Resistência dos Materiais II aula 1 a 5

Prévia do material em texto

Resistência dos Materiais II / Aula 1 - Propriedades Geométricas de Áreas Planas (parte 1) 
J 
Momento Estático 
Você já sabe que o momento de uma força, em relação a um ponto ou eixo, é calculado através do produto da força 
pelo braço de alavanca, que é a distância da linha de ação da força até o ponto ou eixo considerado. 
 
De forma similar, podemos entender o momento estático de uma área como o produto entre o valor da área e a 
distância do centroide da área considerada até o eixo de referência que escolhemos para determinar o momento 
estático. 
 
O produto de uma área por uma distância nos leva a uma unidade para o momento estático que é o cubo do 
comprimento, embora não se trate de um volume! 
 
Como as formas nem sempre são bem comportadas, vamos, agora, pensar de maneira genérica. Como calcular o 
momento estático de uma área infinitesimal dA? 
 
Agora vamos generalizar. 
 
O momento estático da área infinitesimal dA, em relação aos eixos x e y, são obtidos através do produto entre a área 
dA e a distância medida entre o centroide da referida área e o eixo de referência. Assim, os momentos estáticos podem 
ser obtidos da seguinte forma: 
 
Portanto, para contabilizarmos o momento estático da figura genérica, devemos somar as contribuições de cada área 
dA pertencente à área considerada. 
Para isso, temos que usar os recursos desenvolvidos em cálculo integral. 
 
Observação: Supondo que as medidas de comprimento utilizadas estejam especificadas em cm, o momento estático 
calculado estaria em cm3, embora não se trate de um volume, conforme já foi comentado. 
Como primeira prática, será escolhida uma área em forma de retângulo para facilitar o entendimento e as ideias fluírem 
com mais facilidade. 
 
Seja um retângulo genérico de base b e altura h. O objetivo da prática é determinar os momentos estáticos do 
retângulo em relação ao eixo x e em relação ao eixo y. Como já está apresentado na figura, optou-se por utilizar a área 
b.dy para o cálculo de Msx e a área h.dx para o cálculo de Msy 
 
Iniciando pelo cálculo de Msx: 
 
Agora o cálculo de Msy: 
 
Evoluindo para o caso de uma seção não retangular, a determinação dos momentos estáticos seguem exatamente o 
mesmo raciocínio, apenas recaindo em cálculos mais elaborados. 
 
Uma nova prática proposta é o cálculo do Momento Estático (Msx) para o caso de uma seção trapezoidal, com uma 
base b1 e outra b2, conforme a figura. 
 
Como a base b varia ao longo da altura de um valor b1 até um valor b2, é preciso construir matematicamente esta 
variação. 
 
Para y=0, b=b1 e para y = h, b= b2 
 
 
A função que representa a largura do trapézio ao longo de sua altura será: 
 
 
b(y) = b1 - variação ao longo da altura, 
 
 
A variação ao longo da altura vale a diferença entre b1 e b2 para a altura h. Portanto, ela poderá ser avaliada como 
 
 
 
 
 
Assim, a largura do trapézio em qualquer ponto será: 
 
Por último, uma seção em forma de I composta por 3 retângulos: 
 
Da mesma forma que utilizamos o recurso da integral para somar as contribuições dos elementos infinitesimais, 
podemos somar os momentos das figuras conhecidas, que são os 3 retângulos. 
 
A posição do eixo de referência influencia no cálculo do momento estático. 
 
O esquema mostra que: 
 
 figuras ou trechos de figuras posicionadas no 1º quadrante terão momentos estáticos positivos porque as distâncias 
medidas até as áreas serão positivas; 
 figuras ou trechos de figuras posicionadas no 2º quadrante terão valores positivos para distâncias verticais e negativos 
para as horizontais, gerando momentos estáticos positivos em relação ao eixo X e negativos em relação ao eixo Y; 
 figuras ou trechos de figuras posicionadas no 3º quadrante terão valores negativos para distâncias verticais e 
horizontais causando momentos estáticos negativos em relação aos eixo X e Y; 
 figuras ou trechos de figuras posicionadas no 4º quadrante terão valores negativos para distâncias verticais e positivos 
para os horizontais causando momentos estáticos negativos em relação ao eixo X e positivos em relação ao eixo Y. 
A simetria leva a momento estático nulo! 
/ Shutterstock 
Centro Geométrico (Centroide) 
Na seção anterior, foi vista a forma de se determinar o momento estático de uma figura plana genérica, em relação a 
eixos referenciais, que podem ser posicionados em qualquer lugar. 
 
Também foi visto que o momento estático, em relação a um eixo, é calculado pelo produto de uma área pela distância 
dela até o eixo. 
 
Agora, vamos pensar um pouco! 
 
O que aconteceria se houvesse 2 áreas posicionadas de forma simétrica, em relação ao eixo de referência, conforme a 
figura a seguir? 
 
Resposta: 
O momento estático de cada área dA, em relação ao eixo de referência, pode ser obtido pelo produto de dA por d. Mas, 
se entendermos que a distância superior é positiva e a inferior é negativa, o momento de uma anula o da outra. 
Portanto, o momento estático seria nulo. 
 
Essa ideia leva ao entendimento do que representa o centro geométrico de uma figura plana: 
 Cada figura plana possui um único centro geométrico; 
 O momento estático da figura, se calculado em relação a eixos referenciais posicionados neste ponto, será nulo. 
Portanto, para se determinar o local exato onde o momento estático será nulo, deve-se primeiramente 
posicionar os eixos em qualquer lugar, e determinar o momento estático em relação a ele. Com isso, teremos a 
soma das áreas de cada elemento infinitesimal multiplicada pela distância de cada uma delas até o eixo de 
referência, o que equivale dizer que: 
 
O momento estático de uma figura geométrica, em relação a um eixo referencial, é igual ao produto da área 
total da figura pela distância de seu centro geométrico até o eixo referencial. 
/ Shutterstock 
Dessa forma, calculando o momento estático de uma figura, em relação a um eixo de referência, pode-se facilmente 
determinar seu centro geométrico. 
 
Foi visto, no item anterior, que o momento estático pode ser calculado da seguinte forma: 
 
Assim, o momento estático representa o valor da área da figura multiplicado pela distância de seu centro geométrico 
até o eixo de referência utilizado na determinação do momento estático. 
 
Portanto, podemos igualar os momentos estáticos calculados ao produto da área pelo centro geométrico conforme a 
seguir: 
 
Uma vez que esse item tem como objetivo a determinação da localização do centro geométrico de uma figura genérica, 
pode-se dizer que: 
 
Portanto, o centro geométrico de uma figura pode ser obtido dividindo-se o momento estático pela área da figura. 
 
Prática: Verificar que o centro geométrico de um triângulo fica realmente posicionado a 1/3 da altura. 
 
A solução do problema parte da definição da função que determina a largura de dA ao longo da altura do triângulo. A 
largura varia de b até zero ao longo da altura h. 
 
Portanto, a função será: 
 
 
 
Cálculo do momento estático em relação ao eixo X: 
 
Cálculo de (𝒚 ): 
 
Para situações onde a figura geométrica é formada pela composição de figuras conhecidas, pode-se utilizar o mesmo 
raciocínio, somando os efeitos de cada figura que participa da composição. 
 
Prática: Localize o centroide da figura: 
 
Organização dos dados em tabela: 
 
Momento de Inércia 
O momento de inércia representa a inércia (resistência) associada à tentativa de giro de uma área, em torno de um 
eixo, e pode ser representado numericamente através do produto da área pelo quadrado da distância entre a área e o 
eixo de referência. 
 
Portanto, a diferença entre o momento estático e o momento de inércia é que, no momento de inércia, a área é 
multiplicada pelo quadrado da distância e não simplesmente pela distância como já vimos. 
Destaque:Quanto mais distante a área estiverdo eixo de rotação, maior resistência ela oferece ao giro. Por essa 
razão, a patinadora, ao encolher os braços, durante o movimento de giro, aumenta a velocidade de rotação. 
 
Na Engenharia, podemos exemplificar através do comportamento das vigas sob flexão. Quanto mais área afastada do 
centro, mais rígida será a viga e, como consequência, menos ela se deformará. Por isso, os perfis metálicos em forma 
de I são tão utilizados. 
Dessa forma, podemos escrever diretamente as equações para o momento de inércia: 
 
Como já temos certa experiência, podemos ir direto a mais uma Prática. Determinação do momento de inércia de um 
retângulo: 
 
Teorema de Steiner ou eixos paralelos 
 
O teorema dos Eixos Paralelos determina que o momento de inércia I, de uma área relativamente a um eixo arbitrário 
AA’, é igual ao momento de inércia I, segundo o eixo que passa no centróide da área (BB’) mais o produto da área pelo 
quadrado da distância entre eixos. 
 
O uso deste teorema permite facilitar a determinação do momento de inércia de áreas compostas formadas por figuras 
conhecidas, como na prática seguinte: 
 
Vamos começar determinando a altura do centroide já que a figura é simétrica se considerarmos um eixo vertical no 
centro da peça. 
 
Clique aqui e conheça as expressões para determinação do centroide e do momento de inércia para áreas com formas 
mais comuns. 
Exercícios! 
1 - Considere a composição de 2 perfis metálicos, o U 6” x 2” e a cantoneira 4” x 4” 
<="" center="" style="box-sizing: border-box; border: 0px; vertical-align: baseline; margin: 0px; padding: 0px; font-size: 
17.6px;"> 
Determine a distância da coordenada horizontal do centroide do conjunto medida a partir da extrema esquerda da peça 
composta. 
2,00 cm 
5,88 cm 
4,90 cm 
5,04 cm 
6,25 cm 
2 - Considere a composição de 2 perfis metálicos, o U 6” x 2” e a cantoneira 4” x 4” 
<="" 
center="" style="box-sizing: border-box; border: 0px; vertical-align: baseline; margin: 0px; padding: 0px; font-size: 
17.6px;"> 
Determine a distância da coordenada vertical do centroide do conjunto medida a partir da base da peça composta. 
5,88 cm 
7,6 cm 
5,04 cm 
5,26 cm 
4,92 cm 
3 - Considere a composição de 2 perfis metálicos, o U 6” x 2” e a cantoneira 4” x 4” 
<="" center="" style="box-sizing: border-box; border: 0px; vertical-align: baseline; margin: 0px; padding: 0px; font-size: 
17.6px;"> 
Determine o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo horizontal que passa pelo centroide. 
348,07 cm⁴ 
696,59 cm⁴ 
360,58 cm⁴ 
915,07 cm⁴⁴ 
452,89 cm⁴ 
4 - Considere a composição de 2 perfis metálicos, o U 6” x 2” e a cantoneira 4” x 4” 
<="" center="" style="box-sizing: border-box; border: 0px; vertical-align: baseline; margin: 0px; padding: 0px; font-size: 
17.6px;"> 
Determine o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo vertical que passa pelo centroide. 
398,07 cm⁴ 
915,07 cm⁴ 
432,89 cm⁴ 
694,59 cm⁴⁴ 
360,58 cm⁴ 
 
1. 
 
