Resistência dos Materiais II aula 1 a 5
72 pág.

Resistência dos Materiais II aula 1 a 5


DisciplinaResistência dos Materiais II6.655 materiais143.115 seguidores
Pré-visualização13 páginas
Resistência dos Materiais II / Aula 1 - Propriedades Geométricas de Áreas Planas (parte 1) 
J 
Momento Estático 
Você já sabe que o momento de uma força, em relação a um ponto ou eixo, é calculado através do produto da força 
pelo braço de alavanca, que é a distância da linha de ação da força até o ponto ou eixo considerado. 
 
De forma similar, podemos entender o momento estático de uma área como o produto entre o valor da área e a 
distância do centroide da área considerada até o eixo de referência que escolhemos para determinar o momento 
estático. 
 
O produto de uma área por uma distância nos leva a uma unidade para o momento estático que é o cubo do 
comprimento, embora não se trate de um volume! 
 
Como as formas nem sempre são bem comportadas, vamos, agora, pensar de maneira genérica. Como calcular o 
momento estático de uma área infinitesimal dA? 
 
Agora vamos generalizar. 
 
O momento estático da área infinitesimal dA, em relação aos eixos x e y, são obtidos através do produto entre a área 
dA e a distância medida entre o centroide da referida área e o eixo de referência. Assim, os momentos estáticos podem 
ser obtidos da seguinte forma: 
 
Portanto, para contabilizarmos o momento estático da figura genérica, devemos somar as contribuições de cada área 
dA pertencente à área considerada. 
Para isso, temos que usar os recursos desenvolvidos em cálculo integral. 
 
Observação: Supondo que as medidas de comprimento utilizadas estejam especificadas em cm, o momento estático 
calculado estaria em cm3, embora não se trate de um volume, conforme já foi comentado. 
Como primeira prática, será escolhida uma área em forma de retângulo para facilitar o entendimento e as ideias fluírem 
com mais facilidade. 
 
Seja um retângulo genérico de base b e altura h. O objetivo da prática é determinar os momentos estáticos do 
retângulo em relação ao eixo x e em relação ao eixo y. Como já está apresentado na figura, optou-se por utilizar a área 
b.dy para o cálculo de Msx e a área h.dx para o cálculo de Msy 
 
Iniciando pelo cálculo de Msx: 
 
Agora o cálculo de Msy: 
 
Evoluindo para o caso de uma seção não retangular, a determinação dos momentos estáticos seguem exatamente o 
mesmo raciocínio, apenas recaindo em cálculos mais elaborados. 
 
Uma nova prática proposta é o cálculo do Momento Estático (Msx) para o caso de uma seção trapezoidal, com uma 
base b1 e outra b2, conforme a figura. 
 
Como a base b varia ao longo da altura de um valor b1 até um valor b2, é preciso construir matematicamente esta 
variação. 
 
Para y=0, b=b1 e para y = h, b= b2 
 
 
A função que representa a largura do trapézio ao longo de sua altura será: 
 
 
b(y) = b1 - variação ao longo da altura, 
 
 
A variação ao longo da altura vale a diferença entre b1 e b2 para a altura h. Portanto, ela poderá ser avaliada como 
 
 
 
 
 
Assim, a largura do trapézio em qualquer ponto será: 
 
Por último, uma seção em forma de I composta por 3 retângulos: 
 
Da mesma forma que utilizamos o recurso da integral para somar as contribuições dos elementos infinitesimais, 
podemos somar os momentos das figuras conhecidas, que são os 3 retângulos. 
 
A posição do eixo de referência influencia no cálculo do momento estático. 
 
