TEOREMA DO VALOR MÉDIO

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Câmpus Cornélio Procópio 
Notas de aula: Prof. Me. Armando P. Silva Teorema do Valor Médio e Teorema de Rolle 
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Teorema do Valor Médio 
 
Inicialmente vamos observar os dois conjuntos de gráficos de funções para 
estabelecer uma discussão a respeito de suas propriedades. 
 
 
Figura 1 
 
 
Figura 2 
 
Os gráficos das funções representadas nas Figuras 1 e 2 satisfazem as condições 
do teorema que enunciamos a seguir: 
 
Teorema do Valor Médio (TVM) 
 
Seja f uma função que satisfaz as seguintes hipóteses: 
i) f é continua em  ,a b ; 
ii) f é derivável em  ,a b . 
Então existe um número  ,c a b tal que 
( ) ( )
'( )
f b f a
f c
b a



 ou de maneira 
equivalente, ( ) ( ) '( )( )f b f a f c b a   . 
A Figura 3 nos dá exemplos de funções onde não se aplica o Teorema do Valor 
Médio, justamente porque estas não estão nas condições do Teorema. 
 
Figura 3 
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Para compreender o significado do Teorema do Valor Médio faremos uma analogia 
com a seguinte situação: 
 
Se a média de velocidade, em uma viagem de carro de uma cidade a outra, é de 
80Km/h, então em algum momento da viagem o velocímetro do carro deve ter 
marcado 80Km/h. Fazendo uma leitura em termos matemáticos, seja ( )s t a posição 
do carro em cada instante t . Se a viagem começa em t a (horas) e termina em 
t b (horas), a velocidade média é dada por: 
( ) ( )
( )M
s b s a
v t
b a



 . 
 
A afirmação de que em algum momento da viagem a velocidade instantânea deve 
ser igual a velocidade média, significa que em algum tempo *t tem-se 
* *( ) ( )( ) ( ) '( )M
s b s a
v t v t s t
b a

  

. 
 
Dando interpretação similar, porém, agora observando o conjunto de gráficos da 
Figura 1, podemos perceber que se a função de posição ( )s t de um objeto em 
movimento passar pelo mesmo lugar um dois instantes diferentes, t a e t b então 
( ) ( )s a s b , o que indica que pelo menos uma vez no percurso, o objeto teve 
velocidade instantânea nula. 
 
Na verdade este resultado é dado pelo Teorema de Rolle. Nós o enunciaremos na 
sequencia, também porque iremos utilizá-lo na demonstração do TVM. 
 
O Teorema do Valor Médio estabelece as condições mínimas que uma função s 
deve satisfazer para que a igualdade 
( ) ( ) * *( ) ( ) '( )
s b s a
v t v t s tM
b a

  

 seja 
verdadeira. 
 
Teorema de Rolle 
 
Seja f uma função que satisfaz as seguintes hipótese: 
i) f é continua em  ,a b ; 
ii) f é derivável em  ,a b ; 
iii) ( ) ( )f a f b . 
Então existe um número  ,c a b tal que '( ) 0f c  . 
 
Podemos observar que o conjunto de funções representadas graficamente na Figura 
1 satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle. 
 
Demonstração do TVM 
 
Vamos construir as funções S e g para compor a demonstração: 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
f b f a
S x f a x a
b a

  

,  ,x a b , cujo gráfico é a reta secante ao gráfico 
de f passando pelos pontos  , ( )a f a e  , ( )b f b e 
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 ( ) ( ) ( )g x f x S x  , com  ,x a b note que a função g assim definida, mede, 
para cada  ,x a b , a distância vertical entre os pontos ( , ( ))x f x no gráfico de f e 
( , ( ))x g x na reta secante S . Veja que ( ) ( ) 0g a g b  . 
 
A função g satisfaz as condições do teorema de Rolle, então, existe  ,c a b tal que 
'( ) 0g c  . Além disso, '( ) '( ) '( )g x f x S x  e 
( ) ( )
'( )
f b f a
S x
b a



, assim, 
( ) ( )
'( ) '( )
f b f a
g x f x
b a

 

. 
 
Para x c , 
( ) ( )
'( ) '( ) 0
f b f a
g c f c
b a

  

. Portanto, ( ) ( ) '( )( )f b f a f c b a   . 
Geometricamente, podemos perceber que a reta tangente ao gráfico de f 
é paralela ao segmento da reta secante em  ,a b exatamente em um ponto em que 
a função g atinge o seu maior valor. 
 
Consequências do Teorema do Valor Médio 
 
A primeira consequência é a recíproca do fato trivial de que a derivada de uma 
função constante é igual à zero, ou seja, se a derivada de uma função é zero, a 
função é constante. A princípio nada nos assegura que este fato seja verdadeiro. 
Será que não poderia existir uma função desconhecida, estranha, e não constante 
cuja derivada fosse zero? Bem, com o Teorema do Valor Médio podemos provar que 
tal função estranha não existe. 
 
Nos corolários que seguem consideramos f e g contínuas no intervalo fechado 
 ,a b e deriváveis em  ,a b . 
 
Corolário 1 (Funções com derivada zero) 
 
Se '( ) 0f x  para todo  ,x a b , então f é uma função constante em  ,a b , isto é, 
existe um número real k, tal que, ( )f x k , qualquer que seja o ponto x de  ,a b . 
 
Corolário 2 (Funções com derivadas iguais) 
 
Se '( ) '( )f x g x , para todo x no intervalo  ,a b . Então, f e g diferem por uma 
constante, isto é, existe um número real k , tal que, ( ) ( )f x g x k  , para todo 
 ,x a b . 
 
Interpretação Geométrica: 
 
Como as duas funções f e g diferem por uma constante, o gráfico de f pode ser 
obtido a partir do gráfico de g , ou vice-versa, por uma translação vertical. Além 
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disso, como estas funções têm a mesma derivada em cada ponto  ,x a b , seus 
gráficos têm retas tangentes paralelas nos pontos correspondentes ( , ( ))x f x e 
( , ( ))x g x . Por isso estes gráficos são ditos paralelos. Veja Figura 4: 
 
 
f g h 
 
 Figura 4 
 
Observe que as retas tangentes correspondentes, de cada curva são paralelas, ou 
seja, suas derivadas são iguais para todo x . 
 
Corolário 3 (Funções crescentes e decrescentes) 
 
 Se '( ) 0f x  para todo  ,x a b , então f é uma função crescente em  ,a b . 
 Se '( ) 0f x  para todo  ,x a b , então f é uma função decrescente em  ,a b . 
 
Corolário 4 (Teorema do Valor Médio generalizado) 
 
Sejam f e g contínuas em  ,a b e deriváveis em  ,a b e suponha além disso que 
'( ) 0g x  para a x b  . Então existe pelo menos um c entre a e b tal que 
'( ) ( ) ( )
'( ) ( ) ( )
f c f b f a
g c g b g a


 
Exercício: Mostre que a função 3
1
( ) 1
4
f x x  satisfaz as hipóteses do Teorema do 
Valor Médio no intervalo [0,2] e encontre todos os valores de c do intervalo (0,2) , 
nos quais a reta tangente ao gráfico de f é paralela à reta secante que liga os 
pontos (0, (0))f e (2, (2))f .