CálculoIIITesteAem20110905 - Rogério

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Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
97954 – Ca´lculo III: Se´ries e Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis – Teste do Grau A – 2011/2 – Prof. Roge´rio
Nomes: e
1. Encontre uma fo´rmula simples para Sn em func¸a˜o de n e determine se a se´rie converge ou diverge.
Caso convirja, encontre a sua soma.
+∞∑
k=1
1
(k + 1)(k + 2)
2. Para cada uma das se´ries abaixo diga se ela converge ou diverge, justificando a sua resposta.
Caso convirja, calcule a soma da se´rie.
(a)
+∞∑
k=1
[(
2
5
)k
− 2 ·
(
5
9
)k]
(b)
+∞∑
k=1
[
0, 5 · (0, 9)k + 2, 1 · (0, 3)k]
3. A figura mostra os QUATRO triaˆngulos equila´teros de uma sequeˆncia infinita de triaˆngulos
equila´teros. O triaˆngulo externo tem lado igual a L. Cada um dos triaˆngulos seguintes e´ obtido
ligando-se os pontos me´dios dos lados do triaˆngulo anterior.
(a) Calcule a soma dos per´ımetros de todos os triaˆngulos da sequeˆncia infinita.
(b) Calcule a soma das a´reas de todos os triaˆngulos da sequeˆncia infinita.
4. Sabendo que
+∞∑
k=1
(−1)k+1
k
= ln 2, obtenha o valor da soma
+∞∑
k=4
(−1)k+1
k
.
5. Considere a se´rie geome´trica
+∞∑
n=0
7nx2n .
(a) Encontre os valores de x para os quais a se´rie acima converge.
(b) Em seguida, encontre a soma da se´rie (como uma func¸a˜o de x).
(c) Encontre o valor de x de modo que a soma seja igual a 3.
6. Considere a se´rie geome´trica
+∞∑
n=2
5nx−n .
(a) Encontre os valores de x para os quais a se´rie acima converge.
(b) Em seguida, encontre a soma da se´rie (como uma func¸a˜o de x).
(c) Encontre o valor de x de modo que a soma seja igual a 2.
Valor de cada Questa˜o: 1. 0,4 2. 0,6 3. 0,6 4. 0,3 5. 0,6 6. 0,6.