Progressão geométrica

Prévia do material em texto

INTRODUÇÃO
Chamamos de progressão geométrica (P.G.) toda 
sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é igual 
ao produto do termo anterior por uma constante dada, 
denominada razão da P.G., e indicada por q.
Exemplos
1º) (3, 6, 12, 24, ...) é uma P.G. crescente, 
em que q = 2.
2º) (5, 5, 5, 5, ...) é uma P.G. constante, em que q = 1.
3º) (20, 10, 5, 
5
2
, …) é uma P.G. decrescente, 
em que q = 1
2
.
4º) (3, –6, 12, –24, …) é uma P.G. oscilante, em que 
q = –2.
TERMO GERAL DA P.G.
seja a P.G. (a1, a2, a3, ..., an, ...).
assim, temos:
a2 = a1.q
a3 = a2.q
a4 = a3.q
 
an = an – 1.q
vamos multiplicar membro a membro essas (n – 1) 
igualdades:
a1, a2, a3, ..., an – 1, an, ... = a1, a2, a3, ..., an – 1, an, ... q q q q
n vezes
. . ... .
( )− 1
� ��� ���
Simplificando os termos da expressão, obtemos:
an = a1.qn – 1
Essa expressão é chamada fórmula do termo geral da P.G.
Exemplo
Determinar o sétimo termo da P.G. (1, 3, 9, ...).
sabemos que a1 = 1 e q = 3. assim, temos:
an = a1 . qn – 1 ⇒ a7 = 1 . 37 – 1 ⇒ a7 = 36 ⇒ a7 = 729
PROPRIEDADES 
i) Cada termo de uma P.G., a partir do segundo, é a média 
geométrica entre os termos antecessor e sucessor.
 Logo, dada uma P.G. (a, b, c, ...), temos:
b2 = ac
 Por exemplo, observe a P.G. (2, 6, 18, 54, 162, ...).
 Temos que 62 = 2 . 18, 182 = 6 . 54, etc.
ii) O produto dos termos equidistantes dos extremos é 
igual ao produto dos extremos.
 Por exemplo, na P.G. (1, 2, 4, 8, 16, 32), temos que:
 = = =1 . 32 2 .16 4 . 8 32
Produto dos
extremos
Equidistantes
dos extremos
Equidistantes
dos extremos
��� ��
ObsErvaçãO
Representações convenientes de uma P.G.:
i) P.G. com 3 termos: x
q
x xq; ;




 de razão = q
ii) P.G. com 4 termos: 
x
q
x
q
xq xq
3
3; ; ;




 de razão = q2 
iii) P.G. com 5 termos: x
q
x
q
x xq xq
2
2; ; ; ;




 de razão = q
SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.G.
Considere a P.G. (a1, a2, a3, ..., an – 1, an, ...).
seja sn a soma dos seus n termos. assim:
sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ⇒ 
sn = a1 + a1q + a1q2 + ... + a1qn – 1 (I)
Progressão geométrica
MÓDULO
11
FRENTE
A
15
MATEMÁTICA
Bernoulli Sistema de Ensino
4VPRV3_MAT_BOOK.indb 15 30/03/17 10:31
Me
u 
, ..., a
Me
u 
, ..., an
Me
u 
n, ...).
Me
u 
, ...).
 = a
Me
u = a3
Me
u 3.q
Me
u .q
 
