AD1 CIV 2013.1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV - AD1
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Questa˜o 1 [2,5 pts]: Utilizando integral dupla, prove que a a´rea da regia˜o D determinada pelas
desigualdades xy ≤ 2, x ≤ y ≤ x+ 1 e x ≥ 0 e´ igual a 1
2
+ ln 2 u.a.
Questa˜o 2 [2,5 pts]: Calcule o centro de massa de uma placa fina com a forma do conjunto
D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + 4y2 ≤ 1, y ≥ 0}, se a densidade em cada ponto e´ proporcional a` distaˆncia
do ponto ao eixo x.
Questa˜o 3 [2,5 pts]: Seja W um cone circular reto de altura h, raio de base R, homogeˆneo.
Mostre que o momento de inercia em relac¸a˜o a um diametro de sua base e´ igual a
M
20
(2h2 + 3R2),
onde M e´ a massa de W .
Questa˜o 4 [2,5 pts]: Calcule
∫∫∫
W
z dV , onde W e´ a regia˜o do primeiro octante, limitada por
y2 + z2 = 2, y = 2x e x = 0.