lei dos senos e dos cossenos

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Instituto federal de alagoas
campus: palmeira dos índios
disciplina: matemática
LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS
PROFESSORA: ANDRÉIA RODRIGUES ALVES
Trigonometria em um triângulo qualquer
LEI DOS SENOS
LEI DOS SENOS
TEOREMA
As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos respectivos ângulos opostos, e a constante de proporcionalidade é igual à medida do diâmetro da circunferência circunscrita a esse triângulo.
LEI DOS SENOS
Note que é diâmetro da circunferência e com isso med (= med (
Triângulo BDC é retângulo, pois é inscrito na semicircunferência.
sen( = sen  = = 2R
Lei dos senos
Exemplo: Do entroncamento (E) de uma rodovia saem dois pequenos trechos retilíneos de estrada, em um terreno plano, que levam aos portões de entrada de dois condomínios, indicados pelas letras A e B. Determine a distância entre esses portões.
x
med ( ) = 180° - 38º - 65º = 77º 
Note que x é a medida do lado oposto ao ângulo de 65° e que 600 m é a medida do lado oposto ao ângulo de 77º. Assim, pela lei dos senos, temos:
 = x = x = 556,7 m
exemplo1
1º Num triângulo ABC são dados med()=60°, med()= 45° e 8 cm. Determine o comprimento de .
Resolução:
8 cm
x
 = = 
x = cm.
Exemplo 2
2º Determine a medida x do ângulo 
Resolução: 
Pela lei dos senos, temos que: = 2R
 = 2R 
Assim, = 2R = 10 = 5 = . Logo a medida do ângulo M é 30°.
Assim, x = 180° - 30° - 45° = 105°.
Exemplo 3
3º 
P
A
B
Pela lei dos senos, temos: 
 = = 
40°
1500 m
85°
 = 180° - 40° - 85° = 55° 
 = = 
b) = 1170,73 m
 
Exemplo 4
4º 
Representando a situação descrita, temos:
Exemplo 5
5º 
Resolução:
Lei dos cossenos
TEOREMA 
Em todo triângulo, o quadrado da medida de qualquer lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto da medida desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado.
LEI DOS COSSENOS
Demonstração
Lei dos cossenos
Demonstração
Lei dos cossenos
Exemplo.
Determine o valor de x nos triângulos abaixo.
Resolução:
Lei dos cossenos
Resolução:
Lei dos cossenos
Resolução:
Exercícios
1º A prefeitura de uma cidade está estudando a viabilidade de construir uma terceira passarela sobre a rodovia, ligando os bairros A e B diretamente, a partir das passarelas já construídas.
O acesso atual é feito pelas passarelas 1 e 2, que ligam
os bairros A e B, respectivamente, ao ponto P. Medições feitas pela empresa contratada mostram que as passarelas 1 e 2 medem, respectivamente, 130 m e 220 m. O ângulo formado pelas passarelas 1 e 2 mede 60°.
Se o projeto for aprovado, quantos metros de extensão terá a passarela que ligará diretamente os dois bairros? Admita que as extremidades A, P e B estejam na mesma altura em relação ao solo.
exercícios
Resolução da 1ª questão.
Podemos representar a situação descrita da seguinte forma:
Pela lei dos cossenos, temos:
exercícios
2º Um motorista de caminhão precisa fazer entregas nas cidades Alfa e Beta, distantes 10 km (aproximadamente 36 km) entre si. Do ponto P em que se encontra, na bifurcação de uma estrada, ele sabe que a distância a Beta é o triplo da distância a Alfa.
Sabendo que med()=120° e que a velocidade máxima permitida no trecho de P a Beta é de 50 km/h, determine o tempo mínimo que será gasto para chegar a Beta, onde será feita a primeira entrega.
EXERCÍCIOS
2º Resolução
Podemos representar a situação descrita da seguinte forma:
Precisamos encontrar o valor de d e para isso vamos usar a lei dos cossenos.
Assim, PB= 30 km. Então, 
exercícios
3º O acesso ao aeroporto de uma cidade é feito por duas vias de contorno retilíneo que se cruzam segundo um ângulo de 53°. A primeira tem 2,1 km de extensão, e a outra, 3,5 km de extensão. As vias têm origem em dois postos de gasolina. Qual é a distância entre esses postos? Use cos 53° 0,6.
Resolução:
Podemos representar a situação descrita da seguinte forma:
Assim pela lei dos cossenos, temos:
observação
Exemplo 1
Resolução:
a) Sabemos que o comprimento de uma circunferência é dado por C=2πr. Assim: 
Note que OB e OC são raios, então:
Assim, conhecemos a medida de dois lados e do ângulo formado entre eles.
b) 90°
OBRIGADA!!!!!!!
ATÉ A PRÓXIMA PESSOAL!!!!