9PEAE Estimação de parâmetros proporção e média [Modo de Compatibilidade]

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Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística 
aplicada à Engenhariaaplicada à Engenharia
Profa. Marília GomesProfa. Marília Gomes
-- EstimaçãoEstimação dede umauma proporçãoproporção
-- EstimaçãoEstimação dede umauma médiamédia
UnB UnB –– Universidade de BrasíliaUniversidade de Brasília
FGA FGA –– Faculdade UnB GamaFaculdade UnB Gama
Graduação Graduação –– ciclo básicociclo básico
• Com base em uma amostra, como estimar
parâmetros populacionais?
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
• Vamos considerar o caso em que o tamanho
da amostra é razoavelmente grande e o
atributo em observação não seja muito raro
ou quase certo, de tal forma que seja válida
a aproximação da distribuição binomial para
a normal;
• Suponha que a população de onde foi
extraída essa amostra seja muito grande,
não necessitando considerar o seu tamanho
nos cálculos;
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
PROPORÇÃOPROPORÇÃO
• Com essas suposições, o desvio padrão da
distribuição amostral de P, σP, também
conhecido como erro padrão de P, pode ser
estimado pelos dados da amostra, usando a
expressão:
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
PROPORÇÃOPROPORÇÃO
• Se o tamanho da população, N, for
conhecido e não muito grande (N < 20n),
então estima-se o erro padrão da proporção
por:
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
PROPORÇÃOPROPORÇÃO
• Intervalo de confiança para  (nível de
95% de confiança):
- Fixado o nível de confiança em 95%, como
é usual na prática, o limite máximo para o
erro amostral fica em torno de (1,96)SP,
pois, temos, aproximadamente, 95% de
probabilidade de o valor de P cair a menos
de 1,96 desvios padrões de .
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
PROPORÇÃOPROPORÇÃO
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ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
PROPORÇÃOPROPORÇÃO
• Voltando ao exemplo das aulas anteriores...
- Suponha que na amostra de n = 400
pessoas, encontramos 60% de favoráveis.
Temos, então, P = 0,60 (ou 60%), com erro
padrão:
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
PROPORÇÃOPROPORÇÃO
- Usando nível de confiança de 95%, temos
um limite superior para o erro amostral de:
que representaremos por:
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
PROPORÇÃOPROPORÇÃO
- Podemos dizer, com nível de confiança de
95%, que o intervalo 60,0% ± 4,8% contém
o parâmetro  (proporção de favoráveis em
toda a população).
• De modo geral, o intervalo centrado em P e
com semi-amplitude E = (1,96)×SP,
representado por P ± E ou (P-E, P+E) é dito
um intervalo de confiança para o
parâmetro , com nível de confiança de
95%.
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
PROPORÇÃOPROPORÇÃO
• Outros níveis de confiança:
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
PROPORÇÃOPROPORÇÃO
• Quando a variável em estudo é quantitativa,
normalmente se tem interesse no parâmetro
µ (média);
• Tendo uma amostra aleatória simples da
população de interesse, podemos ter uma
estimativa de µ através do cálculo da média
dos valores da amostra:
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
MÉDIAMÉDIA
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• Como o valor de X vai depender da amostra
selecionada, podemos falar em erro padrão
e em distribuição amostral de X . O erro
padrão de X pode ser estimado com os
dados da amostra por:
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
MÉDIAMÉDIA
• Se o tamanho da população, N, for
conhecido e não muito grande (N < 20n),
então estima-se o erro padrão da média por:
• Atenção:
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
MÉDIAMÉDIA
• Margem de erro na estimação de uma
média:

- Exemplo: seja µ = ganho médio de peso
durante o primeiro ano letivo, na população
de crianças da rede municipal de ensino,
devido a uma merenda especial.
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
MÉDIAMÉDIA
- Deseja-se estimar esse parâmetro µ.
- Solução:
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
MÉDIAMÉDIA
- Ou seja, a partir do acompanhamento da
amostra das cem crianças, chegamos à
conclusão de que o intervalo de 5,608 a
6,392 kg contém, com 95% de confiança, o
ganho médio de peso, µ, de todas as
crianças do primeiro ano da rede municipal
de ensino, que venham a ser submetidas à
merenda especial. Esquematicamente:
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
MÉDIAMÉDIA
• Margem de erro na estimação de uma
média:

ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
MÉDIAMÉDIA
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ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
MÉDIAMÉDIA
• Como usar a Tabela da distribuição t de
Student:
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
MÉDIAMÉDIA
- Exemplo: Para verificar a eficácia de um
programa de prevenção de acidentes de
trabalho, foi realizado um estudo
experimental, implementando esse
programa em dez empresas da construção
civil, escolhidas ao acaso, numa certa
região. Os dados a seguir se referem aos
percentuais de redução de acidentes de
trabalho, nas dez empresas observadas.
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
MÉDIAMÉDIA
- O objetivo é estimar o parâmetro µ = média
da redução percentual de acidentes de
trabalho, em todas as empresas da
construção civil da região, que venham a
serem submetidas ao programa preventivo.
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
MÉDIAMÉDIA
- Solução:
ESTIMAÇÃO DE UMA ESTIMAÇÃO DE UMA 
MÉDIAMÉDIA