Me
u 
 
a
Me
u 
an
Me
u 
n = a
Me
u 
 = an – 1
Me
u 
n – 1.q
Me
u 
.q
vMe
u 
vaMe
u 
amos multiplicar membro a membro essas (n – 1) Me
u 
mos multiplicar membro a membro essas (n – 1) 
igualdades:Me
u 
igualdades:
aMe
u 
a1Me
u 
1, aMe
u 
, a2Me
u 
2, aMe
u 
, a3Me
u 
3, ..., aMe
u 
, ..., a
Simplificando os termos da expressão, obtemos:Me
u 
Simplificando os termos da expressão, obtemos:Me
u 
2Me
u 
2, aMe
u 
, a3Me
u 
3, ..., aMe
u 
, ..., a
Be
rno
ull
i
decrescente
Be
rno
ull
i
decrescente, 
Be
rno
ull
i
, 
oscilante
Be
rno
ull
i
oscilante, 
Be
rno
ull
i
, em que
Be
rno
ull
i
em que
.G. Be
rno
ull
i
.G.
Determinar o sétimo termo da P.G. (1, 3, 9, ...).
Be
rno
ull
i
Determinar o sétimo termo da P.G. (1, 3, 9, ...).
 = 1 e q = 3. 
Be
rno
ull
i
 = 1 e q = 3. a
Be
rno
ull
i
assim, temos:
Be
rno
ull
i
ssim, temos:
7
Be
rno
ull
i
7 = 1 . 3
Be
rno
ull
i
 = 1 . 37 – 1
Be
rno
ull
i
7 – 1 ⇒
Be
rno
ull
i
⇒ a
Be
rno
ull
i
 a7
Be
rno
ull
i
7 = 3
Be
rno
ull
i
 = 36
Be
rno
ull
i
6 ⇒
Be
rno
ull
i
⇒ a
Be
rno
ull
i
 a7
Be
rno
ull
i
7 = 729
Be
rno
ull
i
 = 729
ROPRI
Be
rno
ull
i
ROPRIE
Be
rno
ull
i
ED
Be
rno
ull
i
DA
Be
rno
ull
i
AD
Be
rno
ull
i
DE
Be
rno
ull
i
ES 
Be
rno
ull
i
S 
Ca
Be
rno
ull
i
Cada termo de uma P.G., a partir do segundo, é a média 
Be
rno
ull
i
da termo de uma P.G., a partir do segundo, é a média 
geométrica entre os termos antecessor e sucessor.
Be
rno
ull
i
geométrica entre os termos antecessor e sucessor.
Logo
Be
rno
ull
i
Logo, dada uma P.G. (a, b, c, ...), temos:
Be
rno
ull
i
, dada uma P.G. (a, b, c, ...), temos:
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
P
Be
rno
ull
i
Por exemplo, observe a P.G. (2, 6, 18, 54, 162, ...).
Be
rno
ull
i
or exemplo, observe a P.G. (2, 6, 18, 54, 162, ...).
T
Be
rno
ull
i
Temos que 6
Be
rno
ull
i
emos que 6Temos que 6T
Be
rno
ull
i
Temos que 6T
ii)Be
rno
ull
i
ii)
vamos multiplicar os dois membros da expressão (I) pela 
razão q:
qsn = a1q + a1q2 + a1q3 + ... + a1qn (II)
Fazendo (II) – (I), obtemos:
 qsn = a1q + a1q2 + a1q3 + ... + a1qn
– sn = a1 + a1q + a1q2 + ... + a1qn – 1
 qsn – sn = a1qn – a1 ⇒ sn(q – 1) = a1(qn – 1) ⇒ 
sn = 
a q
q
n
1
1
1
( – )
– 
Essa expressão é a fórmula da soma dos n termos de 
uma P.G.
Exemplo
Calcular a soma dos 5 primeiros termos da P.G. (3, 9, 27, ...).
Temos a1 = 3 e q = 3.
Logo, sn = 
a q
q
n
1
1
1
( )
–
−
 ⇒ s5 = 
3(3 1)
3–1
3 . 242
2
5 − = = 363.
SOMA DOS INFINITOS TERMOS 
DE UMA P.G.
Em determinadas situações, podemos observar que a 
soma dos infinitos termos de uma P.G. pode convergir para 
um valor finito. Como exemplo, considere um quadrado de 
área igual a 1. vamos dividi-lo em retângulos e quadrados 
menores, indicando a área de cada parte, conforme a 
figura a seguir:
1
2
1
4
1
16
1
32
1
64
1
8
Quadrado de área 1
...
......
Observe que o quadrado pode ser subdividido em infinitas 
figuras menores. A soma das áreas dessas figuras é dada 
por 1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
+ + + + + + ... .
Logo, dizemos que o limite dessa soma, quando o número 
de parcelas tende ao infinito, é igual a 1, ou seja, a área do 
quadrado original.
De maneira geral, a condição para que a soma 
dos infinitos termos de uma P.G. acabe convergindo 
para um valor finito é que a razão q seja um número 
entre –1 e 1.
Logo, aplicando a fórmula da soma, temos:
S
a (qn – 1)
, para –1 < q < 1
n
1=
q – 1
Como q é um número entre –1 e 1, à medida que n se 
aproxima do infinito, o valor de qn tende a zero.
Portanto, à medida que n tende ao infinito, temos:
s∞ = 
a
q
a
q
1 1
0 1
1 1
( )
– –
−
=
−
 ⇒
s∞ = 
a1
q1 −
, para –1 < q < 1
 