Determine o momento estático em relação ao eixo x da figura plana composta pelo 
quadrado (OABD) de lado 20 cm e o triângulo (BCD) de base (BD) 20 cm e altura 12 cm. 
 
 
 
 
 
 
5200 cm
3
 
 
6000 cm
3
 
 
9333 cm
3
 
 
6880 cm
3
 
 
4000 cm
3
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sobre o cálculo do centroide de figuras planas é correto afirmar que: 
 
 
 
 
Para uma placa homogênea o centroide não coincide com o baricentro; 
 
Quando uma superfície possuir um eixo de simetria, o centroide da mesma deve estar situado nesse 
eixo, e o momento estático de primeira ordem em relação ao eixo de simetria é nulo; 
 
Quando uma superfície possui dois eixos de simetria, seu centroide não está situado interseção desses 
eixos; 
 
Quando uma superfície é simétrica em relação a um centro O os momentos estáticos de primeira 
ordem em relação aos eixos X e Y, são diferentes de zero; 
 
Para um arame homogêneo situado no plano XY o centroide nunca não estará fora do arame. 
 
 
 
 
3. 
 
 
"Podemos entender o momento estático de uma área como o produto entre o valor do(a) 
_______ e o(a) _________ considerada(o) até o eixo de referência que escolhemos para 
determinar o momento estático." As palavras que melhor representam as lacunas que 
dão o sentido correto da frase são, respectivamente: 
 
 
 
 
distância do centróide da área ; perímetro da área 
 
momento de inércia; volume 
 
perímetro da área ; área 
 
área ; distância do centróide da área 
 
volume; área 
 
 
 
 
4. 
 
Determine o momento estático em relação ao eixo y da figura plana composta pelo 
quadrado (OABD) de lado 20 cm e o triângulo (BCD) de base (BD) 20 cm e altura 12 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
6000 cm
3
 
 
4000 cm
3
 
 
5200 cm
3
 
 
6880 cm
3
 
 
9333 cm
3
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Assinale a opção que apresenta a unidade que pode ser utilizada para expressar o 
momento de inércia de uma superfície plana: 
 
 
 
 
kg.cm 
 
cm
3
 
 
MPa 
 
 cm
2
 
 
cm
4
 
 
 
 
 
6. 
 
 
No exemplo de uma patinadora, ao abrir ou encolher os braços em um movimento de 
giro, observamos que: 
 
 
 
 
Quanto mais distante a área estiver do eixo de rotação, menor resistência ela oferece ao giro. Por essa 
razão, a patinadora, ao encolher os braços, durante o movimento de giro, diminui a velocidade de 
rotação. 
 
Quanto mais distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela oferece ao giro. Por essa 
razão, a patinadora, ao encolher os braços, durante o movimento de giro, diminui a velocidade de 
rotação. 
 
Quanto mais distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela oferece ao giro. Por essa 
razão, a patinadora, ao encolher os braços, durante o movimento de giro, aumenta a velocidade de 
rotação. 
 
Quanto menos distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela oferece ao giro. Por 
essa razão, a patinadora, ao abrir os braços, durante o movimento de giro, aumenta a velocidade de 
rotação. 
 
Quanto menos distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela oferece ao giro. Por 
essa razão, a patinadora, ao abrir os braços, durante o movimento de giro, diminui a velocidade de 
rotação. 
 
 
Resistência dos Materiais II / Aula 2 - Propriedades Geométricas de Áreas Planas (parte 2) 
Produto de Inércia 
De uma forma geral, como já foi visto na aula anterior, o momento de inércia de uma área pode assumir valores 
diferentes para cada sistema de eixos de referência que venha a ser adotado no cálculo. 
 
Será visto mais tarde que, em algumas situações de projeto estrutural ou mecânico, torna-se necessário reconhecer os 
valores máximos e mínimos do momento de inércia das áreas das seções transversais das barras analisadas. 
 
Veremos ainda, nesta aula, que o procedimento para a determinação dos máximos e mínimos passa pela 
determinação dos momentos de inércia, em relação aos eixos x e y, estudada na aula anterior, e por outra propriedade 
da área denominada Produto de Inércia. 
 
Fica claro que o produto de inércia possui a mesma dimensão do momento de inércia, ou seja, comprimento 
elevado à quarta potência (m⁴, cm⁴, mm⁴ etc.). 
Vale observar que, dependendo do quadrante em que o elemento diferencial de área estiver posicionado, o sinal do 
produto de inércia poderá se alternar. No 1º e no 3º quadrantes, o produto de inércia é positivo, pois as duas distâncias 
possuem o mesmo sinal. 
 
Já n o 2º e no 4º quadrantes, o produto de inércia assume valores negativos dado que as distâncias possuem sinais 
diferentes.Teorema dos Eixos Paralelos 
Vamos considerar agora um sistema de eixos que denominaremos X’Y’, paralelo a XY, mas estrategicamente 
posicionado no centroide da área. 
 
Chamaremos de dx e dy as distâncias entre os dois sistemas de eixos X’Y’ e XY, como mostra a figura. 
 
Considerando os dois referenciais pode-se montar a expressão do cálculo do produto de inércia como sendo: 
 
onde (𝑥′ +𝑑𝑥) representa o valor de x e (𝑦′+𝑑𝑦) representa o valor de y. Desenvolvendo a integral... 
 
A 1ª integral é o produto de inércia em relação ao centroide, a 2ª e a 3ª são nulas, como visto na aula anterior, e a 
última representa a área. 
Resumindo... 
 
Ou... 
 
Momento de Inércia de uma área em relação a um sistema de referência inclinado 
A figura mostra os eixos girados e as transformações que fazem com que o momento de inércia seja calculado, em 
relação ao sistema x’ y’, girado de θ em relação ao sistema xy. 
 
Com isso, as coordenadas x’ e y’, referenciadas ao sistema xy, podem ser obtidas com as seguintes relações 
evidenciadas na figura: 
 
Para desenvolver as propriedades da área A, em relação aos eixos inclinados, basta substituir essas relações como 
será feito a seguir: 
 
O desenvolvimento algébrico de cada uma das equações anteriores nos leva às seguintes equações: 
 
Atenção: 
 
Observe que, se somarmos as duas primeiras equações, o resultado é lx'+𝐼y'= 𝐼x+𝐼y= 𝐽0, denominado Momento Polar de 
Inércia. 
Momentos principais de Inércia 
Conforme pode ser visto no quadro resumo apresentado, as expressões para a determinação dos momentos de inércia 
e do produto de inércia para eixos inclinados, como não poderia deixar de ser, depende da inclinação representada nas 
expressões pelo ângulo θ. 
 
Obviamente, para cada valor de θ, teremos um valor diferente para as propriedades da seção, passando por um ponto 
de máximo e por um ponto de mínimo, que são os momentos principais de inércia. Os eixos dessas direções também 
são denominados de eixos principais. 
 
Como você estudou em Cálculo Diferencial e Integral, para conhecermos os máximos e os mínimos de uma 
função, devemos derivar e igualar a zero. 
 
Igualando a zero para θ = θp e usando a definição da tangente (sen/cos), chegamos à seguinte relação: 
 
Esta relação pode ser representada graficamente por meio de um triângulo retângulo: 
 
As hipotenusas dos triângulos, que são iguais, podem ser obtidas pelo Teorema de Pitágoras. Com isso, são iguais a: 
 
Construindo as relações para sen2θ e para cos2θ, e substituindo nas equações do quadro resumo, obtemos: 
 
Esta equação nos leva a uma relação já conhecida de Resistência dos Materiais I, o círculo de Mohr. 
Círculo de Mohr para Momentos de Inércia 
Uma vez calculados Ix, Iy e Ixy, podemos construir o círculo para obtermos os valores graficamente. 
 O eixo horizontal é o eixo dos momentos de inércia; 
 O eixo vertical é o eixo dos produtos de inércia; 
 O centro do círculo é o valor médio entre Ix e Iy, (Ix+Iy)/2; 
 O raio do círculo é √(Ix−Iy/2)
2
+Ixy
2
); 
 O ponto A possui coordenadas (Ix, Ixy). 
 
A marcação dos pontos (Ix, Ixy) e (Iy, -Ixy) é importante, pois nos dá a origem da marcação dos ângulos e a inclinação em 
relação aos eixos principais. 
 
Note que, para Imax e para Imin, o valor de Ixy é nulo. 
 
Só para reforçar, a inclinação para os eixos principais é dada por: 
 
Raio de Giração 
O raio de giração é uma medida de comprimento baseada nas propriedades da seção, que será muito importante no 
estudo do fenômeno da flambagem, podendo ocorrer em barras sob efeito de compressão. Desta forma, ele pode ser 
calculado em função da área e do momento de inércia. 
 
Como já vimos, o momento de inércia pode ser calculado em relação a qualquer eixo, o que também vale para o raio 
de giração. 
 
O momento de inércia, como visto na 1ª aula, pode ser calculado através da integral 
 
 
 
 
onde y é a distância do elemento infinitesimal dA até o eixo considerado, no caso, x. 
 
Uma vez calculado o momento de inércia e a área, podemos dizer que: 
 
 
 
 
 
Onde ix é o raio de giração da figura. 
 
Portanto, podemos entender que o raio de giração é a distância medida do eixo considerado até um determinado 
ponto, de tal forma que, se concentrarmos a área nesse ponto, o momento de inércia da figura, em relação ao referido 
eixo, será preservado. 
As figuras a seguir ilustram essa ideia. 
 
