Lei dos senos e cossenos + aplicações (Prof Márcio Nascimento)

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Lei dos Cossenos
Lei dos Senos
Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos / Lei dos Senos
Prof. Ma´rcio Nascimento
marcio@matematicauva.org
Universidade Estadual Vale do Acarau´
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnologia
Curso de Licenciatura em Matema´tica
Disciplina: Matema´tica Ba´sica II - 2015.1
18 de agosto de 2015
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Lei dos Cossenos
Lei dos Senos
Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Suma´rio
1 Lei dos Cossenos
2 Lei dos Senos
3 Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
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Lei dos Cossenos
Lei dos Senos
Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Suma´rio
1 Lei dos Cossenos
2 Lei dos Senos
3 Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
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Lei dos Cossenos
Lei dos Senos
Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Aˆngulos Agudos
Lei dos Cossenos
Para um triaˆngulo ABC com lados a, b, c opostos aos ve´rtices
A,B,C respectivamente, tem-se
a2 = b2 + c2 − 2bc.cosÂ
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Lei dos Cossenos
Lei dos Senos
Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Aˆngulo Agudo
Provemos a veracidade desta afirmac¸a˜o para aˆngulos agudos.
h = c .senÂ
x = c . cos Â
a2 = h2 + (b − x)2
a2 = (c.senÂ)2 + (b − c . cos Â)2
a2 = c2.sen2(Â) + b2 − 2bc cos  + c2. cos2(Â)
a2 = [c2.sen2(Â) + c2. cos2(Â)] + b2 − 2bc cos Â
a2 = c2 + b2 − 2bc cos Â
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Lei dos Cossenos
Lei dos Senos
Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Aˆngulo Agudo
EXEMPLO: Determine x .
a = 31
b = 12
 = 600
a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600
312 = 122 + x2 − 2.12.x .1
2
961 = 144 + x2 − 12x
x2 − 12x − 817 = 0
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853
x =
12± 2√853
2
Como se trata de uma medida,
x = 6 +
√
853 ∼= 35, 2
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Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Aˆngulo Obtuso
Agora, vamos verificar que a Lei vale tambe´m para aˆngulos
obtusos.
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Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Aˆngulo Obtuso
Agora, vamos verificar que a Lei vale tambe´m para aˆngulos
obtusos.
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Lei dos Cossenos
Lei dos Senos
Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Aˆngulo Obtuso
h = c .sen(pi − Â) =
c .senÂ
x = c . cos(pi − Â) =
−c . cos Â
a2 = h2 + (b + x)2
a2 = (c .senÂ)2 + (b − c . cos Â)2
a2 = c2.sen2(Â) + b2 − 2bc cos  +
c2. cos2(Â)
a2 = [c2.sen2(Â) + c2. cos2(Â)] +
b2 − 2bc cos Â
a2 = c2 + b2 − 2bc cos Â
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Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Aˆngulo Obtuso
EXEMPLO: Determine x .
x2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350
x2 = 196 + 169− 364.(− cos 450)
x2 = 365 + 364.
√
2
2
x2 = 365 + 182.
√
2
x ∼= 24, 94
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Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos
EXERC´ICIO: As diagonais de um paralelogramo medem 24.2cm e
35.4cm, e se intersectam formando um angulo de 65.50. Encontre
a medida do lado menor do paralelogramo.
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Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos
EXERC´ICIO: Resolva o triaˆngulo a = 412, b = 342, Ĉ = 151.50
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Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos
EXERC´ICIO: Dois avio˜es deixam um aeroporto ao mesmo tempo.
Suas velocidades sa˜o 130 milhas por hora e 150 milhas por hora. O
aˆngulo entre seus cursos e´ de 360. Depois de uma hora e meia,
qual a distaˆncia entre os dois avio˜es?
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Suma´rio
1 Lei dos Cossenos
2 Lei dos Senos
3 Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
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Lei dos Senos
Lei dos Senos
Para um triaˆngulo ABC com lados a, b, c opostos aos ve´rtices
A,B,C respectivamente, tem-se
a
senÂ
=
b
senB̂
=
c
senĈ
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Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =
1
2
a.h
Area(∆ABC ) =
1
2
a.(c .senB̂)
2.Area(∆ABC ) = a.c .senB̂
2b.Area(∆ABC ) = a.b.c .senB̂
b
senB̂
=
abc
2.Area(∆ABC )
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Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =
1
2
b.h
Area(∆ABC ) =
1
2
b.(a.senĈ )
2.Area(∆ABC ) = b.a.senĈ
2c.Area(∆ABC ) = a.b.c .senĈ
c
senĈ
=
abc
2.Area(∆ABC )
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Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =
1
2
c .h
Area(∆ABC ) =
1
2
c .(b.senÂ)
2.Area(∆ABC ) = b.c.senÂ
2a.Area(∆ABC ) = a.b.c .senÂ
a
senÂ
=
abc
2.Area(∆ABC )
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Lei dos Senos
Lei dos Senos
Para um triaˆngulo ABC com lados a, b, c opostos aos ve´rtices
A,B,C respectivamente, tem-se
a
senÂ
=
b
senB̂
=
c
senĈ
Exerc´ıcio
Resolva o triaˆngulo  = 42.50, B̂ = 71.40, a = 215cm
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Exerc´ıcio
Se  = 310, s = 11 e r = 12, encontre x e y .
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Exerc´ıcio
Um homem esta´ voando de bala˜o em linha reta com velocidade
constante de 5 pe´s por segundo, mantendo uma altitude constante.
Quando ele avista o estacionamento de um supermercado, ele nota
que o aˆngulo de depressa˜o do bala˜o ao carro de um amigo que esta´
nesse estacionamento e´ de 350. Um minuto e meio depois, depois
de sobrevoar o carro de seu amigo, ele olha para tra´s e veˆ o amigo
entrando no carro, constatando que o aˆngulo de depressa˜o agora e´
de 360. Nesse instante, qual a distaˆncia entre as duas pessoas?
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Lei dos Senos
Exerc´ıcio
Mostre que em qualquer triaˆngulo vale a relac¸a˜o
sen < senB̂ + senĈ
Se A,B,C sa˜o os ve´rtices e a, b, c , respectivamente, os lados
opostos aos ve´rtices, enta˜o, pela lei dos senos, tem-se
a
senÂ
=
b
senB̂
=
c
senĈ
Da´ı, o triaˆngulo com lados x = senÂ, y = senB̂ e z = senĈ e´
semelhante ao triaˆngulo ∆ABC
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Aplicac¸a˜o da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Como em todo triaˆngulo, a medida de um
lado e´ SEMPRE menor que a soma dos
outros dois lados, temos:
x < y + z , y < x + z e z < x + y , ou seja
sen < senB̂ + senĈ
senB̂ < senĈ + senÂ
senĈ < sen + senB̂
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Suma´rio
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Ca´lculo de distaˆncia inacess´ıvel
Suponha que se queira calcular a distaˆncia d de A a P,
considerando que na˜o ha´ como fazer a medida diretamente.
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Ca´lculo de distaˆncia inacess´ıvel
Determina-se o ponto auxiliar B, de modo que a distaˆncia x ,
entre A e B, possa ser calculada diretamente.
Desta forma, construiu-se o triaˆngulo ∆ABP e os aˆngulos
Â, B̂ e P̂ podem ser determinados.
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Ca´lculo de distaˆncia inacess´ıvel
Pela Lei dos Senos:
x
senP̂
=
d
senB̂
e portanto,
d =
x .senB̂
senP̂
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