Essa expressão é a fórmula da soma dos infinitos termos 
de uma P.G.
Exemplo
Calcular o valor de x = 1
1
3
1
9
1
27
+ + + + ... .
O valor anterior corresponde à soma dos infinitos termos 
da P.G. 1 1
3
1
9
1
27
, , , , ...




.
Temos a1 = 1 e q = 
1
3
.
assim, s∞ = 
a
q
1
1
1
1 1
3
1
2
3
3
2−
=
−
= = .
Frente A Módulo 11
16 Coleção Estudo 4V
4VPRV3_MAT_BOOK.indb 16 30/03/17 10:31
Me
u Em determinadas situações, podemos observar que a 
Me
u Em determinadas situações, podemos observar que a soma dos infinitos termos de uma P.G. pode convergir para 
Me
u soma dos infinitos termos de uma P.G. pode convergir para um valor finito. Como exemplo, considere um quadrado de 
Me
u um valor finito. Como exemplo, considere um quadrado de v
Me
u vamos dividi-lo em retângulos e qua
Me
u amos dividi-lo em retângulos e quamenores, indicando a área de cada parte, conforme a 
Me
u menores, indicando a área de cada parte, conforme a figura a seguir:
Me
u figura a seguir:
Me
u 
Me
u 
Quadrado de área 1
Me
u 
Quadrado de área 1
Be
rno
ull
i
 = 363.
Be
rno
ull
i
 = 363.
 DOS INFINITOS T Be
rno
ull
i
 DOS INFINITOS TE Be
rno
ull
i
ER Be
rno
ull
i
RM Be
rno
ull
i
MOS Be
rno
ull
i
OS 
Em determinadas situações, podemos observar que a Be
rno
ull
i
Em determinadas situações, podemos observar que a 
Logo, dizemos que o limite dessa soma, quando o número 
Be
rno
ull
iLogo, dizemos que o limite dessa soma, quando o número de parcelas tende ao infinito, é igual a 1, ou seja, a área do 
Be
rno
ull
ide parcelas tende ao infinito, é igual a 1, ou seja, a área do De maneira geral, a condição para que a soma 
Be
rno
ull
iDe maneira geral, a condição para que a soma 
dos infinitos termos de uma P.G. acabe convergindo 
Be
rno
ull
i
dos infinitos termos de uma P.G. acabe convergindo 
para um valor finito é que a razão 
Be
rno
ull
i
para um valor finito é quea razão q
Be
rno
ull
i
q seja um número 
Be
rno
ull
i
 seja um número 
Logo, aplicando a fórmula da soma, temos:
Be
rno
ull
i
Logo, aplicando a fórmula da soma, temos:
Be
rno
ull
i
S
Be
rno
ull
i
S
a (
Be
rno
ull
i
a (q
Be
rno
ull
i
qn 
Be
rno
ull
i
n – 1)
Be
rno
ull
i
– 1)
, p
Be
rno
ull
i
, par
Be
rno
ull
i
ara –
Be
rno
ull
i
a –1 < q 
Be
rno
ull
i
1 < q 
n
Be
rno
ull
i
n
1
Be
rno
ull
i
1
a (
1
a (
Be
rno
ull
i
a (
1
a (
=
Be
rno
ull
i
=
q – 1
Be
rno
ull
i
q – 1
Como 
Be
rno
ull
i
Como q
Be
rno
ull
i
q é um número entre –1 e 1, à medida que 
Be
rno
ull
i
 é um número entre –1 e 1, à medida que 
aproxima do infinito, o valor de q
Be
rno
ull
i
aproxima do infinito, o valor de q
Portanto, à medida que 
Be
rno
ull
i
Portanto, à medida que 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (EEar–2016) Quatro números estão dispostos de forma 
tal que constituem uma P.G. finita. O terceiro termo é 
igual a 50 e a razão é igual a 5. Desta maneira, o produto 
de a1.a4 vale:
a) 10 
B) 250 
C) 500 
D) 1 250
02. (UFU-MG) Cubos são colocados uns sobre os outros, 
do maior para o menor, para formar uma coluna, como 
mostra a figura a seguir: 
O volume do cubo maior é 1 m3, e o volume de cada um 
dos cubos seguintes é igual a 1
27
 do volume do cubo 
sobre o qual está apoiado. Se fosse possível colocar uma 
infinidade de cubos, a altura da coluna seria igual a
a) 27
26
 m. 
B) 2 m.
C) 1,5 m.
D) 4,5 m. 
03. (Unimontes-MG) Considerando uma infinidade de 
quadrados de lados medindo 1, 
1
2
1
2
1
2
1
22 3 4
, , , , ..., 
em cm, é correto afirmar que a soma das áreas de 
todos esses quadrados é, em cm2, igual a:
a) 
1
4
B) 1
2
C) 4
D) 2
04. (UEFS-Ba–2016) 
q3
q2
q
1
Se infinitos quadrados, cujas áreas formam uma 
progressão geométrica decrescente de razão q, pudessem 
ser empilhados, como na figura, e o quadrado da base 
tivesse uma área de 1 m2, a altura da pilha, em m, seria:
a) 1
1– q
B) 
1– q
1– q
C) 
1– q
1– q
D) +1 q
1– q
E) infinita
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFU-MG) Sejam a1, a2, a3 números reais cuja soma é 
igual a 88. Sabendo-se que a1 – 2, a2, a3 estão, nessa 
ordem, em progressão geométrica de razão 6, determine 
o maior desses números.
a) 6
B) 12
C) 72
D) 24
E) 32
02. (PUC-RS–2015) O resultado da adição indicada 0,001 + 
0,000001 + 0,000000001 + ... é:
a) 
1
9
 