Atenção: 
O módulo de resistência (W) ocorre entre o momento de inércia, em relação a um eixo e a maior distância entre o 
centroide da área, até a superfície da figura medida, na direção transversal ao eixo, conforme a figura: 
 
O módulo de resistência será muito importante no estudo da flexão. 
 
Dimensão: [L]
3
 
 
Unidades: m
3
, cm
3
, mm
3
 ... 
 
Prática: 
 
Pra a área detalhada da figura, determine o raio de giração e o módulo de resistência em relação aos eixos x e y. 
 
Módulo de Resistência 
Em relação ao eixo x, as distâncias extremas são 1,61 até a borda inferior e 3,39 cm até a superior. 
Em relação ao eixo y, as distâncias extremas são iguais (direita e esquerda) a 2,50 cm. 
Com isso, temos: 
 
Exercícios! 
1 - Considere o perfil metálico L 150 x 150 x 25 (mm). Determine o produto de inércia do perfil: 
<="" center="" style="box-sizing: border-box; 
border: 0px; vertical-align: baseline; margin: 0px; padding: 0px; font-size: 17.6px;"> 
4659000 mm⁴ 
-4659000 mm⁴ 
-4486030,9 mm⁴ 
27,7 x 10⁶ mm⁴ 
-27,7 x 10⁶ mm⁴ 
2 - Considere a composição de 2 perfis metálicos, o U 6” x 2” e a cantoneira 4” x 4”. Determine o momento de 
inércia do conjunto em relação ao eixo horizontal que passa pelo centroide. 
348,07 cm⁴ 
696,59 cm⁴ 
360,58 cm⁴ 
915,07 cm⁴⁴ 
452,89 cm⁴ 
3 - Considere a composição de 2 perfis metálicos, o U 6” x 2” e a cantoneira 4” x 4”. Determine o produto de 
inércia do conjunto em relação ao eixo vertical, que passa pelo centroide, sabendo que os momentos de 
inércia do conjunto são Ix=915,07cm
4
 e Iy=360,58cm
4
. 
398,07 cm⁴ 
915,07 cm⁴ 
432,89 cm⁴ 
694,59 cm⁴⁴ 
360,58 cm⁴ 
 
1. 
 
 
Considere um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa AB, base BC= 4cm e altura AC = 3cm. O momento 
de inércia deste triângulo (área) em relação ao eixo que passa pela base BC é dado por b.h3/12. Determine 
o momento de inércia deste triângulo em relação ao eixo que passa pelo vértice A e é paralelo à base. 
DICA: Teorema dos eixos paralelos: I = I´+ A.d^2 onde d^2 é d elevado ao quadrado 
 
 
 
27 cm4 
 
15 cm4 
 
36 cm4 
 
12 cm4 
 
9 cm4 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere a figura plana composta pelo quadrado (OACD) de lado 18 cm e o triângulo (ABC) de base (AC) 
18 cm e altura 18 cm. Sabendo que o centroide da figura (OABCD) está na posição de coordenadas (9, 14), 
determine o momento inércia Iy em relação ao eixo y que passa pelo centroide da figura plana (OABCD). 
 
 
 
 
23814 cm
4
 
 
11664 cm
4
 
 
6840 cm
4
 
 
230364 cm
4
 
 
4374 cm
4
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Analise as afirmativas. I - O raio de giração é a raiz quadrada do momento de inercia da área dividido pelo 
momento de inércia ao quadrado; II ¿ O momento de inércia expressa o grau de dificuldade em se alterar o 
estado de movimento de um corpo; III ¿ o produto de inércia mede a antissimétrica da distribuição de massa 
de um corpo em relação a um par de eixos e em relação ao seu baricentro. É(São) correta(s) a(s) 
afirmativa(s) 
 
 
 
II e III, apenas 
 
I e III, apenas 
 
I, apenas 
 
I e II, apenas 
 
I, II e III. 
 
 
 
 
4. 
 
 
A fotoelasticidade é uma técnica experimental utilizada para a análise de tensões e deformações empeças 
com formas complexas. A passagem de luz polarizada através de um modelo de material fotoelástico sob 
tensão forma franjas luminosas escuras e claras. O espaçamento apresentado entre as franjas caracteriza a 
distribuição das tensões: espaçamento regular indica distribuição linear de tensões, redução do 
espaçamento indica concentração de tensões. Uma peça curva de seção transversal constante, com 
concordância circular e prolongamento, é apresentada na figura ao lado. O elemento está equilibrado por 
duas cargas momento M, e tem seu estado de tensões apresentado por fotoelasticidade. 
 
Interprete a imagem e, em relação ao estado de tensões nas seções PQ e RS, o módulo de tensão normal 
no ponto 
 
 
 
R é maior que o módulo da tensão normal no ponto S. 
 
Q é maior que o módulo da tensão normal no ponto R. 
 
S é menor que o módulo da tensão normal no ponto P. 
 
Q é menor que o módulo da tensão normal no ponto S. 
 
P é maior que o módulo da tensão normal no ponto R. 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a figura plana composta pelo quadrado (OACD) de lado 18 cm e o triângulo (ABC) de base (AC) 
18 cm e altura 18 cm. Sabendo que o centroide da figura (OABCD) está na posição de coordenadas (9, 14), 
determine o momento inércia Ix em relação ao eixo x que passa pelo centroide da figura plana (OABCD). 
 
 
 
 
4374 cm
4
 
 
6804 cm
4
 
 
23814 cm
4
 
 
11664 cm
4
 
 
230364 cm
4
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa pelo centro de 
gravidade. (medidas em centímetros) 
 
 
 
 
 
986 cm4 
 
1375 cm4 
 
1524 cm4 
 
1024 cm4 
 
1180 cm4 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considere a seção reta de uma viga no plano xy. Sua área é A e o eixo y é um eixo de simetria para esta 
seção reta. A partir destas informações, marque a alternativa correta. 
 
 
 
O produto de inércia I xy desta seção sempre será zero 
 
O produto de inércia I xy desta seção pode ter um valor positivo 
 
O produto de inércia I xy desta seção sempre será um valor positivo 
 
O produto de inércia I xy desta seção sempre será um valor negativo 
 
O produto de inércia I xy desta seção pode ter um valor positivo 
Resistência dos Materiais II / Aula 3 – Torção 
Você já praticou uma torção? 
Quando pensamos em torção e no comportamento de um objeto submetido a ela, lembramos logo situações do dia a 
dia como, por exemplo, torcer uma roupa molhada ou uma esponja. 
 
Essas são situações de grandes deformações sob o ponto de vista do comportamento estrutural. 
 
Quando se pensa em uma estrutura em regime de carga, não podemos admitir deformações perceptíveis. Por isso, é 
usual se dizer que uma estrutura deve “trabalhar” em um regime de pequenas deformações. 
O conceito que envolve uma deformação ser grande ou pequena deve estar sempre atrelado à percepção humana. 
 
Uma estrutura bem projetada deve ter pequenas deformações e, portanto, imperceptíveis. 
 
Para isso, o material deve ser adequado ao projeto de forma que, com as dimensões requeridas, as tensões 
desenvolvidas em regime de pequenas deformações sejam compatíveis com a sua resistência. 
Teóricos 
 
As teorias que vamos estudar nesta aula foram inicialmente desenvolvidas por Coulomb, aquele mesmo da 
eletricidade, que iniciou o processo, e por Thomas Young, o do módulo de elasticidade. 
 
Porém, foi Saint-Venant que realmente a desenvolveu em detalhes e conseguiu modelar matematicamente o 
comportamento das barras submetidas à torção. 
 
Como nosso interesse aqui se limita ao âmbito das estruturas, a análise da configuração deformada da barra de seção 
circular sob efeito de torção será desenvolvida supondo pequenas deformações. Isso nos leva a uma deformada 
geometricamente mais simples e a um modelo matemático compatível com este tipo de consideração. 
 
Deformação por torção 
Suponha uma barra de seção circular conforme mostra a figura: engastada em uma extremidade e livre na outra, sobre 
a qual são desenhadas linhas longitudinais paralelas ao seu eixo e círculos transversais igualmente espaçados. 
 
A torção provoca um giro em torno do eixo longitudinal da barra e, caso haja algum impedimento ao giro, surgem 
tensões internas associadas às deformações desenvolvidas. 
 
Quando isso ocorre, a configuração deformada da barra assume uma conformação geométrica tal que suas seções 
transversais, inicialmente planas, permanecem planas após a aplicação da torção, ou seja, após o giro. 
 
Isso pode ser percebido visualmente na configuração deformada. 
Já quanto às linhas longitudinais não se pode dizer o mesmo. Elas se deformam de acordo com o ângulo de giro 
experimentado pela barra, como também observamos na figura. 
 
Portanto, vamos prosseguir lembrando que estamos no universo das pequenas deformações. 
 
Isso faz com que as seções transversais permaneçam circulares, sem alteração de diâmetro e, por último, que o 
comprimento da barra também permaneça inalterado. 
 
No entanto, se compararmos as duas seções extremas, não é difícil perceber que, por impedimento físico, uma delas 
permaneceu inalterada e a outra registrou o giro demarcado na figura que destaca o ângulo de torção. 
Fonte: Shutterstock 
Já a figura abaixo mostra a variação do ângulo de torção ao longo do eixo longitudinal da peça denominado de x. 
 
É fácil perceber que há um crescimento linear de zero até o ângulo da seção transversal da outra extremidade da 
barra. 
 
Deformação por cisalhamento 
Nosso próximo passo é estabelecer as relações matemáticas que descrevam numericamente o comportamento 
descrito, observado e percebido. 
 
Para isso, vamos nos concentrar em um elemento da barra em uma seção intermediária qualquer. 
 
Com isso, a face anterior possuirá rotação φ(x) e a posterior φ(x+Δx), caracterizando uma deformação por 
cisalhamento, pois o ângulo de torção φ(x) cresce na medida em que x aumenta. 
 
 
Pode-se perceber, também, que as deformações são nulas no eixo central e aumentam na medida em que se caminha 
para a superfície ao longo de um raio da seção circular. 
 
Basta reparar na distância entre b e b’ no elemento destacado da barra e entre n e n’ na seção extrema da barra. 
 
