa do projeto 
: EÕl:ar EXiW lnserr E.orrmItbr Ferram~M Qados ~nf:!a A~ ÚlQlte-UII\b r,er9Ur.t~ .• _ (j x 
lU _.=~.,:Jl~ -,H~UU\ . .!-t.~,·~ ? -.\:'.;..L~_-~111lI!I'O{J% .:."ILL!i: -4,1, 
B3:B9, que será inserido automaticamente na linha Valores do quadro 
em aberto sobre a planilha). Clicamos em OK e aparecerá a TIR na cé- 
lula B12. 
 
G K A 
9. Na célula A12, digitamos TIR = e teremos concluído o processo de de- 
terminação da TIR. 
 
R~ 160,00 ,..--~=~---=V~- 
R$ 140,00 +"'r---+'~~"-;'i Roteiro para determinação do Gráfico VPL versus Taxas de Juros através da 
R' 120,o0 +-'~-~~"" planilha Excel: 
R$100,00 h-~,,=~~;;f:j 
R$80,00 +-'-~~+"-'7-"," 
1. Procedimento idêntico aos passos anteriores 1 e 2: escolhe-se a coluna 
~ R$60,OO f-:":""~~"':-""4 
R$40,00 M~"""",~~...", representada pela célula D3 até a célula D21 para marcarmos agora as 
R$ 20,00 fu~~~~-;:--, taxas de juros do VPL desejado, com intervalos entre si de 1%, 
R$ 0,00 -b-~f::'=i!i~~:7i 
2. Com o rnouse marcamos a célula E3. 
 
3. Vamos ao menu na Barra de Ferramentas INSERlR e clicamos Função. 
T'-IX,15 de Jures 
4. Surgirá um quadro onde selecionamos a categoria FINANCEIRA, a fun- 
J<, > J ção VPL e pressionamos OK. 
 
5. Surgirá um novo quadro solicitando: Taxa, Valor 1, Valor 2. 
6. Para a Taxa digitamos D3%. 
 
7. Ainda no Quadro, direcionamos e mantemos o ponteiro do mouse na 
Roteiro para determinação da Taxa Interna de Retorno (TIR) através da linha abaixo Valor 1 e "fixamos" a coluna do fluxo de caixa do projeto 
planilha Excel: através da digitação: $B$4:$B$9. 
 
1. Escolhe-se uma coluna ou linha qualquer. Por exemplo, escolhe-se a 8. Voltando à planilha Excel: dirigimos agora o ponteiro do mou- 
coluna A. se para a linha abaixo da Barra de Ferramentas onde se acha a fun- 
2. Em A3 e em A4, digita-se o início dos anos: O e 1. Com o mouse mar- ção fx para se acrescentar: +$B$3. Assim ficando essa linha: fx 
cam-se ambas as células e as arrastamos até o ano desejado (em nosso =VPL(D3%;$B$4:$B$11) +$B$3. Clicamos ENTER ou, alternativa- 
caso, até o 62 ano na célula A9). mente, no quadro anterior pressionamos a botão OK. Surgirá nessa 
célula E3 o VPL correspondente à taxa da célula D3. 
3. A partir da célula B3 até a célula B11 digitamos os dados do fluxo de 
caixa do projeto. 9. Marcamos com o mouse a dupla de células D3 e E3 e as arrastamos até 
a célula E21. 
4. Escolhe-se uma célula qualquer. Por exemplo, escolhe-se e marca-se a 
célula B12 com o ponteiro do mouse. 10. Voltamos agora à Barra de Ferramentas e clicamos em INSERlR e em 
Gráfico. Surgirá um Quadro onde marcamos no lado esquerdo Tipo de 
5. Vamos ao menu da Barra de Ferramentas INSERIR e clicamos Função. 
Gráfico: Dispersão. No lado direito desse mesmo quadro, escolhemos 
6. Surgirá um quadro onde selecionamos a categoria FINANCEIRA, a fun- o 52 Subtipo de Gráfico; e c1icamos em Avançar>. 
ção TIR e pressionamos OK. 
11. No próximo Quadro clicamos novamente em Avançar>. 
7. Surgirá um novo quadro solicitando: Valores, Estimativa. 
12. No novo Quadro que surge (Assistente de gráfico -Etapas 3 de 4), \ 8. Posicionamos o ponteiro do mouse na linha Valores para digitar a colu- digiramos os nomes em Eixo dos valores (x): Taxas de Juros e Eixo dos 
na do fluxo de caixa do projeto: B3:B9 (ou, alternativamente, voltamos valores (y): VPL; e clicamos em Avançar >. 
 