B) 1
10
 
C) 
1
99
 
D) 1
100
 
E) 1
999
 
F9GH
Progressão geométrica
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
17Bernoulli Sistema de Ensino
M4V03A11.indd 17 27/04/17 09:32
Me
u 
Me
u 
infinidade de cubos, a altura da coluna seria igual a
Me
u 
infinidade de cubos, a altura da coluna seria igual a
1,5 m.
Me
u 1,5 m.D)
Me
u D) 4,5 m. 
Me
u 4,5 m. 
03.
Me
u 
03. (Unimontes-MG) Considerando uma infinidade de 
Me
u 
(Unimontes-MG) Considerando uma infinidade de 
quadrMe
u 
quadrados de lados medindo 1, Me
u 
ados de lados medindo 1, 
em cm, é Me
u 
em cm, é corretoMe
u 
correto
todos esses quadrados é, em cmMe
u 
todos esses quadrados é, em cm
aMe
u 
a)Me
u 
)
1Me
u 
1
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
, e o volume de cada um 
Be
rno
ull
i
, e o volume de cada um 
Be
rno
ull
i
1 Be
rno
ull
i
1
27 Be
rno
ull
i
27
 do volume do cubo Be
rno
ull
i
 do volume do cubo 
qual está apoiado. Se fosse possível colocar uma Be
rno
ull
i
qual está apoiado. Se fosse possível colocar uma 
infinidade de cubos, a altura da coluna seria igual aBe
rno
ull
i
infinidade de cubos, a altura da coluna seria igual aBe
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
iq
Be
rno
ull
iq
1
Be
rno
ull
i
1
Se infinitos quadrados, cujas áreas formam uma 
Be
rno
ull
i
Se infinitos quadrados, cujas áreas formam uma 
progressão geométrica decrescente de razão 
Be
rno
ull
i
progressão geométrica decrescente de razão 
ser empilhados, como na figura, e o quadrado da base 
Be
rno
ull
i
ser empilhados, como na figura, e o quadrado da base 
tivesse uma área de 1 m
Be
rno
ull
i
tivesse uma área de 1 m
a
Be
rno
ull
i
a)
Be
rno
ull
i
)
Be
rno
ull
i
1
Be
rno
ull
i
1
1–
Be
rno
ull
i
1– q
Be
rno
ull
i
q
B)
Be
rno
ull
i
B)
03. (UFJF-MG) Uma progressão aritmética e uma geométrica 
têm o número 2 como primeiro termo. Seus quintos 
termos também coincidem, e a razão da P.G. é 2. Sendo 
assim, a razão da P.A. é:
a) 8
B) 6
C) 32
5
D) 4
E) 15
2
04. (Mackenzie-SP–2016) Sejam l1, l2, ..., l100 os lados dos 
quadrados Q1, Q2, ..., Q100, respectivamente.
Se l1 = 1 e lk = 2lk – 1, para k = 2, 3, ..., 100, a soma das 
áreas desses quadrados é igual a:
a) 3
4
.499
B) 1
4
.499
C) ( )13. 4 –1
100
D) 1
3
.4100
E) 1
3
.4 –1100 
05. (UFU-MG) Considere an o termo geral de uma progressão 
geométrica de razão 1
2
 e primeiro termo 1. Podemos 
afirmar que a representação gráfica dos pontos (n, an) 
no plano cartesiano, em que n ∈ , está contida no gráfico 
de uma função
a) quadrática.
B) exponencial.
C) linear.
D) logarítmica.
06. (PUC-SP–2016) Seja o triângulo equilátero T1 cujo lado 
mede x cm. Unindo-se os pontos médios dos lados de T1, 
obtém-se um novo triângulo equilátero T2; unindo-se os 
pontos médios dos lados do triângulo T2, obtém-se um 
novo triângulo equilátero T3; e, assim, sucessivamente. 
Nessas condições, se a área do triângulo T9 é igual a 
25 3
64
 cm2 então x é igual a:
a) 640
B) 520
C) 440
D) 320
G9UD
B167
07. (UECE–2016) Se a medida dos comprimentos dos lados de 
um triângulo retângulo forma uma progressão geométrica 
crescente, então, a razão dessa progressão é igual a:
a) +1 3
2
B) +1 5
2
C) 3 –1
2
D) 5 –1
2
08. (UFRGS-RS–2016) Considere o padrão de construção 
representado pelos triângulos equiláteros a seguir.