Dessa forma, podemos estabelecer duas relações geométricas que caracterizam a deformação. 
 
Uma na superfície da barra identificada por ϒ (gama) em radianos, que pode ser vista seguindo a-b-b’ no elemento 
destacado, e outra, na seção transversal, identificada por dφ em radianos, que interliga os mesmos b e b’ até o centro 
do círculo da seção transversal. 
 
Agora vamos imaginar uma distância que será medida a partir do centro da seção transversal ao longo do raio. 
 
Será identificada pela letra grega ρ (rô) e que pode variar de zero (centro da seção) até R, valor do raio da seção. 
Como estamos lidando com pequenas deformações podemos admitir que: 
bb' = ϒ dx = ρ dφ 
Com isso, podemos afirmar que: 
 
Como a taxa de variação dφ do ângulo de torção é constante ao longo do comprimento dx de barra de seção circular 
sujeita a torção pura, o ângulo de torção por unidade de comprimento, designado por θ, é: 
 
 
Podemos observar que a deformação é nula no centro, que vai crescendo com o raio e atinge o valor máximo na 
superfície. Também é possível perceber que a variação é linear, pois é estabelecido o ângulo de torção Ф, 
característico de uma seção. 
Essa conformação deformada nos leva ao próximo passo que é o estudo das tensões desenvolvidas no material por 
conta das deformações promovidas pela ação do momento torsor. 
 
Fonte: Shutterstock 
De volta às tensões 
Com a geometria da deformação definida, vamos recorrer à Lei de Hooke aplicada ao cisalhamento: 
τ = Gϒ 
Onde:τ: tensão de cisalhamento 
G: módulo de elasticidade transversal (cisalhamento) 
 
Como ϒ=ρ θ, então: 
τ = G ρ θ 
 
Ângulo de torção 
O estudo da torção faz com que seja necessária uma grandeza geométrica denominada Momento Polar de Inércia (J0). 
 
Se você tiver alguma dúvida, pode voltar nas aulas 1 e 2. 
 
Agora vamos construir uma relação entre os dados de entrada de um problema real. Nosso objetivo é especificar uma 
expressão para determinar o ângulo de torção. 
 
O problema real seria uma barra de seção circular maciça, de um determinado material com um comprimento definido. 
 
Se aplicarmos um momento torsor, qual seria o ângulo de torção? 
Dados: 
T – Momento torsor; 
G – Módulo de elasticidade transversal do material da barra; 
ρ – Raio medido a partir do centro, variando até a superfície; 
ϴ - Ângulo por unidade de comprimento; 
Φ – Ângulo de torção. 
Pensando no equilíbrio de uma seção transversal, o momento torsor aplicado deve ser igual à resultante das tensões 
na seção. 
 
Se isolarmos um elemento de área infinitesimal dA, submetido a uma tensão τ, sua resultante é τ dA e sua contribuição 
de momento é τ ρ dA. 
 
Utilizando a expressão vista anteriormente para a tensão τ, que pode ser avaliada por G Ρ ϴ, podemos dizer que a 
contribuição de momento torsor de um elemento dA é definido pela expressão: G ρ 2 ϴ dA. 
 
A resultante de tensões, equivalente ao torsor aplicado, então, seria: 
 
A parcela ∫A p
2
 dA é denominada Momento Polar de Inércia, identificado por J0. 
 
No caso da seção circular, seu valor é igual a πr
4
/2. 
 
Prosseguindo o nosso raciocínio, podemos, então, dizer que: T = GJ0ϴ 
 
Reorganizando: 
 
Como ϴ é o ângulo de torção por unidade de comprimento e o nosso objetivo é o ângulo de torção, temos que 
multiplicar pelo comprimento. 
Em um caso genérico, onde o torsor e a seção variam ao longo do comprimento da barra, podemos utilizar o recurso 
da integração como na expressão: 
 
Curiosidade 1: O produto GJ0 é denominado Módulo de Rigidez à Torção do eixo. 
 
Curiosidade 2: Se reorganizarmos a equação do ângulo de torção da forma G = TL/ΦJ0, fica evidenciada uma forma 
usual de se determinar, em laboratório, o módulo de elasticidade transversal do material, bastando para isso aplicar um 
torsor na barra, medir o ângulo de torção e aplicar a expressão. 
Como estamos tratando da barra de seção circular maciça, seu momento polar de inércia pode ser calculado pela 
soma de Ix com Iy para o círculo, que são valores iguais, devido à simetria. 
 
Portanto, ao realizarmos os cálculos, devemos usar a seguinte expressão para determinar o valor do momento polar de 
inércia para seções maciças circulares: 
 
De volta às tensões 
Agora vamos nos voltar novamente para as tensões. 
Já vimos que: 
 
Com isso, temos 2 equações que relacionam o momento torsor T com valores de grande interesse em projeto, o 
ângulo de torção e a tensão máxima. 
 
Tensões e direções principais 
Considerando o estado de tensão de um ponto material qualquer de uma barra submetida à torção, podemos estimar o 
valor da tensão pela expressão desenvolvida: 
 
No entanto, para equilibrar a tensão na direção do plano da seção, surgem tensões longitudinais, conforme a figura. 
 
Assim, as tensões principais se desenvolvem na superfície da barra inclinadas a 450 em relação ao eixo longitudinal da 
barra, da seguinte forma: 
 
Por isso, barras com seção circular formadas por materiais frágeis (apresentam pouca deformação na ruptura) rompem 
segundo linhas de ruptura perpendiculares às tensões principais de tração, conforme a figura. 
 
Já para materiais dúcteis, as tensões elevadas na superfície levam o material ao escoamento, fazendo com que a 
barra passe a trabalhar em regime inelástico, modificando o diagrama de tensões. 
 
Como no escoamento é possível que diferentes deformações convivam com o mesmo nível de tensão (patamar de 
escoamento no diagrama tensão deformação), as tensões passam a ter a seguinte evolução: 
 
Vamos praticar? 
Prática 1: 
 
Em um eixo de aço (G=50GPa) com seção circular com raio de 10cm e comprimento de 10m é aplicado um momento 
torsor de 1MN.m. 
 
Qual é a rotação entre os dois extremos do eixo? 
 
Prática 2: 
 
Determine o percentual de um momento torsor aplicado a uma seção circular que é resistido pela porção da periferia, 
definida entre r/2 e r. 
 
 
Aqui foi considerada como dA a área de um anel de espessura 𝑑𝜌 que é igual a 2𝜋𝜌 𝑑𝜌, onde 2𝜋𝜌 é o perímetro do 
anel destacado na figura. 
 
Se aplicarmos a relação entre a tensão máxima e o momento torsor, temos o seguinte: 
 
Portanto, o torsor resistido pela porção definida é de 93,75% 
Seção circular vazada 
Como vimos, no regime elástico, as regiões próximas do eixo trabalham em níveis de tensão muito inferiores aos das 
regiões próximas da superfície da barra, que trabalham nos níveis mais elevados. 
 
Seções vazadas permitem a economia de material, redução do peso e baixa perda de performance, pois o material 
retirado pouco contribuiria para a resistência da peça. 
 
As hipóteses vistas até aqui permanecem válidas, a não ser para a medida que chamamos de ρ, que mede a distância 
do eixo até a superfície, que agora irá variar de um valor inicial diferente de zero, que é o raio interno da seção até um 
valor máximo igual ao raio da seção. 
 
 
Prática 3: 
 
Especifique os diâmetros externo e interno de um eixo de aço sujeito a um torque de 2 kNm, de modo que a tensão 
máxima de cisalhamento seja 84MPa e o ângulo de torção seja de 2,5 graus para um comprimento de 3m. 
 
Dado G = 84GPa. 
 
Temos que avaliar 2 condições: ângulo e a tensão. 
 
Com isso, já temos a primeira resposta: 
 
Dext = 2 . 6.875 = 13,75cm 
 
Como já definimos o valor do momento polar de inércia e do diâmetro externo, podemos definir o diâmetro interno. 
 
Portanto, o diâmetro interno é Dint = 2 . 5,525 = 11,05cm 
Tubos fechados de paredes finas 
Um tubo vazado pode ser considerado de parede fina quando a espessura de sua parede (e) é pequena em relação à 
dimensão total da seção. 
 
Como a espessura da parede é pequena, a variação do raio também é pequena, permitindo que o modelo adotado 
para estimar deformações e tensões nessas circunstâncias admita tensão constante na parede. 
 
Portanto, em uma seção vazada com parede fina, admite-se tensão constante circulando pela parede. É o chamado 
fluxo de cisalhamento. 
 
Vamos considerar um elemento infinitesimal abcd que necessariamente deve estar em equilíbrio (∑F = 0 e ∑M = 0). 
 
Como dx é o mesmo, o produto 𝜏𝑒 deve ser constante. O que dá o suporte matemático ao conceito de fluxo de 
cisalhamento. 
 
A ideia do fluxo constante permite afirmar que qualquer variação de espessura na parede da seção tenha que ser 
compensada na tensão para que o fluxo de cisalhamento (𝜏𝑒 )mantenha-se constante. 
 
Portanto, o aumento da espessura implica em uma redução da tensão da mesma forma que uma diminuição da seção 
provoca um aumento da tensão. 
No caso de espessura constante, a tensão é uniforme ao longo de todo o contorno. 
Torque e fluxo de cisalhamento 
Agora vamos relacionar o momento torsor (torque) com o fluxo de cisalhamento. 
 
O momento torsor aplicado na seção se distribui na parede sob a forma de tensão. Isso faz com que, para haver 
equilíbrio estático, o momento provocado pela distribuição de tensões ao longo de toda a parede da seção provoque 
um torsor em relação ao eixo longitudinal igual ao torsor aplicado. 
 
Vamos calcular o momento torsor provocado pela distribuição de tensão em um elemento infinitesimal em relação ao 
eixo. 
 
Considerando que f seja o fluxo de cisalhamento, obtido pelo produto da tensão pela espessura da parede, basta 
multiplicarmos pelo comprimento ds do elemento infinitesimal para obtermoso valor da força resultante dF = fds. 
 
A linha pontilhada representa a linha média da parede fina, onde ficarão posicionadas as forças resultantes dF de cada 
elemento infinitesimal. 
 