 
 
 
 
Critério da taxa interna de retorno 93 
. ti to Ferreira 
ngenharia econômica e avaliação de projetos de mves irnen • 
 
apresentado, clicamos m Concluir. A ~artir daí, VPLY(i = - 200 + 
700 
= O 1 = ~ - 1 = 250% 3.3. 
13. No último quadro 
) 
as d vidas adequaçoes neces- y + i) y 200 (1 
com a figura do gráfico pronta, fazemo 
sárias ao nosso estilo de uso da figura. 
Pelo raciocínio quantitativo e financeiro, deveríamos escolher de imediato a 
proposta X, por nos fornecer uma taxa interna de retorno ~ == 300% a.a. maior que 
4.2 
Análise de múltiplos projetos com fluxos de a da proposta Y,fornecedora de uma menor taxa interna Íy = 250% a.a. Chamamos 
caixa convencionais a atenção, no entanto, que não é bem assim! Devemos levar em consideração a 
. . de não requerer o artifício taxa mínima de atratividade para sabermos qual de fato é a me1l10r alternativa, 
A análise pelo CTIR de múltiplos proJetos, apesar ,. do se fez uso pois, à semelhança do CVPL anterior, quem indica a melhor proposta, com base 
ili d elo CVPL da igualdade entre as diversas VIdas úteis - quan o se lh nos fluxos de caixa fornecidos, é a taxa mínima de atratividade. uti iza o p . faça a escolha da me or 
do mínimo múltiplo comum (m.m.c.) =, exige que s: . r Mesmo que Antes de entrarmos no conceito de "projeto incremental" ou "projeto diferença" 
. . . do " ares de projetos" dos vanos a ana lsar. 
rentabIlidade empregan o p .' .. . o CTIR nunca analisa em que, como artifício, fará a indicação da melhor proposta, façamos a simulação 
esses empreendim:nto: apresent~m ~~as Ut~~S~!u:;~ só vez para compará-los do que de fato acontece na prática financeira quando, entre as duas propostas 
uma única operaçao vanos empleen imen . de aplicação de recursos monetários no setor produtivo da economia, fazemos 
entre si. opção por aquela menos onerosa que nos permite ficar ainda com alguma sobra 
de recurso monetário. Racionalmente, ninguém fica com recursos ociosos sem 
Exemplo 2: receber a remuneração fornecida pelo mercado financeiro através da taxa mínima 
da~et~~:~~~:,:a~::a~:a:~~~~a~e~:~:sl:~:u:~:cn:;~:~;;;~: financeiro recebido na situação de se optar pela proposta X; a sobra de recursos
 de atratividade (i == 100% a.a.). Portanto, chamando-se de "MF" o montante 
M 
 
de R$ 100,00 (diferença entre a maior e a menor proposta: R$ 200,00 - R$ 
L 100% a.a., teremos:
 
100,00 == R$ 100,00); tempo de aplicação: 1 (um) ano; taxa de aplicação: ~ = 
 
(Xl 
100 I
 1 ano 
MFx = R$ 400,00 + R$ 100,00 (1 + 1,00) = R$ 600,00 
700 
1 MFy == R$ 700,00 
(Yl 
I 1 ano Por esses resultados, percebemos que, ao se optar pela alternativa X, obtemos 200 
um menor montante financeiro ao fim do prazo de aplicação: R$ 600,00 < R$ 
700,00. Melhor opção é de fato a proposta ou alternativa Y que, apesar de forne- 
Solução: mais cer uma Íy == 250% a.a. < ix == 300% a.a., fornece o recebimento de uma maior 
Sendo os projetos X e Y mutuamente exclusivos, devere~os e~ecut~r o quantia ao final da aplicação. 
. . . ar o outro Caso o mais rentavel sep o e menor 
rentável e, logícamente. rejeit ;." obra de caixa" na data atual no A teoria da aplicação do capital estabelece que para se fazer a escolha da melhor 
orte (o menos oneroso), deveremos ap icar as. o alternativa pelo CTIR - ao se analisarem múltiplos projetos - deveremos recorrer 
~ercado de capitais para auferir um ganho financeIro de 100 Vo a.a. . ao "projeto diferença" ou "projeto incrernental'' entre pares de alternativas. Na 
Portanto, ca 1eu 1an do as T
IRs dos dois projetos isoladamente, teremos. 
realidade, o que se pretende determinar é o ponto onde haja a igualdade entre 
os VPLs dos projetos avaliados para se poder, a partir daí, fazer a localização de 
400 ~ - 1 == 300% 3.3. "regiões" no gráfico VPL versus taxas de juros que nos indiquem a supremacia 
VPLx == - 100 + --- == O 100 do VPL de um projeto sobre o outro. E essa localização é fornecida pela "taxa (i,) (1 + i) 
 
