Prova 2 Modelo Calculo I Derivadas e gráficos de funções

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Floriano´polis, 23 de maio de 2017 - 2a Prova de Ca´lculo 1 (MTM3101)
Universidade Federal de Santa Catarina - Departamento de Matema´tica
Nome:
Matr´ıcula:
Questa˜o 1 2 3 4 5 6 7 Total
Pontos 2 1 1 1 2 11/2 11/2 10
Nota
Caderno de Respostas
• Esta prova e´ composta por 7 questo˜es. Certifique-se de que todas as questo˜es esta˜o leg´ıveis. Preencha as informac¸o˜es requeridas no topo desta
pa´gina e rubrique cada uma das folhas da prova, no alto a` direita.
• Certifique-se de que sua mesa na˜o possui nenhuma conta ou fo´rmula escrita. Na˜o utilize a mesa como rascunho, utilize a folha apropriada. Sobre
a mesa, deixe apenas la´pis ou lapiseira, caneta (azul ou preta), borracha e documento. Guarde sua mochila abaixo da mesa ou cadeira (na˜o no
corredor). Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras e de qualquer dispositivo eletroˆnico. Seu celular deve ser desligado e guardado. Em hipo´tese
alguma, mexa no celular durante a prova ou converse com algum colega. A prova pode ser resolvida a la´pis.
• A prova tem durac¸a˜o de 100 minutos. O tempo mı´nimo de permaneˆncia e´ 30 minutos. Na˜o esquec¸a de assinar a lista de presenc¸a ao entregar a
prova. Na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova.
• Interpretac¸a˜o, compreensa˜o e resoluc¸a˜o das questo˜es fazem parte da avaliac¸a˜o. Voceˆ deve exibir todos os ca´lculos e deduc¸o˜es que levaram a`
obtenc¸a˜o da resposta. Se voceˆ usar algum teorema, indique e explique como o teorema se aplica. Organize sua soluc¸a˜o de modo coerente e coeso,
no espac¸o previsto. Respostas na˜o justificadas ou incorretamente justificadas na˜o sera˜o consideradas.
• Se voceˆ necessitar de mais espac¸o para resolver alguma questa˜o, pec¸a mais folhas. Escreva seu nome e indique claramente qual questa˜o esta´ sendo
resolvida.
Boa prova!
1. Calcule as seguintes derivadas.
(a)(1) f(x) = arcsen(2x− 1) (b)(1) f(x) = (ln x)(cosh 3x)+(senh
(
cos
(pix
2
))
2.(1) Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo de f(x) =
x√
x− 4 em [5, 12].
3.(1) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = f(x) que satisfaz x2 + xy − y2 = −1 no
ponto (1, 2).
4.(1) Uma luz esta´ no piso de uma calc¸ada, 30 pe´s de distaˆncia de uma parede vertical. A calc¸ada
intersepta a parede num aˆngulo reto. Uma pessoa de 5 pe´s de altura esta´ na calc¸ada entre
a luz e a parede, caminhando em direc¸a˜o a parede a uma velocidade de 4 pe´s por segundo.
Qua˜o ra´pido a sombra da pessoa na parede esta´ diminuindo quando a pessoa esta´ a 12 pe´s de
distaˆncia da parede?
5. Calcule os seguintes limites
(a)(1/2) lim
x→∞
x2 − ln ( 2
x
)
3x2 + 2x
(b)(1/2) lim
x→∞
x
(
e1/x − 1)
(c)(1/2) lim
x→∞
(
x− 1
x+ 1
)5x
(d)(1/2) lim
x→∞
tan
(pi
x
)
lnx
6.(11/2) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) =
x
x2 − 9 .
7.(11/2) Encontre a a´rea do maior retaˆngulo que pode ser inscrito num triaˆngulo reto, cujos catetos
medem 3cm e 8cm, se dois lados desse retaˆngulo esta˜o sobre os catetos do triaˆngulo.