O momento torsor provocado pela força resultante dF vale: 
 
dT = r f ds 
Portanto, para obtermos o torsor, temos que somar a contribuição de cada elemento infinitesimal ao longo de toda a 
parede. 
 
Fazemos isso através da seguinte integração: 
 
A resolução dessa integral, por simplicidade, pode ser obtida por interpretação geométrica. 
 
Repare que o produto r ds gera como resultado a área de um retângulo que corresponde ao dobro da área do triângulo 
destacado na figura. 
 
De volta ao ângulo de torção 
O ângulo de torção de um tubo de parede fina é determinado por métodos de energia que, a partir do conceito de 
conservação de energia, iguala o trabalho realizado pelas ações que atuam sobre a peça à energia de deformação 
acumulada na estrutura. 
 
Utilizando essa lógica, chega-se à seguinte expressão: 
 
Considerando uma seção bem comportada geometricamente, com espessura constante, podemos evoluir para uma 
simplificação da expressão, da seguinte forma: 
 
Onde a integral de linha representa o perímetro das seção medido ao longo da linha média. 
Barras maciças não circulares 
A configuração deformada de barras não circulares assume grande complexidade geométrica pela forma com que as 
tensões se distribuem na seção, provocando um abaulamento nas superfícies originalmente planas da geometria não 
deformada, além, é claro, dos efeitos esperados da torção, como pode ser visto na figura. 
 
A modelagem matemática desse problema é objeto de estudo de disciplinas mais avançadas, normalmente 
contempladas em cursos de Pós-graduação que tratam da Teoria da Elasticidade. 
 
Esses estudos nos dão a possibilidade de estimar as tensões máximas e os ângulos de torção em barras de seção 
quadrada, triangular e elíptica, conforme a tabela: 
 
 
Tensão admissível 
O processo de dimensionamento passa pelas Normas Técnicas que preconizam todos os processos em normas 
específicas para cada tipo de material. 
 
No Brasil, temos a ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) que produziu normas específicas para projetos 
em estruturas de aço (NBR-8800), de concreto (NBR-6118) e de madeira (NBR-7190). 
 
Hoje, os processos de projeto se baseiam no conceito dos estados limite, que são objetos de estudo nas disciplinas 
específicas de projeto de estruturas. 
 
Aqui cabe, de uma forma genérica, utilizar o conceito das tensões admissíveis, que tem como ideia central limitar a 
tensão máxima imposta à peça em regime de trabalho a um valor inferior à tensão limite associada à resistência do 
material, que seria a tensão admissível. 
 
Com isso, garantimos que a peça está em segurança, pois sua tensão máxima estará afastada da tensão considerada 
limite para o material, já que as condições de projeto impõem dimensões aos elementos de forma que as tensões 
nunca ultrapassem o valor da tensão dita admissível. 
 
A relação entre o limite da resistência e a tensão admissível representa o coeficiente de segurança. 
 
Onde A é a área da seção transversal do corpo de prova. 
 
Método direto para determinação da tensão de cisalhamento última. 
 
Atividade 1 
Considere um eixo em forma de tronco de cone com raio variando de ra até rb e comprimento L. 
 
Desenvolva uma equação que seja capaz de representar a tensão de cisalhamento máxima para o eixo em uma 
posição x a partir da expressão desenvolvida para o cisalhamento. 
 
 GABARITO 
Atividade 2 
Comparar os momentos torsores máximos resistidos por 4 barras de 1m de comprimento, engastadas em uma 
extremidade e livres na outra, considerando um material que admite uma tensão máxima de 100Mpa. 
 
• Barra 1 - seção circular maciça com 10cm de diâmetro; 
• Barra 2 - seção maciça quadrada com a mesma área da barra 1; 
• Barra 3 - seção circular, como a da barra 1, mas com parede fina de 1cm de espessura; 
• Barra 4 - seção quadrada, como a da barra 2, mas com parede fina de 1cm de espessura. 
 GABARITO 
Barra 1: 
 
Barra 2: 
 
Barra 3: 
 
Barra 4: 
 
Resumo: 
 
Exercícios! 
1 - Considere o tubo de parede fina com seção externa de 70x30mm e espessura de 10mm. 
Para um momento torsor T de 50Nm, a tensão de cisalhamento média é: 
 
5 MPa 
50 MPa 
2,08 MPa 
1,19 MPa 
500 MPa 
Exercícios! 
2 - Analise 2 eixos de mesmo diâmetro externo (2c), sendo um vazado, com raio interno c/2 e outro maciço, 
conforme a figura. 
Calcule os valores máximos de tensão nos dois casos e determine o aumento em termos percentuais do valor 
obtido no tubo em relação ao eixo de seção maciça. 
 
50 % 
25 % 
3,33% 
6,67 % 
10 % 
 
Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de comprimento e diâmetros interno e externo, 
respectivamente, iguais a 40 mm e 60 mm. Qual o maior torque que pode ser aplicado à barra circular se a tensão 
 
 
de cisalhamento não deve exceder 120 MPa? 
 
 
6,50 KN.m 
 
3,08 KN.m 
 
4,08 KN.m 
 
2,05 KN.m 
 
5,12 KN.m 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sobre o fenômeno da torção em um tubo quadrado de paredes fina de comprimento L, área média Am , 
espessura t e módulo de cisalhamento G, pode-se afirmar que: 
 
 
 
O ângulo de torção diminui com a redução da área média do tubo; 
 
A tensão de cisalhamento média diminui com o aumento da espessura de parede do tubo; 
 
A tensão de cisalhamento média diminui com o aumento do torque aplicado; 
 
A tensão de cisalhamento média aumenta com o aumento da área média; 
 
O ângulo de torção aumenta com uma redução do comprimento L do tubo; 
 
 
 
 
3. 
 
 
Um motor de 20 HP (1 HP = 746 W) em cujo eixo gira a uma rotação 1.800 rpm, aciona uma máquina. Qual 
o torque aplicado ao eixo. 
 
 
 
51,4 N.m 
 
27,3 N.m 
 
82,8 N.m 
 
79,2 N.m 
 
8,28 N.m 
 
 
 
 
4. 
 
 
Sobre o fenômeno da torção de eixos maciços não circulares marque a alternativa incorreta: 
 
 
O ângulo de torção aumenta com a redução do módulo de cisalhamento; 
 
A tensão de cisalhamento é distribuída de forma que as seções transversais fiquem abauladas ou 
entortadas; 
 
A tensão de cisalhamento máxima ocorre no interior da seção transversal; 
 
A tensão de cisalhamento aumenta com o aumento do torque aplicado; 
 
Para eixos de seção transversal quadrada a tensão máxima de cisalhamento ocorre em um ponto da 
borda a seção transversal mais próxima da linha central do eixo; 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere um eixo maciço e homogêneo com seção circular de raio 30 cm. Sabe-se que este eixo se 
encontra em equilíbrio sob a ação de um par de torques T. Devido a ação de T, as seções internas deste 
eixo estão na condição de cisalhamento. Se, na periferia da seção, a tensão de cisalhamento é de 150 MPa, 
determine a tensão de cisalhamento, nesta mesma seção circular, a uma distância de 20 cm do centro. 
 
 
 
Nula 
 
50 MPa 
 
150 MPa 
 
Não existem dados suficientes para a determinação 
 
100 MPa 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sobre o fenômeno da torção de eixos circulares não maciços marque a alternativa incorreta: 
 
 
A tensão de cisalhamento diminui com o aumento do diâmetro interno do tubo; 
 
A tensão de cisalhamento máxima ocorre na periferia da haste e tem uma variação linear; 
 
O ângulo de torção diminui com uma redução do momento de torção; 
 
O ângulo de torção aumenta com a redução do módulo de cisalhamento; 
 
A tensão de cisalhamento depende do momento de torção; 
 
 
 
 
7. 
 
 
Em uma estrutura de concreto armado formada por vigas, lajes e pilares, a força queé aplicada em uma 
viga, perpendicularmente ao plano de sua seção transversal, no centro de gravidade, com a mesma direção 
do eixo longitudinal da viga e que pode tracionar ou comprimir o elemento, é a força 
 
 
 
Torção 
 
Cortante 
 
Flexão 
 
cisalhante 
 
Normal 
 
 
 
 
8. 
 
 
Um eixo tubular vazado possui diâmetro interno de 3,0cm e diâmetro externo de 42mm. Ele é usado para 
transmitir uma potência, por meio de rotação, de 90000W as peças que estão ligadas as suas extremidades. 
Calcular a frequência de rotação desse eixo, em Hertz, de modo que a tensão de cisalhamento não exceda 
50MPa. 
 
 
 
26,6 Hz 
 
30,2 Hz 
 
35,5 Hz 
 
42 Hz 
 
31 Hz 
 
Resistência dos Materiais II / Aula 4 - Flexão: diagramas de cortante e de momento fletor 
 
Viga biapoiada 
A viga biapoiada se caracteriza por possuir dois apoios que impedem o 
deslocamento vertical e liberam o giro da barra. 
Para que a barra não fique livre horizontalmente, um dos apoios também 
impede o deslocamento horizontal. No caso (a), o apoio da esquerda impede 
os 2 deslocamentos. 
A viga em balanço (b) se caracteriza por ser engastada em uma de suas 
extremidades e livre na outra. O engaste impede os deslocamentos (horizontal 
e vertical) e a rotação. 
A viga biapoiada com extremidade em balanço (c) mistura as situações (a) e 
(b). 
Veremos os efeitos dos carregamentos nas vigas, começando pela 
determinação das reações de apoio e, na sequência, vamos desenvolver 
metodologias para a criação dos diagramas de esforços cortantes e de 
momentos fletores. 
Cargas 
Vamos iniciar estudando as cargas atuantes nas vigas. As cargas podem ser 
concentradas ou distribuídas. 
As cargas distribuídas podem, para efeito de equilíbrio, ser substituídas pela sua resultante posicionada 
estrategicamente no centroide da distribuição. 
Portanto, para questões de equilíbrio, podemos substituir carregamentos distribuídos por concentrados “equivalentes” 
(que produzem o mesmo efeito). 
Seguindo essa ideia, vamos iniciar pela distribuição mais simples: a carga uniformemente distribuída. 
 