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é h; 
a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura do 
triângulo da etapa 1; a altura do triângulo da etapa 3 
é metade da altura do triângulo da etapa 2 e, assim, 
sucessivamente.
Assim, a soma dos perímetros da sequência infinita de 
triângulos é:
a) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
09. (UECE–2016) Considere uma progressão aritmética, não 
constante, com sete termos, cuja razão é o número r. 
Se o primeiro, o terceiro e o sétimo termo desta 
progressão formam, nesta ordem, os três primeiros 
termos de uma progressão geométrica, então, a soma 
dos termos da progressão aritmética é igual a:
a) 27r
B) 30r
C) 33r
D) 35r
5L46
Frente A Módulo 11
18 Coleção Estudo 4V
M4V03A11.indd 18 31/03/17 14:33
Me
u 
Me
u 
 o termo geral de uma progressão 
Me
u 
 o termo geral de uma progressão 
geométrica de razão 
Me
u geométrica de razão 
Me
u 1
Me
u 12
Me
u 2 e primeiro termo 1. Podemos 
Me
u e primeiro termo 1. Podemos afirmar que a representação gráfica dos pontos (n, a
Me
u afirmar que a representação gráfica dos pontos (n, ao cartesiano, em que n 
Me
u o cartesiano, em que n ∈
Me
u ∈ 
Me
u , está contida no gráfico 
Me
u , está contida no gráfico de uma função
Me
u de uma funçãoquadrática.
Me
u quadrática.
B)
Me
u 
B) exponencial.
Me
u 
exponencial.
C)
Me
u C) linear
Me
u linear
D)
Me
u 
D)
06. Me
u 
06. (PUC-SP–2016) Seja o triângulo equilátero TMe
u 
(PUC-SP–2016) Seja o triângulo equilátero T
mede Me
u 
mede xMe
u 
x cm. Unindo-se os pontos médios dos lados de TMe
u 
 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados de T
obtém-se um novo triângulo equilátero TMe
u 
obtém-se um novo triângulo equilátero T
pontos médios dos lados do triângulo TMe
u 
pontos médios dos lados do triângulo T
novo triângulo equilátero TMe
u 
novo triângulo equilátero T
Nessas condições, se a área do triângulo TMe
u 
Nessas condições, se a área do triângulo T
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
 o termo geral de uma progressão Be
rno
ull
i
 o termo geral de uma progressão 
 e primeiro termo 1. Podemos Be
rno
ull
i
 e primeiro termo 1. Podemos 
(UFRGS-RS–2016) Considere o padrão de construçãoBe
rno
ull
i
(UFRGS-RS–2016) Considere o padrão de construção 
representado pelos triângulos equiláteros a seguir.
Be
rno
ull
i
representado pelos triângulos equiláteros a seguir.
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
Be
rno
ull
i
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é 
Be
rno
ull
i
O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é 
a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura do 
Be
rno
ull
i
a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura do 
triângulo da etapa 1; a altura do triângulo da etapa 3 Be
rno
ull
i
triângulo da etapa 1; a altura do triângulo da etapa 3 
10. (UFU-MG) A soma de todos os divisores positivos de 32 004 
é igual a
A) 3 1
2
2 004 − 
B) 32 004 
C) 3 1
2
2 005 − 
D) 32 005
11. (EFoMM-RJ–2016) Numa progressão geométrica 
crescente, o 3º termo é igual à soma do triplo do 1º termo 
com o dobro do 2º termo. Sabendo que a soma desses 
três termos é igual a 26, determine o valor do 2º termo. 
A) 6 
B) 2 
C) 3 
D) 1 
E) 26
7
 
12. (UFTM-MG) A soma dos infinitos termos de uma 
progressão geométrica crescente é igual a 13,5 e a 
soma dos dois primeiros termos é igual a 12. Nessas 
condições, o termo numericamente igual à razão da 
sequência é o
A) quarto.
B) quinto.
C) sexto.
D) sétimo.
E) oitavo.
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2008) Fractal (do latim fractus, fração, 
quebrado) – objeto que pode ser dividido em partes que 
possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria 
fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e 
o comportamento dos fractais – objetos geométricos 
formados por repetições de padrões similares.
o Triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares 
da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos 
seguintes passos:
A4JB
BFTB
1.	 Comece	com	um	triângulo	equilátero	(figura	1).
2. Construa um triângulo em que cada lado tenha a 
metade do tamanho do lado do triângulo anterior e 
faça três cópias.
3. Posicione essas cópias de maneira que cada triângulo 
tenha um vértice comum com um dos vértices de 
cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra 
a	figura	2.
4. Repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada 
cópia	dos	triângulos	obtidos	no	passo	3	(figura	3).
Figura 1 Figura 2 Figura 3
De	acordo	com	o	procedimento	descrito,	a	figura	4	da	
sequência apresentada anteriormente é:
A)
B)
D)
E)
C)
Progressão geométrica
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
19Bernoulli Sistema de Ensino
M4V03A11.indd 19 27/04/17 09:35
Me
u 
Me
u sexto
Me
u sexto.
Me
u .sétimo.
Me
u sétimo.E)
Me
u E) oita
Me
u oitavo.
Me
u vo.
SEÇÃO 
Me
u 
SEÇÃO E
Me
u 
ENEM
Me
u 
NEM
01.Me
u 
01. (Enem–2008) FrMe
u 
(Enem–2008) Fr
quebrado) – objeto que pode ser dividido em partes que Me
u 
quebrado) – objeto que pode ser dividido em partes que 
possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria Me
u 
possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria 
fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e Me
u 
fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e 
o comportamento dos fractais – objetos geométricos Me
u 
o comportamento dos fractais – objetos geométricos 
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
(UFTM-MG) A soma dos infinitos termos de uma 
Be
rno
ull
i
(UFTM-MG) A soma dos infinitos termos de uma 
progressão geométrica crescente é igual a 13,5 e a Be
rno
ull
i
progressão geométrica crescente é igual a 13,5 e a 
soma dos dois primeiros termos é igual a 12. Nessas Be
rno
ull
i
soma dos dois primeiros termos é igual a 12. Nessas 
condições, o termo numericamente igual à razão da Be
rno
ull
i
condições, o termo numericamente igual à razão da 
e essas cópias de maneira que cada triângulo 
Be
rno
ull
ie essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de 
Be
rno
ull
itenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra 
Be
rno
ull
icada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra 
ivamente os passos 2 e 3 para cada 
Be
rno
ull
i
ivamente os passos 2 e 3 para cada 
triângulos
Be
rno
ull
i
triângulos obtidos
Be
rno
ull
i
obtidos no
Be
rno
ull
i
no passo
Be
rno
ull
i
passo 3
Be
rno
ull
i
3 (figur
Be
rno
ull
i
(figur
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Figura 1 Figura 2
Be
rno
ull
i
Figura 1 Figura 2
De
Be
rno
ull
i
De acordo
Be
rno
ull
i
acordo com
Be
rno
ull
i
com o
Be
rno
ull
i
o procedimento
Be
rno
ull
i
procedimento
sequência apresentada anteriormente é:
Be
rno
ull
i
sequência apresentada anteriormente é:
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
A)
Be
rno
ull
i
A)
02. Nascido em 1845, o matemático russo Georg Cantor teve um papel extremamente importante no desenvolvimento da 
Matemática Moderna, particularmente na elaboração da Teoria dos Conjuntos. Um outro trabalho de Cantor é o chamado 
Conjunto de Cantor, que é representado a seguir:
a montagem desse conjunto é feita do seguinte modo:
• Toma-se um segmento de reta (1ª linha);
• Divide-se esse segmento em três partes iguais, suprimindo-se a parte central (2ª linha);
• Repete-se o processo em cada segmento de reta remanescente (3ª linha), e assim por diante.
Repetindo-se esse processo indefi nidamente, o número de segmentos de reta presentes na 10ª linha é igual a:
a) 64
b) 128
C) 256
D) 512
E) 1 024
GABARITO
Fixação
01. C
02. C
03. D
04. D
Propostos
01. C
02. E
03. E
04. C
05. b
06. D
07. b
08. E
09. D
10. C
11. a
12. a
Seção Enem
01. C
02. D
Frente A Módulo 11
20 Coleção Estudo 4V
4VPRV3_MAT_BOOK.indb 20 30/03/17 10:31
Me
u 
Me
u 03. E
Me
u 03. E
04. C
Me
u 
04. C
05. b
Me
u 
05. b
06. D
Me
u 
06. D
07. bMe
u 
07. b
08. EMe
u 
08. E
09. DMe
u 
09. D
10. CMe
u 
10. C
11. aMe
u 
11. a
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
• Divide-se esse segmento em três partes iguais, suprimindo-se a parte central (2ª linha);
Be
rno
ull
i
• Divide-se esse segmento em três partes iguais, suprimindo-se a parte central (2ª linha);
• Repete-se o processo em cada segmento de reta remanescente (3ª linha), e assim por diante.
Be
rno
ull
i
• Repete-se o processo em cada segmento de reta remanescente (3ª linha), e assim por diante.
Repetindo-se esse processo indefi nidamente, o número de segmentos de reta presentes na 10ª linha é igual a:
Be
rno
ull
i
Repetindo-se esse processo indefi nidamente, o número de segmentos de reta presentes na 10ª linha é igual a: