CálculoIIITesteAem20110914 - Rogério

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Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
97954 – Ca´lculo III: Se´ries e Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis – Teste do Grau A – 2011/2 – Prof. Roge´rio
Nomes: e
1. Para cada uma das se´ries abaixo diga se converge ou diverge, justificando a sua resposta.
(a)
+∞∑
k=1
k2/5
20k14/9 + 11k7/5
(b)
+∞∑
k=1
k!
(2k + 1)!
2. Para cada uma das se´ries abaixo diga se ela converge ou diverge, justificando a sua resposta.
Caso convirja, calcule a soma da se´rie.
(a)
+∞∑
k=1
[
14
9k
−
(
5k
9k + 1
)]
(b)
+∞∑
k=0
[
20 · (0, 9)k +
(
19
65
)k]
3. Na figura temos uma espiral formada por semic´ırculos cujos centros pertencem ao eixo das
abscissas. Se o raio do primeiro c´ırculo e´ igual a 4 e o raio do semic´ırculo e´ igual a metade
do raio do semic´ırculo anterior, determine:
(a) o comprimento da espiral infinita.
(b) a abscissa do ponto P , ponto assinto´tico da espiral.
4. Sabendo que
+∞∑
k=0
2k
k!
= e2, obtenha o valor da soma
+∞∑
k=4
2k
k!
.
5. Considere a se´rie geome´trica
+∞∑
n=1
14nxn .
(a) Encontre os valores de x para os quais a se´rie acima converge.
(b) Em seguida, encontre a soma da se´rie (como uma func¸a˜o de x).
(c) Encontre o valor de x de modo que a soma seja igual a 3.
6. Considere a se´rie geome´trica
+∞∑
n=2
9nx−n .
(a) Encontre os valores de x para os quais a se´rie acima converge.
(b) Em seguida, encontre a soma da se´rie (como uma func¸a˜o de x).
Valor de cada Questa˜o: 1. 0,6 2. 0,6 3. 0,6 4. 0,3 5. 0,6 6. 0,4.