Lista de exercícios sobre esboço de gráficos e problemas de otimização

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3101 - Ca´lculo 1
6a lista de exerc´ıcios (18/09/2017 a 22/09/2017)
1. Encontre os nu´meros cr´ıticos da func¸a˜o.
s(t) = 3t4 + 4t3 − 6t2(a) F (x) = x4/5(x− 4)2(b)
x(t) = 3
√
t3 − 2t+ 1(c) g(x) = x2e−5x(d)
y = cosx(e) y = |2x− 3|(f)
2. Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo locais e absolutos de f .
f(x) = 8− 3x, x ≥ 1(a) f(t) = 1
t
, 0 < t < 1(b) f(x) =
{
1− x, 0 ≤ x < 2
2x− 4, 2 ≤ x ≤ 3.(c)
3. Para cada uma das seguintes func¸o˜es, encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absoluto nos intervalos
indicados.
f(x) = x3 − x2 − 8x+ 1, [−2, 2](a) f(x) = x+ 1
x2 + 1
, [−1, 1/2](b)
f(x) = x− 3 lnx, [1, 4](c) f(x) = sen x+ cosx, [0, pi/3](d)
4. Mostre que entre todos os retaˆngulos de mesmo per´ımetro, o que tem maior a´rea e´ o quadrado.
5. Encontre dois nu´meros positivos cuja soma e´ 16 e cujo produto e´ o ma´ximo poss´ıvel.
6. Determine a altura do cone circular reto, de volume ma´ximo, inscrito na esfera de raio R dado.
7. Ao prec¸o de R$ 1, 50 um vendedor ambulante pode vender 500 unidades de uma certa mercadoria que
custa 70 centavos cada. Para cada centavo que o vendedor abaixa no prec¸o, a quantidade vendida pode
aumentar de 25. Que prec¸o de venda maximizara´ o lucro?
8. Um homem lanc¸a seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com uma largura de 3 km, e
deseja atingir ta˜o ra´pido quanto poss´ıvel um ponto B na outra margem, 8 km rio abaixo. Ele pode
dirigir seu barco diretamente para o outro lado do rio, chegando ate´ um ponto C e enta˜o seguir andando
para B, ou remar diretamente para B, ou remar ate´ algum ponto D entre C e B e enta˜o andar ate´ B.
Se ele pode remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais ra´pido
poss´ıvel? (Estamos supondo que a velocidade da a´gua seja desprez´ıvel comparada com a velocidade na
qual o homem rema.)
9. Dois produtos A e B sa˜o manufaturados em uma determinada fa´brica. Se C e´ o custo total de produc¸a˜o
para um dia de 8 horas de trabalho, enta˜o C = x2 + 14y, onde x ma´quinas sa˜o usadas para produzir
A e y ma´quinas para B. Se 5 ma´quinas esta˜o funcionando durante as 8 horas de trabalho, determine
quantas destas ma´quinas devem produzir A e quantas B, para que o custo total seja mı´nimo.
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10. Um fabricante de la´pis sabe que se x la´pis forem produzidos eles podera˜o ser vendidos por (10− x). O
custo de produc¸a˜o de x la´pis e´ de C(x) = 2x. Quantos la´pis o fabricante deve produzir para obter um
lucro ma´ximo e qual sera´ o valor desse lucro.
11. Um empresa´rio deseja abrir uma pequena fa´brica. Segundo um estudo feito por ele, se x funciona´rios
forem contratados, seu lucro L(x) anual em reais sera´ de
L(x) = 90x2 − x3, 0 ≤ x ≤ 80.
O estudo considera a possibilidade de contratar ate´ 80 funciona´rios. Quantos funciona´rios devem ser
contratados para que o lucro anual seja o maior poss´ıvel? E qual o valor desse lucro?
12. Um fio de comprimento m e´ cortado em dois pedac¸os. Com um deles se fara´ um c´ırculo e com o outro
um quadrado.
a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas a´reas compreendidas pelas figuras seja
mı´nima?
b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das a´reas compreendidas seja ma´xima?
13. Um fabricante de arma´rios e´ capaz de fazer 5 pec¸as por dia. Uma entrega do material custa 5.000,
enquanto sua estocagem custa 10 por dia por unidade (quantidade de mate´ria prima para fazer uma
pec¸a). Quanto de mate´ria prima deve ser encomendada de cada vez e com que frequeˆncia, de modo a
minimizar o custo me´dio dia´rio nos ciclos de produc¸a˜o entre as entregas?
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