A carga uniformemente distribuída 
A resultante de uma carga uniformemente distribuída pode ser obtida pela “área” do carregamento, ou seja, pelo 
produto de q (kN/m) por L(m), o que nos daria uma resultante Q (kN) = q . L. 
Para que o efeito produzido pelo carregamento distribuído seja o mesmo que o da carga resultante, é preciso 
posicionar a resultante Q no centroide da “área” do carregamento, que, por se tratar de um retângulo, fica exatamente 
em seu centro, ou seja, em L/2. 
 
Vamos evoluir para o caso da distribuição linear (carga triangular). 
A resultante também será obtida pela “área” do carregamento que, para o caso do triângulo, pode ser computada como 
qo L / 2. 
 
Para que o efeito produzido pelo carregamento distribuído seja o mesmo que o da carga resultante, é preciso 
posicionar a resultante Q no centroide da “área” do carregamento que, por se tratar de um triângulo, fica exatamente a 
2/3 do vértice com valor nulo, ou seja, em 2L/3. 
 
O carregamento em forma trapezoidal só incorpora trabalho braçal, pois, na verdade, trata-se da combinação dos dois 
casos anteriores. 
 
Análise de situação genérica 
Prosseguindo, vamos para uma situação genérica, que é uma carga com variação descrita por uma função qualquer. 
 
Na figura, temos um trecho de viga, de comprimento L, recebendo uma carga com intensidade descrita pela função 
q(x), em um intervalo que varia de a até b. 
Seguindo o mesmo raciocínio, a resultante Q pode ser obtida através da “área” do carregamento. Para isso, vamos 
recorrer à integração da função entre a e b. 
 
E para determinar o ponto de aplicação? 
Podemos utilizar a geometria e o cálculo dos centroides de áreas planas estudado na aula 1. Mas também vale a pena 
raciocinarmos no tema que estamos discutindo. 
Vamos imaginar um elemento infinitesimal de carga em uma posição x, a partir de a. 
Qual é o momento produzido por essa carga infinitesimal em relação ao ponto a? 
 
Basta multiplicar a carga por x! 
Se somarmos os momentos em relação ao ponto a produzidos por todos os elementos infinitesimais 
existentes entre a e b, o valor obtido será o momento produzido por todo o carregamento em relação ao ponto 
a. 
A seguinte integração expressa o momento em relação ao ponto a produzido pelo carregamento distribuído de acordo 
com a função q(x): 
 
Estamos buscando um posicionamento para a resultante Q, já conhecida, que produza exatamente o mesmo momento 
Ma gerado pelo carregamento. 
Para descobrirmos qual é o ponto em que devemos posicionar a força para obter o mesmo momento, basta perceber 
que: 
 
Prática 1 
 
Chegou a hora de praticar. 
Vamos analisar uma viga com um carregamento bem variado. O objetivo é substituir cada carga distribuída por uma 
carga concentrada “equivalente”, ou seja, que produza o mesmo efeito para fins de equilíbrio. 
Carregamento 1 
Carga com variação linear iniciando com valor nulo e variando até 5kN em 3m. 
Resultante: Q1 = 3 . 5 / 2 = 7.5kN 
Posição: Considerando o apoio esquerdo na posição x=0, a resultante fica a 2/3 do início do carregamento, ou seja 
( ̅x12𝑚 ). 
Carregamento 2 
Carga uniforme com valor de 5kN em 2m. 
Resultante: Q1 = 2 . 5 = 10.0kN 
Posição: A resultante fica no centro do carregamento, ou seja ( ̅x24𝑚 ). 
Carregamento 3 
Carga com variação linear com valor inicial de 5kN e final de 8,0kN em 1,8m. 
Vamos dividir o carregamento em dois que se estendem por 1,8m, sendo um uniforme de 5,0kN e outro com variação 
linear iniciando com valor nulo e variando até 3.0kN. 
Resultante: Q3a = 1,8 . 5 = 9.0 kN e Q3b = 1,8 . 3 / 2 = 2.7 kN 
Posições: A resultante Q3a fica no centro do carregamento, ou seja ( ̅x3a = 3+2+0,9=5,9𝑚) e a resultante Q3b fica a 2/3 
do início do carregamento, ou seja, ( ̅x3b= 3+2+1,2=6,2𝑚). 
Carregamento 4 
Carga com variação segundo a função q(x) iniciando com valor 8, evoluindo para um valor nulo em 4m. 
Considerando a função, percebe-se que, em x=0, ela vale 8 e, em x=4, vale 0. 
Portanto, esses serão os limites da integração. 
Resultante: 
 
Posição: 
 
 
Portanto, a resultante Q4 deve ser posicionada em ( ̅x4= 8,3𝑚). 
Resumo: 
 
Reações de apoio 
Matematicamente, os apoios são incógnitas que podem ser calculadas em função do equilíbrio da viga. 
O somatório das forças aplicadas e das reações deve ser nulo, assim como o momento em um apoio simples extremo. 
Com essa ideia, conseguimos construir as equações e calcular as reações de apoio. 
Como você já deve conseguir reduzir um carregamento distribuído em uma carga concentrada 
estrategicamente posicionada, como acabamos de ver, esse é o primeiro passo para o cálculo das reações. 
Na sequência, devemos construir as equações de equilíbrio e determinar o valor das reações. 
Inicialmente, vamos pensar em uma viga com uma carga concentrada. 
 
Para garantirmos o equilíbrio, podemos afirmar que: 
 
Dessa forma, podemos afirmar que: 
Ra + Rb = 15 
Se Ma = 0, então Rb . 8,5 = 15 . 5, o que nos dá um valor de 𝑅b=(15 . 5 )/8,5=8,82 𝑘𝑁 
Logo, Ra = 15 - 8,82 = 6,18 kN 
Também poderíamos ter considerado Mb=0 e, assim, montado a expressão 
Ra . 8,5 = 15 . 3,5. Isso nos daria 𝑅a=(15 . 3,5)/8,5=6,18 𝑘𝑁 
Repare que podemos, para efeito de simplificação, adotar, de forma genérica uma regra: 
 
 
Agora, só falta verificarmos como ficaria uma carga posicionada em um trecho em balanço. 
 
Nesse caso, Ra + Rb = 15 
Ma = 0, então Rb . 8,0 = 15 . 11,5, o que nos dá um valor de 𝑅b=(15 . 11,5)/8,0=21,56 𝑘𝑁 
Logo, Ra = 15 – 21,56 = -6,56 kN, o que nos indica que a reação do apoio a está invertida (é para baixo), pois quando 
pressionamos a pontado balanço, a outra extremidade tende a levantar. 
Nesse caso, não poderíamos considerar Mb=0 porque o momento ali vale 15 . 3,5 = 52,5kNm. 
Pela convenção de sinal normalmente adotada, esse momento é negativo, pois produz uma tendência de giro no 
sentido horário. 
Dessa forma, poderíamos ter montado a expressão Ra . 8,0 = -52,5, o que nos daria um valor de -6,56kN para Ra. 
E no caso de termos várias cargas concentradas? 
Não tem problema. É só trabalho braçal. 
Vamos ter que calcular as reações para cada carga concentrada e acumular os valores de Ra e Rb até o final. 
Vamos agora para a prática 2, que será continuação da prática 1. 
Prática 2 
Vamos calcular as reações da viga utilizada na prática 1. 
 
Seguindo a sugestão, vamos calcular 𝑅a=(𝑃.𝑏)/𝐿 para cada carga e organizar os dados em uma tabela: 
 
Momentos fletores e esforços cortantes 
As cargas que atuam nas vigas provocam nas seções internas tensões normais e de cisalhamento. 
As tensões normais, parte de tração e parte de compressão, podem ser substituídas por um binário resultante que, por 
sua vez, pode ser visto como um momento, que é denominado momento fletor. 
As resultantes das tensões de cisalhamento, que atuam no plano das seções, podem ser vistas forças cortantes. 
Os momentos fletores e os esforços cortantes variam ao longo da viga e, como eles são fundamentais ao projeto, você 
terá que aprender a construir a melhor forma de representá-los, que é através da visualização gráfica, os 
conhecidos diagramas de cortantes e de momentos. 
Diagramas de esforços cortantes 
O que é um esforço cortante? 
É a resultante de tensões cisalhantes presentes nas seções transversais das vigas. 
Como podemos avaliá-las? 
Uma das formas é utilizarmos o método das seções já estudado em disciplinas anteriores. Vamos recordar! 
Se tivermos uma viga submetida a um determinado carregamento e desejamos avaliar o esforço cortante em uma 
determinada seção, o procedimento mais comum é: 
 Calcular as reações de apoio (que acabamos de estudar); 
 Proceder um corte na viga exatamente no ponto de interesse, gerando duas porções, uma à esquerda da seção e outra 
à direita; 
 Equilibrar a porção da viga à esquerda da seção. Isso significa considerar o somatório de forças e de momentos nulos 
na seção. 
O equilíbrio só é possível se existirem uma força vertical e um momento aplicado na seção. 
A força é o esforço cortante e o momento é o momento fletor. 
O significado físico desses esforços pode ser entendido como a ação que a porção desprezada (lado direito da seção) 
exercia sobre a seção analisada. 
Vamos ver inicialmente a convenção de sinais: 
 
Exemplo: 
Considere uma viga biapoiada com vão L e carga distribuída q. 
 
Vamos determinar as reações de apoio. 
A carga total é obtida pelo produto de q e L. Como ela é uniformemente distribuída, as reações serão iguais, cada uma 
com metade da carga total. 
 
Chegou a hora de promover o corte na seção de interesse e trabalhar a porção esquerda da seção escolhida. 
Vamos imaginar uma seção genérica, situada a uma distância x do apoio esquerdo. 
 
Equilíbrio da porção à esquerda da seção. O somatório de forças verticais deve ser nulo. 
Quais são as forças que agem sobre a porção que estamos analisando? 
 
 A reação de apoio; 
 A parte do carregamento que ficou à esquerda do corte; 
 O esforço cortante, que é a força proveniente da seção cortada e dispensada (da direita); 
 Para o equilíbrio ser finalizado precisaríamos equilibrar o momento, mas vamos deixar esse passo para quando formos 
estudar os momentos fletores. 
Considerando que a distância da seção estudada até o apoio da esquerda vale x, a resultante do carregamento atuante 
é obtida pelo produto q x e posicionada exatamente em x/2. 
O equilíbrio das forças verticais nos leva a um valor para V que deve ser igual à diferença entre a reação e a resultante 
do carregamento à esquerda da seção, pois: 
 
Forças para cima devem ser iguais às forças para baixo: 
 
Com isso: 
 
Se generalizarmos e imaginarmos que x pode definir qualquer seção entre x=0 e x=L, teremos, na verdade, uma 
função V(x) que podemos desenhar. 
Não precisamos de muitos recursos matemáticos para observar de que se trata de uma função linear que, para x=0, 
vale zero e, para x=L, vale - 𝑞𝐿/2 . 
 