O esquema mostra que: 
 
\uf0b7 figuras ou trechos de figuras posicionadas no 1º quadrante terão momentos estáticos positivos porque as distâncias 
medidas até as áreas serão positivas; 
\uf0b7 figuras ou trechos de figuras posicionadas no 2º quadrante terão valores positivos para distâncias verticais e negativos 
para as horizontais, gerando momentos estáticos positivos em relação ao eixo X e negativos em relação ao eixo Y; 
\uf0b7 figuras ou trechos de figuras posicionadas no 3º quadrante terão valores negativos para distâncias verticais e 
horizontais causando momentos estáticos negativos em relação aos eixo X e Y; 
\uf0b7 figuras ou trechos de figuras posicionadas no 4º quadrante terão valores negativos para distâncias verticais e positivos 
para os horizontais causando momentos estáticos negativos em relação ao eixo X e positivos em relação ao eixo Y. 
A simetria leva a momento estático nulo! 
/ Shutterstock 
Centro Geométrico (Centroide) 
Na seção anterior, foi vista a forma de se determinar o momento estático de uma figura plana genérica, em relação a 
eixos referenciais, que podem ser posicionados em qualquer lugar. 
 
Também foi visto que o momento estático, em relação a um eixo, é calculado pelo produto de uma área pela distância 
dela até o eixo. 
 
Agora, vamos pensar um pouco! 
 
O que aconteceria se houvesse 2 áreas posicionadas de forma simétrica, em relação ao eixo de referência, conforme a 
figura a seguir? 
 
Resposta: 
O momento estático de cada área dA, em relação ao eixo de referência, pode ser obtido pelo produto de dA por d. Mas, 
se entendermos que a distância superior é positiva e a inferior é negativa, o momento de uma anula o da outra. 
Portanto, o momento estático seria nulo. 
 
Essa ideia leva ao entendimento do que representa o centro geométrico de uma figura plana: 
\uf0b7 Cada figura plana possui um único centro geométrico; 
\uf0b7 O momento estático da figura, se calculado em relação a eixos referenciais posicionados neste ponto, será nulo. 
Portanto, para se determinar o local exato onde o momento estático será nulo, deve-se primeiramente 
posicionar os eixos em qualquer lugar, e determinar o momento estático em relação a ele. Com isso, teremos a 
soma das áreas de cada elemento infinitesimal multiplicada pela distância de cada uma delas até o eixo de 
referência, o que equivale dizer que: 
 
O momento estático de uma figura geométrica, em relação a um eixo referencial, é igual ao produto da área 
total da figura pela distância de seu centro geométrico até o eixo referencial. 
/ Shutterstock 
Dessa forma, calculando o momento estático de uma figura, em relação a um eixo de referência, pode-se facilmente 
determinar seu centro geométrico. 
 
Foi visto, no item anterior, que o momento estático pode ser calculado da seguinte forma: 
 
Assim, o momento estático representa o valor da área da figura multiplicado pela distância de seu centro geométrico 
até o eixo de referência utilizado na determinação do momento estático. 
 
Portanto, podemos igualar os momentos estáticos calculados ao produto da área pelo centro geométrico conforme a 
seguir: 
 
Uma vez que esse item tem como objetivo a determinação da localização do centro geométrico de uma figura genérica, 
pode-se dizer que: 
 
Portanto, o centro geométrico de uma figura pode ser obtido dividindo-se o momento estático pela área da figura. 
 
Prática: Verificar que o centro geométrico de um triângulo fica realmente posicionado a 1/3 da altura. 
 
A solução do problema parte da definição da função que determina a largura de dA ao longo da altura do triângulo. A 
largura varia de b até zero ao longo da altura h. 
 
Portanto, a função será: 
 
 
 
Cálculo do momento estático em relação ao eixo X: 
 
Cálculo de (\ud835\udc9a ): 
 
Para situações onde a figura geométrica é formada pela composição de figuras conhecidas, pode-se utilizar o mesmo 
raciocínio, somando os efeitos de cada figura que participa da composição. 
 
Prática: Localize o centroide da figura: 
 
Organização dos dados em tabela: 
 
Momento de Inércia 
O momento de inércia representa a inércia (resistência) associada à tentativa de giro de uma área, em torno de um 
eixo, e pode ser representado numericamente através do produto da área pelo quadrado da distância entre a área e o 
eixo de referência. 
 
Portanto, a diferença entre o momento estático e o momento de inércia é que, no momento de inércia, a área é 
multiplicada pelo quadrado da distância e não simplesmente pela distância como já vimos. 
Destaque:Quanto mais distante a área estiver