 
 
 
"na ria econômica e avaliação de projetos de investimento . Ferreira 
Critério da taxa interna de retorno 95 
 
interna de retorno do projeto incremental" em confronto com a taxa mínima de de taxas de juros, devemos ter a cautela de examinar sobre que "base de cálculo" se estão 
atratividade. A figura a seguir elucida o que afirmamos acima: efetuando certas operações. Senão vejamos com um simples exemplo: uma pessoa tem 
duas alternativas (mutuamente exclusivas): emprestar R$ 100,00 a 10% a.m. ou R$ 
VPL Região I. Região 11 Região 111 10.000,00 a 1% a.m. Admitindo que ambas as opções tenham a mesma segurança de 
retorno e para um mesmo período de empréstimo, qual a melhor opção? 
 
Solução: 
 
Independentemente do tempo de empréstimo, e sabendo-se que não há risco 
de retorno do capital emprestado e que as opções são mutuamente exclusivãs isto 
o é, ou se faz uma ou outra, pelo prisma estritamente quantitativo seríamos leva- 
I,-, 
----x 
dos pela opção de maior taxa de juros, ou seja, escolheríamos a opção que exige 
y 
10% a.m. No entanto, pejo valor monetário retomado, as opões se inverteriam: 
 
~ _ x = taxa do projeto incrernental R$ 10.000,00 x 1% = R$ 100,00 (melhor opção) 
R$ 100,00 x 10% = R$ 10,00 (pior opção) 
e Região'1: Se a i pertence a essa região, e, portanto, i < i v-x' o melhor 
M M 
projeto é o de menor TIR; 
Esse raciocínio nos remete também para o caso de micro e macroprojetos: 
Região II: Se a i pertence a essa região, e, portanto, Íy _ x < i < ix e/ 
M M podemos ter microprojeto (microempresa) recebendo até 100% a.a. de retorno 
ou Íy, o melhor projeto é o de maior TIR; e 
e sendo muito inferior (como de fato o é) a macroprojetos (médias e grandes 
• Região III: Se i pertence a essa região, e, portanto, i > ix e Íy, ambos empresas) fornecendo 10% a.a. Agora, se o microprojeto puder ser reproduzido M M 
os projetos deverão ser rejeitados. 11 vezes no âmbito da aplicação do macroprojeto, os papéis agora se invertem. 
 
Com toda a certeza, havendo suficiente demanda para o produto ofertad 
Aplicando o processo do "projeto incremental" ao Exemplo 2 anterior, teremos: 
do microprojeto ampliado (microempresa reproduzida 11 vezes), a rentabilidad 
Projeto lncremental ou Projeto Diferença (Y - X): supera emmuito a rentabilidade do macroprojeto. 
Nos exemplos anteriores, poderíamos imaginar: 
300 
(Y-X)---,------------~-- no Exemplo 2: O projeto X ser reproduzido duas vezes, forn 11(/0 
1 ano como rentabilidade final R$AOO ,00 x 2 = R$ 800 ,00', 
100 
no exemplo da observação anterior: o empréstimo à taxa de 10 % a.I11.: 
100 empréstimos de R$ 100,00 x 10% = R$ 1.000,00. 
300 
VPLx . = - 100 + = O c=> ! ~ - 1 = 200% a.a. 
(IX_yJ (1 + iy_) y-x 100 Isto explica também como pequenos inventos ou descobertas deixam os 11.' 
idealizadores milionários: invenção da caneta esferográfica; surgimento d 111 i 
Como i = 100% a.a. é menor do que a taxa interna do projeto incremental crocomputador e seus acessórios; descoberta de certos medicamentos util izn(/o.' 
iy_X = 2000/0 a.a., portanto, Região I do gráfico anterior; concluímos que o melhor largamente pela população; certos aparelhos modernos de vídeos/áudio I', 
projeto entre X e Y é o projeto Y, apesar de a sua taxa interna i; ser menor do 
~nda sobre "base de cálculo", desejamos também chamar a ar nçã pa: n JlilO 
que a taxa interna ix' nos Impressionarmos com certas citações em alguns órgãos da mídia, at J)\('SJlIO 
Ó~servação: Durante toda a nossa vida fomos ensinados a fazer opções sobre variáveis em certas publicações científicas, quando fazem "grande ruído" na iliH;O('S dI' 
financeiras sempre pela ótica quantitativa. Nada contra, tudo bem, principalmente quando v~riações de PIBs, rendas per capita, aumentos demográflc s t '. para "lliISl'!, dI' 
se trata de valor monetário a receber, lucros a realizar, salários etc. Mas, em se tratando calculo" diminutas, como por exemplo: "O PIB cI um p qu no l(sl ado clol li (lI! 
 
 
 
 
~6 Engenharia econômica e avaliação de projetos de investimento . Ferreira Critério da taxa interna de retorno 97 
 
nos últimos cinco anos!"; ''A renda per capita de pequeno município subiu 40% 10.000 
a mais do que a renda per capita do Brasil na última década I"; "A população de 5.000 
uma pequena cidade quadruplicou no último ano!" Observem que todas essas 
"bases de cálculo" utilizadas nos exemplos hipotéticos acima são relativamente Projeto Y: 
pequenas quando comparadas com outras de mesma natureza que se referem a O 10 (anos) 
números maiores ou que possuam grandes "bases de cálculo". 15.000 
Em última análise sobre essa questão dos resultados finais de certas variáveis: 
devemos saber distinguir bem o que denominamos de Estoques e de Fluxos. 
Os estoques são quantidades de bens ou serviços em determinado momento. 10.000 
VPLX(i ) = - 100.000 + 200.000. a Wi + = O 
Exemplos: 100 automóveis adquiridos por um total de R$ 500 mil no último mês X '"Ix (1 + i)JO 
de janeiro; uma prestação de serviços contratada por R$ 200 mil etc., enquanto 
os fluxos são quantidades de bens ou serviços na unidade de tempo. Exemplos: donde ix = 15,72% a.a. 
lucro de R$ 10 milhões por mês; taxa de incremento do PIB de 10% a.a. etc. 
 
10.000 
Exemplo 3: 
VP4(iy) = - 15.000 + 5.000. a Wiy + = O 
i u I (1 + i) JO 
 
Dados os projetos mutuamente exclusivos X e Y abaixo, para uma taxa mínima 
de atratividade de 6 % a.a., determinar pelo CTlR qual o mais rentável: 
donde iy = 32,65%a.a.
 
 
Para a decisão final, há necessidade de determinar o "projeto incremental" ou 
Discriminação Projeto X CR$milhões) Projeto Y CR$ milhões) "projeto diferença" (X - Y): 
Custo inicial (co) 100.000,00 15.000,00 Projeto (X - Y): 
Lucro anual 20.000,00 5.000,00 
Valor Residual 10.000,00 10.000,00 15.000 
 
Vida útil 10 anos 10 anos 
 
O (anos) 
Solução: 
85.000 
 
10.000 
20.000 VPL(. ) = - 85.000 + 15.000 . a ";';;'lJO . = O 
~_y JUr~_y 
 
donde ix-v = 11 ,790301. a.a. Projeto X: 
O 10 (anos) 
100.000 Como iM = 6% < '. _y = 11,93% (Região 1) => Projeto X é o mais rentável. 
 
 
4.3 Análise de projetos com fluxos de caixa não convencionais 
 
\ No tratamento de investimentos com fluxos de caixa não convencionais, a 
técnica normalmente empregada é a da determinação de uma "Taxa Externa de 
 
 
 
 
 
,genharia econômica e avaliação de projetos de investimento· Ferreira Critério da taxa interna de retorno 99 
 
 
Retorno (TER)".! Taxa essa fornecida a partir do conhecimento de uma "taxa de 3.650 1.764 
reinvestimento (in)" para os fluxos positivos de caixa e de uma "taxa de finan-
 
ciamento (ir)" para os fluxos negativos de caixa: ___ 1__ -=- 1__ ----,---;- 
1 .0Jl 4.41 ~ 1 3 (anos) 
Rl R3 Rn_, Rn Fv n 
0} 
r 
'1-1 1 
I L - Admitir uma taxa mínima de atratividade de 15% a.a. 
(n - 2) (n - 1) n o~ 
Solução: 
C - Pv o Previamente, por ser um fluxo de caixa não convencional, sabemos que o
 
2 
 
fluxo de caixa do projeto acima fornecerá mais de uma taxa interna de retorno 
Ou seja, capitalizando-se os fluxos positivos de caixa através de uma "taxa de (três variações de sinal). 
reinvestimento (i)", e descapitalizando-se os fluxos negativos de caixa mediante Utilizando HP-12C 
uma "taxa de financiamento (i.)" teremos: 
GJ ~ 1000 ICHSI [iJ ~ 3.650 GJ ~ 4.410 ~ ~~ 
/I 
R, (1 1.764 GJ ~ 0 ~ ~Error 3 I + i) 
(11-')
 
t =] j 
TER = (4.3) 
I c, (1 + ijY' Como a sinalização da HP-12C "Errar ]?' significa "taxas múltiplas" para o 
t = o fluxo de caixa, utilizaremos o seguinte artifício para a determinação das taxas 
(ainda com os dados HP-12C). 
Onde: 
6 I TIRl = 5% a.a. 
TER = Taxa Externa de Retorno; ~ ~ ~ ~ 
C, = custo ou despesa na data "t"; 
12 r-. TIR2 = 40 a.a. R, = receita ou benefício na data "t"; I 
~ ~ 
VPo = Valor Presente dos custos ou despesas na data "O"; 
VF = Valor Futuro dos benefícios ou receitas na data "n"; 18 I TlR3 = 20% a.a. 
n ~ ~ ~ 
ir; = taxa de reinvestimento; 
i, = taxa de financiamento; Observação: 
n = vida útil ou vida produtiva do projeto analisado. As taxas 6%, 12% e 18% utilizadas foram taxas de juros quaisquer, arbitradas para 
iniciar o processo de "procura" da HP-12C na determinação das taxas internas de retorno. 
Poderíamos ter utilizado outras taxas. 
Exemplo 4: 
Caso a HP-12C dê como resposta uma mesma taxa TIR já fornecida anteriormente, 
Determinar a(s) taxa(s) interna(s) de retorno para o projeto de investimento 
o artifício exige que se vá fornecendo taxas "tentativas" mais elevadas na "procura" de 
abaixo: 
novas taxas TIR. 
 
O gráfico VPL versus taxas de juros será algo como: 
1 LAP;QNI, Juan Carlos. Avaliação' de projetos de investimentos: modelos em Excel. São Paulo: 
Lapponi,1996. 
 
 
 
."aria econômica e avaliação de projetos de investimento· Ferreira 
Critério da taxa interna de retorno101 
 
VPL Face aos dados e exemplos, podemos enumerar as vantagens e desvantagens 
do CTIR. 
 
 
4.4 Vantagens e desvantagens do CTIR 
 
40% 
a) Vantagens do CTIR: 
o Taxa a.l) a TIR, representando a taxa esperada de lucro do projeto analisa- 
do, é de fácil entendimento para a comunidade empresarial; 
a.2) em princípio, independe da taxa mínima de atratividade para os 
procedimentos iniciais de sua determinação. Por ser a taxa míni- 
Exemplo 5: ma um elemento exógeno ao projeto e a TIR uma variável endó- 
gena ao fluxo de caixa, o empresário/investidor tem a liberdade 
Considerando o mesmo fluxo de caixa anterior: caso não nos interessassem de confrontar a TIR com quaisquer outros índices de lucrativida- 
essas "taxas múltiplas", imaginemos que o projeto possua uma taxa de reinvesti- de financeira à disposição dos recursos econômicos reservados ao 
mento da ordem de 8% a.a. e uma taxa de financiamento da ordem de 10% a.a. projeto de investimento; 
Qual será a Taxa Externa de Retorno (TER)? a.3.) na avaliação de vários projetos com fluxos de caixa convencio- 
Solução: nais e vidas úteis diferentes, não há necessidade de se igualarem 
I 
Empregando a fórmula (4.3) anterior, virá: as vidas úteis mediante o recurso do mínimo múltiplo comum 
(rn.m.c.) das mesmas vidas úteis dos projetos. 
Valor Futuro (VF ) dos fluxos positivos à taxa de 8% a.a.: b) Desvantagens do CTIR: 
3 
b.l ) na avaliação de dois ou mais projetos, não é a simples inspeção das 
VF
3 
= L R, (1,08)3-1 = 3.650 (1,08)2 + 1.764 = R$ 6.021,36 
prego do "projeto incrernental'' na análise "aos pares" de projetos de
 
TIRs que irá indicar a maior rentabilidade: há necessidade do em- 
 
1=] 
acordo com as regiões onde se encontra a taxa mínima de atrativi- 
Valor Presente (VP)o dos fluxos negativos à taxa de 10% a.a.: 
dade. A visualização das "regiões" é dada pelos gráficos a seguir: 
 
VPL VPL VPL 
VPo = L C.o,10)-1 = 1.0~0 + 4.410 (1,10)-2 = R$ 4.644,63 
I = o 
 
 
Daí, teremos: 
 
 
TER = (~) 1/3_1 = (6.021,36 )1/3_1=9,04% 
VPo 4.644,63 
VPL VPL VPL 
 
Conclusão: 
 
Como a TER = 9,04% a.a. é menor que a taxa mínima de atratividade i = 
M 
15% \.a., dizemos que o projeto de investimento do Exemplo 04 é inviável. 
 
 
___________ Át _