Interpretação do Diagrama de Esforços Cortantes 
Agora vamos interpretar este gráfico que é denominado Diagrama de Esforços Cortantes. Ele apresenta a variação 
do valor da força cortante ao logo do eixo longitudinal da viga. 
Qual a melhor forma de construí-lo? 
Vamos iniciar da extremidade esquerda, marcando o valor da reação de apoio. Como a força é para cima, marca-se 
seu valor também para cima. Agora vamos seguir varrendo a viga aumentando o valor de x. Como só temos um 
carregamento, o comportamento é o mesmo ao longo de toda a viga. 
A ação da carga aplicada é equivalente a acumular o valor q a cada metro que caminhamos para a direita. Portanto, 
iniciamos com o valor da reação de apoio e, a cada metro, perde-se um valor equivalente a q. Por isso, a variação 
linear. 
O que nos leva a uma situação matemática em que se pode afirmar que: 
 
Isso significa dizer que a inclinação do diagrama de esforços cortantes em cada ponto da viga tem o mesmo 
valor da carga distribuída no mesmo ponto, com valor negativo. 
 
Exemplo 
Vamos ver um exemplo numérico. 
Como sempre vamos iniciar pelas reações de apoio. Para isso, temos que calcular a resultante e a posição da carga 
distribuída. 
Por se tratar de carga distribuída, basta multiplicar seu valor pelo seu comprimento. Portanto, o valor será de 25kN, 
aplicados a 7,5m do apoio A. 
Dessa forma: 
 
 
 Ou simplesmente: 
 
Seguindo o raciocínio desenvolvido, vamos iniciar a construção do diagrama da esquerda para a direita, marcando o 
valor da reação de apoio para cima. 
 
Como não há carga aplicada até o meio do vão, o valor da reação permanecerá inalterado até lá. 
 
No meio do vão tem uma carga aplicada de 15kN concentrada para baixo. Como o diagrama está com valor positivo de 
13,75, ficará com valor de 1,25 negativo. 
 
Agora entraremos na região da carga distribuída, que produz uma diminuição de valor igual a 5kN/m. Portanto, em 5m, 
teremos uma diminuição de 25kN, levando o diagrama de -1,25 até -26,25 kN. 
 
Para fecharmos o diagrama, temos que aplicar a reação do apoio B, que é exatamente 26,25kN, que fechará o 
diagrama em equilíbrio com valor nulo. 
 
Diagramas de momentos fletores 
O que é um momento fletor? 
As tensões normais geradas nas seções transversais 
das vigas têm como resultante um binário que pode 
ser visto como um momento, que é denominado 
momento fletor. 
 
Como podemos avaliá-los? 
Uma das formas é utilizarmos o método das seções 
visto anteriormente. 
Se tivermos uma viga submetida a um determinado carregamento e desejarmos avaliar o momento fletor em uma 
determinada seção, o procedimento mais comum é: 
 
 Calcular as reações de apoio (vistas nesta aula); 
 Proceder um corte na viga exatamente no ponto de interesse, gerando duas porções, uma à esquerda da seção e outra 
à direita; 
 Equilibrar a porção da viga à esquerda da seção. Isso significa considerar o somatório de forças e de momentos nulos 
na seção. 
O equilíbrio só é possível se existirem uma força vertical e um momento aplicados na seção. 
A força é o esforço cortante e o momento é o momento fletor. 
O significado físico desses esforços pode ser entendido como a ação que a porção desprezada (lado direito da seção) 
exercia sobre a seção analisada. 
Vamos ver inicialmente a convenção de sinais para os momentos: 
 
Exemplo: 
Agora vamos ao mesmo exemplo desenvolvido para o cisalhamento. 
Considere uma viga biapoiadacom vão L e carga distribuída q. 
 
Já vimos o cálculo das reações. 
 
Vamos promover o corte na seção de interesse e trabalhar a porção esquerda da seção escolhida. 
Vamos imaginar uma seção genérica, situada a uma distância x do apoio esquerdo. 
Equilíbrio da porção à esquerda da seção: 
O somatório de forças verticais deve ser nulo, assim como o de momentos na seção de interesse. 
Quais são as forças que agem sobre a porção que estamos analisando? 
 A reação de apoio; 
 A parte do carregamento que ficou à esquerda do corte; 
 O esforço cortante, que é a força proveniente da seção cortada e dispensada (da direita); 
 Para que o equilíbrio seja atingido, o momento M destacado na figura terá o mesmo valor da soma dos momentos das 
forças atuantes em relação à seção, em sentido contrário. 
 
A distância da seção estudada até o apoio da esquerda vale x. 
O momento na seção devido à reação de apoio é: 
(sentido horário) 
A resultante do carregamento atuante é obtida pelo produto q x e posicionada exatamente em x/2, o que gera um 
momento na seção de: 
(anti-horário) 
Equilíbrio (soma dos momentos horários = soma dos momentos anti-horários): 
 
Com isso: 
 
Se generalizarmos e imaginarmos que x pode definir qualquer seção entre x=0 e x=L, teremos, na verdade, uma 
função M(x) que podemos desenhar. 
Não precisamos de muitos recursos matemáticos para observar de que se trata de uma função quadrática (parabólica) 
que, para x=0, vale zero e para x=L, também vale zero. 
 
Agora vamos interpretar esse gráfico que é denominado diagrama de momentos fletores. Ele apresenta a variação 
do valor do momento fletor ao longo do eixo longitudinal da viga. 
No Brasil, o diagrama de momentos é desenhado de forma invertida. O momento positivo para baixo e o negativo para 
cima. 
Portanto, se encontrar em algum livro o diagrama invertido, não estranhe. 
 
Isso significa dizer que a inclinação do diagrama de momentos fletores em cada ponto da viga tem o mesmo valor do 
esforço cortante. 
De maneira inversa, o valor do momento em qualquer ponto da viga é igual à área acumulada do diagrama de 
cortantes da extremidade até a seção analisada. 
Vamos ver o mesmo exemplo numérico. 
 
 
Já sabemos o valor das reações 
 
Bem como o diagrama de esforços cortantes. 
 
O primeiro trecho de 5m da viga não possui carga. Portanto, a sua variação acontece apenas pela multiplicação da 
reação pela distância, que varia de 0 a 5m. Como a reação vale 13,75kN, o momento máximo nesse trecho vale 13,75 . 
5 = 68,75kNm. 
 
A construção do trecho seguinte tem mais detalhes porque entram 2 carregamentos, a carga de 15kN e o 
carregamento uniformemente distribuído de 5kN/m. 
Vamos raciocinar com uma seção com x entre 5 e 10m: 
 A distância da reação até a seção será x; 
 A distância da carga concentrada até a seção será x-5; 
 O comprimento da carga distribuída será x-5; 
 O momento nesse trecho será 𝑀=13,75𝑥−15(𝑥−5)−5 (𝑥−5)((𝑥−5))/2; 
 Aplicando x=5, temos o valor de 68,75 kN; 
 Aplicando x=10, temos valor nulo; 
 O trecho possui forma parabólica. 
 
Exercícios! 
1 - Para a viga da figura, determine a menor reação de apoio: 
 
1000N 
500N 
750N 
1250N 
1500N 
2 - Para a viga da figura, determine o esforço cortante máximo: 
 
1000N 
2000N 
1750N 
1250N 
1500N 
3- Para a viga da figura, determine o momento fletor máximo: 
 
2,500kNm 
1,531kNm 
3.125kNm 
2,153kNm 
1,250kNm 
 
 
1. 
 
 
A viga engastada mostrada na figura possui uma reação em A que se opõe à rotação da viga. Determine 
essa reação. 
 
 
 
 
180 Nm no sentido anti-horário 
 
180 Nm no sentido horário 
 
600 N para baixo 
 
1800 Nm no sentido anti-horário 
 
600 N para cima 
 
 
 
 
2. 
 
 
Para o carregamento mostrado na figura, determine o valor do momento fletor máximo na viga AC, sabendo 
que a reação em A é RA = 13,75 kN. 
 
 
 
 
68,75 kNm 
 
75 kNm 
 
25 kNm 
 
26,75 kNm 
 
13,75 kNm 
 
 
 
 
3. 
 
 
Para o carregamento mostrado na figura, determine o valor das reações verticais nos apoios. 
 
 
 
 
RA = 13,75 kN e RC = 26,25 kN 
 
RA = 11,25 kN e RC = 8,75 kN 
 
RA = 8,75 kN e RC = 11,25 kN 
 
RA = 11,25 kN e RC = 28,75 kN 
 
RA = 26,25 kN e RC = 13,75 kN 
 
 
 
 
4. 
 
 
Para o carregamento mostrado na figura, determine na viga AC a posição onde o gráfico do esforço cortante 
tem uma descontinuidade, sabendo que a reação em A é RA = 13,75 kN. 
 
 
 
 
2,,5 m 
 
7,5 m 
 
2 m 
 
8 m 
 
5 m 
 
 
 
 
5. 
 
 
Um eixo não-vazado de seção transversal circular se encontra submetido a um momento de torção. 
Podemos afirmar que: 
 
 
 
a tensão de cisalhamento independe do momento de torção; 
 
a tensão de cisalhamento é nula na periferia da seção circular; 
 
a tensão de cisalhamento é máxima no centro da seção circular; 
 
a tensão de cisalhamento é constante ao longo da seção circular. 
 
a tensão de cisalhamento é máxima na periferia da seção circular; 
 
 
 
 
6. 
 
 
Em uma estrutura de concreto armado formada por vigas, lajes e pilares, a força que é aplicada em uma 
viga, perpendicularmente ao plano de sua seção transversal, no centro de gravidade, com a mesma direção 
do eixo longitudinal da viga e que pode tracionar ou comprimir o elemento, é a força 
 
 
 
Cortante 
 
Normal 
 
Torção 
 
Momento 
 
Flexão 
Resistência dos Materiais II / Aula 5 - Flexão: tensões normais e cisalhantes 
Deformação por flexão 
Nós vamos nos limitar a analisar vigas isostáticas retas, como já foi combinado anteriormente. 
 
Para entender como é a configuração deformada de uma viga, precisamos entender os apoios que são os elementos 
que impedem os deslocamentos em pontos estratégicos. 
 
A essência se reduz a duas situações relevantes, o apoio simples, que permite o giro e impede o deslocamento 
vertical, e o engaste, que, além de impedir os deslocamentos, impede o giro. 
 
A seguir é apresentado um conjunto de situações em que podemos perceber a diferença entre o apoio simples 
e o engaste. 
 
 
A linha inferior descreve a configuração deformada de cada caso. 
 
Uma viga jamais poderia ter uma configuração deformada como as da figura porque ela não estaria cumprindo seu 
papel, que seria, além de promover a condução das cargas aos apoios com segurança, passar a sensação de 
segurança. 
 
Isso somente seria possível com deformações imperceptíveis. Por isso, obviamente essas configurações deformadas 
estão exageradas para que possamos estudá-las. 
 
Uma forma interessante de estudo da configuração deformada das vigas é utilizar material deformável, como neoprene 
ou espuma. 
 
Um modelo de viga com uma malha ortogonal desenhada conforme a figura permite que possamos observar que, após 
carregada, as linhas horizontais se curvam e as verticais permanecem retas, mas sofrem rotação. 
Modelo matemático para representar esse comportamento 
Após essas observações, podemos tomar algumas decisões no sentido de construir um modelo matemático que possa 
representar esse comportamento: 
 
• O eixo longitudinal da viga que passa pelo centroide da seção transversal não sofre alteração de comprimento e 
passa a ser denominado eixo neutro, embora se curve; 
• As seções transversais permanecem planas e perpendiculares ao eixo neutro. Portanto, sofrem rotação; 
• As deformações da seção transversal no seu próprio plano serão desprezadas por não serem relevantes no contexto 
das pequenas deformações. 
 
Agora vamos isolar um pequeno trecho de uma viga com seção transversalgenérica, de comprimento Δx. 
 
Grandezas no elemento indeformado 
Vamos definir algumas grandezas no elemento indeformado: 
 
• Largura original Δx constante em toda altura; 
• Altura y medida a partir do eixo neutro; 
• Largura Δs medida em y vale Δx antes da deformação. 
 
Elemento deformado 
Agora vamos analisar o elemento após a deformação. 
 
Temos que destacar algumas grandezas novas: 
 
• Centro de rotação O’; 
• Raio ρ de O´até o eixo neutro; 
• Nova largura do elemento em y vale Δs; 
• Ângulo referente à porção analisada é Δθ. 
Veja a situação da porção deformada: 
 
• A espessura do elemento acima do eixo neutro é inferior a Δx; 
• A espessura do elemento abaixo do eixo neutro é superior a Δx; 
• O encurtamento que ocorre acima do eixo neutro só pode ser proveniente de tensões normais de compressão; 
• O alongamento que ocorre abaixo do eixo neutro só pode ser proveniente de tensões normais de tração. 
Antes da deformação, a espessura do elemento em uma posição y era Δs e passou a ser Δs´ após a deformação. 
Portanto, podemos nos organizar matematicamente e dizer que: 
 
Observando o elemento deformado, também podemos afirmar que, como Δs é igual a Δx e Δx pode ser escrito como 
ρΔθ, é possível reescrever a expressão da deformação assim: 
 
Isso não nos ajudou muito, mas Δ𝑠´ é a espessura da seção em y e, portanto, podemos dizer que vale (ρ−y)Δθ. 
 
Assim, podemos novamente reescrever a expressão da deformação: 
 
Cortando os Δθ: 
 
Um valor interessante é a deformação máxima. Como y é a distância medida a partir do eixo neutro, se consideramos c 
a distância máxima para chegarmos à superfície do elemento partindo do eixo neutro. 
 
Então, a deformação máxima será: 
 
Deformação em relação à deformação máxima 
As coisas podem até estar indo bem, mas ainda não temos ideia do valor de ρ. Logo, vamos trabalhar com a 
deformação em relação à deformação máxima para ver o que acontece. 
 
Se ε for a deformação em qualquer ponto da seção e εmáx for a deformação na superfície (máxima), podemos montar 
a seguinte relação: 
 
Tensões normais 
Analisando a Lei de Hooke, é fácil perceber que as tensões são proporcionais às deformações (a constante é o módulo 
de elasticidade), tornando possível afirmar que: 
 
Como a seção está em equilíbrio, o eixo neutro pode ser localizado a partir da premissa de que a resultante das 
tensões na seção deve ser nula, pois não há esforço normal. 
 
Como temos certeza de que -σmáx / c é diferente de zero, então, obrigatoriamente ∫AydA = 0. Isso significa que o 
momento estático deve ser nulo, fato que nos leva a firmar que: o eixo neutro passa pelo centroide da seção 
transversal. 
Clique aqui para algumas questões vistas na aula anterior. 
Deformações relacionadas às tensões 
Relacionando as deformações com as tensões, podemos afirmar que em uma seção sujeita a um momento M: 
 
• As tensões variam linearmente (de forma análoga às deformações); 
• A tensão no eixo neutro é nula; 
• A tensão máxima ocorre no ponto mais afastado do eixo neutro (c). 
Como a ideia é dispor de um modelo que avalie as tensões na seção transversal, temos que relacionar o momento M 
com as tensões. 
 
A resultante de um diagrama de tensões é uma força, que já sabemos que é nula. No entanto, podemos dividir o 
diagrama de tensões em duas porções. 
 
Uma acima do eixo neutro, também conhecido como linha neutra, que nos dará uma resultante de compressão, e 
outra porção abaixo da linha neutra, que nos dará uma resultante de tração. 
 
Como já vimos que a resultante é nula, a resultante de compressão (porção acima da linha neutra) deve ser igual em 
intensidade à resultante de tração (abaixo da linha neutra). 
 
Esse par de forças constrói um binário cujo efeito é exatamente igual ao momento fletor na seção. 
Vamos reconsiderar determinar o momento a partir das tensões. 
 
Como conhecemos o valor de M do diagrama de momentos, podemos reescrever a expressão assim: 
 
Genericamente (para qualquer y), podemos dizer que: 
 
Assim conseguimos um modelo baseado nas observações e hipóteses assumidas que nos permite avaliar o 
valor das tensões normais em uma seção transversal de uma viga, conhecendo o momento fletor e suas 
características geométricas. 
Shutterstock 
Clique aqui para entender na prática. 
Tensões de cisalhamento 
Uma visão exagerada das deformações causadas em uma viga em balanço por uma carga concentrada na sua 
extremidade nos mostra que as seções transversais não permanecem planas como havíamos admitido no estudo 
anterior. 
 
No entanto, como em projeto de estruturas, lidamos com pequenas deformações (imperceptíveis). Proporcionalmente, 
as deformações por cisalhamento não são relevantes podendo ser desprezadas. Dessa forma, as hipóteses admitidas 
anteriormente permanecem válidas. 
Isolamento de um pequeno trecho de uma viga com comprimento dx 
Vamos iniciar isolando um pequeno trecho de uma viga com comprimento dx. 
 
Se consultarmos o diagrama de momentos fletores, teremos um valor de momento na posição x e outro na posição 
x+dx. 
 
Agora vamos visualizar como seriam as tensões normais em x e em x+dx. 
 
Apesar das forças resultantes do lado direito (dF´) serem diferentes das resultantes do lado esquerdo (dF), o somatório 
é nulo, pois os pares se compensam. 
 
No entanto, se considerarmos apenas uma porção desse elemento (do topo até uma posição y´, contada a partir da 
linha neutra), não teremos a mesma condição de equilíbrio. 
 
Como as tensões do lado direito são diferentes das tensões do lado esquerdo, o equilíbrio somente é possível pela 
tensão tangencial que surge na face inferior da porção estudada. 
 
Construção de uma viga através do empilhamento de várias tábuas 
Para visualizar essa tensão tangencial longitudinal, vamos imaginar a construção de uma viga através do 
empilhamento de várias tábuas, inicialmente soltas e posteriormente coladas. 
 
Veja o que ocorre ao carregarmos as vigas nas 2 situações: 
 
As tábuas, quando soltas, deslizam umas sobre as outras. Já, quando estão coladas, sofrem deformação, pois estão 
impossibilitadas de deslizar, gerando a tensão tangencial longitudinal que detectamos no modelo que estávamos 
desenvolvendo. 
 
Desenvolvimento matemático das expressões 
Voltando ao nosso modelo, vamos promover o desenvolvimento matemático das expressões que vão avaliar a forma e 
a intensidade das tensões de cisalhamento na seção transversal, avaliando a área A´ em destaque. 
 
 
 
 
Tensões tangenciais longitudinais 
Não podemos deixar de lembrar que estamos avaliando as tensões tangenciais longitudinais. 
 
No entanto, elas também são válidas para a seção transversal porque elas são complementares e, portanto, possuem 
o mesmo valor. 
 
Para entender isso basta isolar um elemento tridimensional infinitesimal e verificar que essa condição deve ser 
observada para que seja possível seu equilíbrio. 
 
Distribuição das tensões de cisalhamento 
Vamos avaliar as tensões de cisalhamento em uma seção transversal retangular de uma viga. 
 
 
 
Diante disso vamos analisar o termo Q: 
 
 
A análise dessa expressão nos leva a perceber que as grandezas V, b e h são constantes e que apenas y nos dá a 
distância em relação ao centroide da seção. 
Também é possível observar tratar-se de uma função parabólica (2º grau), com valor nulo para y = ± h/2 e valor 
máximo para y=0 (centroide). 
 
 
Clique aqui para entender na prática. 
Exercícios! 
1 – A viga da figura suporta dois pilares circulares com 30cm de diâmetro e tensão de compressão de 12MPa. 
 
Sabendo que a viga possui seção retangular com base de 60cm, altura de 90cm e peso específico de 
25kN/m
3
, especifique o valor da tensão máxima de tração imposta nas suas seções transversais: