lista derivada (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI´ - UFPI
CENTRO DE CIEˆNCIAS DA NATUREZA - CCN
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - DM
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I
Professora: Renata Batista
3a Lista de Exerc´ıcio
1. Determine a func¸a˜o derivada das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = 3
√
ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R);
b) f(x) = log3(arctgx
2);
c) f(x) = arccos
√
x
ex
;
d) f(x) = arcsen
1
x
;
e) f(x) = ln
arcsenx
arccosx
.
2. Encontre a derivada da func¸a˜o f(x) = g(x)h(x). Dica : Perceba que f(x) = g(x)h(x) =
[eln g(x)]h(x) = eh(x). ln g(x).
3. Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = (cosx)x;
b) f(x) = (senx)(x
2);
c) f(x) = (ex)tg 3x.
4. Mostre que |sen y − senx| ≤ |y − x|. Dica : Use o Teorema do Valor Me´dio.
5. Verifique se as hipo´teses do teorema de Rolle esta˜o satisfeitas pela func¸a˜o f no inter-
valo I. Se estiver, obtenha um c ∈ I que satisfac¸a a tese do teorema.
a) f(x) =
2x2 − 3x + 1
3x− 4 e I =
[
1
2
, 1
]
;
b) f(x) =
{
x + 3, se x < 2
7− x, se x ≥ 2 e I = [−3, 7];
c) f(x) = x3 − 2x2 − x + 2 e I = [−1, 2].
6. Verifique se as hipo´teses do teorema do Valor Me´dio esta˜o satisfeitas pela func¸a˜o f
no intervalo I. Se estiver, obtenha um c ∈ I que satisfac¸a a tese do teorema.
a) f(x) = x2 + 2x− 1 e I = [0, 1];
1
b) f(x) =
√
100− x2 e I = [−8, 6];
c) f(x) =
{
3x + 2, se x < 1
8− 3x, se x ≥ 1 e I = [−2, 4];
7. Determine os intervalos em que f e´ crescente e os intervalos em que e´ decrescente.
a) f(x) = 2x3 − 15x2 − 84x + 13
b) f(x) = x3 − 9x2 + 15x− 5
c) f(x) = cosx
d) f(x) =
{
x2 − 1, se x ≤ 1
x2 + 2x− 3, se x > 1
8. Obtenha os extremos absolutos (valores extremos) das func¸o˜es abaixo nos intervalos
dados:
a) f(x) = x3 + x2 − x + 1 no intervalo
[
−2, 1
2
]
;
b) f(x) =
1
x− 2 no intervalo [3, 6].
9. Um triaˆngulo esta´ inscrito numa semicircunfereˆncia de raio R. Seus lados medem a,
b e 2R. Calcule a e b quando a a´rea do triaˆngulo e´ ma´xima.
10. Um retaˆngulo de dimenso˜es x e y tem per´ımetro 2a (a e´ constante dada). Determine
x e y para que sua a´rea seja ma´xima.
11. Ache os pontos de ma´ximo local e de mı´nino local das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) =
x2 + 1
x
b) f(x) = cosx
c) f(x) =
x
1 + x2
d) f(x) = x2ex
e) f(x) = loge(1 + x
2)
12. Encontre como devem ser a e b para que a func¸a˜o f(x) = ax− b ln(1 + x2) tenha:
a) 2 como ponto de mı´nimo local;
b) −2 como ponto de ma´ximo local.
13. Determine onde o gra´fico da func¸a˜o dada tem concavidade positiva, onde a concavi-
dade e´ negativa e obtenha os pontos de inflexa˜o, caso existam.
2
a) f(x) = x3 + 9x
b) f(x) = x5 − x
c) f(x) = senx
14. Esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = 2x3 − 6x
b) f(x) = 4x3 − x2 − 24x− 1
c) f(x) = 3x4 + 4x3 + 6x2 − 4
d) f(x) =
9x
x2 + 9
e) f(x) =
x + 1
x− 3
3