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09/09/2016
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Aula 4
Doutoranda e Mestra em Ensino de 
Ciências e Educação Matemática
Unidade de Ensino: 4
Competência da 
Unidade de Ensino:
Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do
profissional da área de exatas.
Resumo:
Nesta aula, conheceremos as regras de derivada implícita, taxa 
de variação, máximos e mínimos e otimização. Além disso, 
vamos conhecer e aplicar esses conhecimentos de derivada na 
descrição de fenômenos e situações-problema. 
Palavras-chave: Derivadas; regras; funções; otimização.
Título da teleaula: Otimização da derivada
Teleaula nº: 4
Estudar as derivadas das funções é fundamental para 
compreender seu comportamento. Além disso, elas 
estão relacionadas com muitas áreas de 
conhecimento.
A aplicação das derivadas é extensa,
possui complexidade que varia de
acordo com o problema em estudo
e pode ser muito útil na vida
profissional de um engenheiro.
Qual o significado 
das palavras 
“implícita” e 
“explícita”?
O que significa 
otimizar uma 
função? E como 
fazer isso?
Qual a 
importância da 
otimização de 
funções para o 
engenheiro?
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Operações matemáticas básicas
Equações polinomiais (algébricas):
operações, conjunto solução (raízes), fatoração, 
produtos notáveis.
Sistema de coordenadas cartesianas:
representação gráfica.
Funções e regras de derivação
João acabou de concluir o Ensino Médio e irá 
participar de um processo seletivo para trabalhar 
como estagiário, em uma empresa multinacional.
Teste:
mostrar que 
compreende e é 
capaz de resolver 
problemas ligados 
ao cotidiano.
Resolver 
situações-
-problema: 
que tratam da 
interdependência 
de várias coisas.
Um radar da polícia rodoviária foi colocado atrás de uma 
árvore a 12 metros de uma rodovia, que segue em linha 
reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da 
rodovia mais próximo do radar, havia um telefone de 
emergência. O policial mirou o canhão do radar no 
telefone e, em seguida, um carro
passou por ele. Naquele momento,
o radar indicou que a distância
entre o policial e o carro estava
aumentando a uma taxa de 70 km/h.
O limite de velocidade naquele
trecho da rodovia é de 80 km/h. 
O policial deve ou não 
multar o motorista?
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Funções implícitas: funções em que as variáveis 𝑥 e 𝑦
são apresentadas juntas, no mesmo lado da equação.
Nesse caso, a função não é escrita explicitamente
como 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Forma de funções implícitas:
𝐹 𝑥, 𝑦 = 0
Nem todas as funções implícitas
são deriváveis em todos os pontos
de seu domínio. 
Taxas relacionadas: as taxas relacionadas se referem 
à variação de uma grandeza com relação à outra. Em 
um problema de taxas relacionadas, a ideia é calcular 
a taxa de variação de uma grandeza, em termos da 
taxa de variação da outra. 
O policial deve ou não multar
o motorista?
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑧2 = 122 + 𝑦2
𝒛𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 + 𝒚²
Temos que:
as distâncias 𝑧, do policial ao automóvel, e 𝑦, do
automóvel em relação ao ponto da rodovia mais
próximo da árvore, variam com o tempo;
o radar marca a velocidade do automóvel em relação ao
policial, isto é,
𝑑𝑧
𝑑𝑡
quando 𝑦 = 16 𝑚;
para saber se o motorista deve ou
não ser multado, precisamos
determinar 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
. 
Derivando implicitamente a equação 𝑧2 = 144 + 𝑦²:
𝑑
𝑑𝑡
𝑧2 =
𝑑
𝑑𝑡
144 +
𝑑
𝑑𝑡
𝑦2
2𝑧 ∙
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2𝑦 ∙
𝑑𝑦
𝑑𝑡
2𝑧
2𝑦
∙
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑧
𝑦
∙
𝑑𝑧
𝑑𝑡
Considerando 𝑦 = 16 𝑚, temos:
𝑧2 = 144 + 𝑦²
𝑧2 = 144 + (16)²
𝑧2 = 144 + 256
𝑧 = 400
𝑧 = 20𝑚
Quando 𝑦 = 16 𝑚 = 0,016 𝑘𝑚, a
leitura do radar nos diz que 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 70 𝑘𝑚/ℎ
Neste momento, temos que 
z = 20 𝑚 = 0,02 𝑘𝑚
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𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑧
𝑦
∙
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
0,02
0,016
∙ 70
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 1,25 ∙ 70
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝟖𝟕, 𝟓 𝒌𝒎/𝒉
O motorista deve ser multado.
O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 
24 de abril de 1990, pelo ônibus espacial Discovery. Um 
modelo para a velocidade do ônibus durante a missão, 
do lançamento em 𝑡 = 0 até a ejeção do foguete auxiliar 
em 𝑡 = 126𝑠, é dado por:
𝑣 𝑡 = 0,0003969𝑡3 − 0,02752𝑡2 + 7,196𝑡 − 0,9397
(em metros/segundo). 
Fonte: <http://fatosdesconhecidos.com.br/as-5-descobertas-mais-
importantes-do-telescopio-hubble/> Acesso em: 24 jul. 2016. 
Usando esse modelo, como estimar os 
valores máximos e mínimos da 
aceleração do ônibus, entre o lançamento 
e a ejeção do foguete auxiliar? 
Teorema: seja 𝑓(𝑥) uma função contínua em um
intervalo fechado 𝑎, 𝑏 e diferenciável no intervalo
aberto (𝑎, 𝑏):
𝑓(𝑥) é crescente nos intervalos em que 𝑓′(𝑥) > 0;
𝑓(𝑥) é decrescente nos intervalos em que 𝑓′(𝑥) < 0;
𝑓(𝑥) é constante nos intervalos em que 𝑓′(𝑥) = 0.
Máximo e mínimo local
Pontos críticos: determina-se 𝑓′ 𝑥 = 0.
Quando 𝑓′ 𝑥 = 0 não existir,
também será um ponto crítico. 
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Teste da derivada primeira para máximos e mínimos locais
Suponha que 𝑝 é um ponto crítico de uma função contínua 𝑓:
se 𝑓′ muda de negativa para positiva em 𝑝, então 𝑓 tem 
um mínimo local em 𝑝;
se 𝑓′ muda de positiva para negativa em 𝑝, então 𝑓 tem 
um máximo local em 𝑝.
Em resumo, pode-se encontrar o máximo e mínimo
local de uma função seguindo os seguintes passos:
determine 𝑓′(𝑥);
determine os pontos críticos de 𝑓(𝑥), isto é, os
valores de 𝑥 para os quais 𝑓′ 𝑥 = 0 ou para os quais
𝑓′(𝑥) não existe;
aplique o teste da derivada primeira.
O lançamento em 𝑡 = 0 até a ejeção do foguete auxiliar 
em 𝑡 = 126𝑠, é dado por:
𝑣 𝑡 = 0,0003969𝑡3 − 0,02752𝑡2 + 7,196𝑡 − 0,9397
(em metros/segundo). 
Estimar os valores máximos e
mínimos da aceleração do ônibus
entre o lançamento e a ejeção do
foguete auxiliar.
São pedidos os valores extremos não da função de
velocidade dada, mas da função de aceleração. Assim,
precisamos primeiro derivar para encontrar a
aceleração:
𝑣 𝑡 = 0,0003969𝑡3 − 0,02752𝑡2 + 7,196𝑡 − 0,9397
↓
𝑎 𝑡 = 𝑣′ 𝑡 =
= 0,0011904𝑡2 − 0,05504𝑡 + 7,196
No intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 126 , a derivada é:
𝑎 𝑡 = 0,0011904𝑡2 − 0,05504𝑡 + 7,196
↓
𝑎′ 𝑡 = 0,0023808𝑡 − 0,05504
Ponto crítico 𝑎′ 𝑡 = 0:
𝑎′ 𝑡 = 0,0023808𝑡 − 0,05504
0 = 0,0023808𝑡 − 0,05504
0,0023808𝑡 = 0,05504
𝑡 =
0,05504
0,0023808
𝒕 ≅ 𝟐𝟑, 𝟏𝟐 𝒔
Calculando 𝑎(𝑡) no número crítico e nas extremidades,
temos:
𝑎 𝑡 = 0,0011904𝑡2 − 0,05504𝑡 + 7,196
𝑎 0 = 0,0011904(0)2−0,05504(0) + 7,196
𝑎 0 = 7,196 𝑚/𝑠²
𝑎 𝑡 = 0,0011904𝑡2 − 0,05504𝑡 + 7,196
𝑎 23,12 = 6,56 𝑚/𝑠²
𝑎 𝑡 = 0,0011904𝑡2 − 0,05504𝑡 + 7,196
𝑎 126 = 19,16 𝑚/𝑠²
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𝑎 𝑡 = 0,0011904𝑡2 − 0,05504𝑡 + 7,196
Fonte: Da autora (2016)
Durante várias semanas, o departamento de trânsito 
de uma cidade vem registrando a velocidade dos 
veículos que passam por um determinado 
cruzamento. Os resultados mostram que, entre 13 e 
18 horas, a velocidade média neste cruzamento é 
dada, aproximadamente, por 𝑣 𝑡 = 𝑡3 − 10,5𝑡2 +
30𝑡 + 20 km/h, onde 𝑡 é o número de horas 
após o meio-dia.
Qual o instante, entre 13 e 
18 horas, em que o trânsito é
mais rápido?
Qual o instante, entre 13 e 
18 horas, em que o trânsito é 
mais lento?
Concavidade: teste se um ponto crítico é um máximo ou
um mínimo local.
Teste da segunda derivada para concavidade: seja 𝑦 =
𝑓(𝑥) uma função duas vezes derivável em um intervalo
𝐼:
se 𝑓”(𝑥) > 0 para todo 𝑥 em 𝐼,
então o gráfico de 𝑓 é côncavo
para cima em I;
se 𝑓” 𝑥 < 0 para todo 𝑥 em 𝐼,
então o gráfico de 𝑓 é côncavo
para baixoem I.
Ponto de inflexão: ponto no qual o gráfico de uma
função muda de concavidade.
Uma função 𝑓 com derivada contínua tem um ponto de
inflexão em 𝑝, se uma das condições a seguir for válida:
𝑓′ tem um mínimo local ou um máximo local em 𝑝.
𝑓’’ muda de sinal em 𝑝.
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Teste da segunda derivada para extremos locais:
supondo que 𝑓”(𝑥) seja contínua em um intervalo
aberto que contenha 𝑥 = 𝑐:
se 𝑓′ 𝑐 = 0 e 𝑓′′ 𝑐 < 0, então 𝑓 tem um máximo
local em 𝑥 = 𝑐;
se 𝑓′ 𝑐 = 0 e 𝑓′′ 𝑐 > 0, então 𝑓 tem um mínimo
local em 𝑥 = 𝑐;
se 𝑓′ 𝑐 = 0 e 𝑓′′ 𝑐 = 0, então
o teste falha, pois a função 𝑓 pode ter
máximo local, ou mínimo local ou
nenhum dos dois. 
Mudança de concavidade em 𝒑: pontos de inflexão.
Entre as 13 e 18 horas, a velocidade média no 
cruzamento é dada, aproximadamente, por
𝑣 𝑡 = 𝑡3 − 10,5𝑡2 + 30𝑡 + 20.
Qual o instante em que o trânsito é mais rápido?
E qual o mais lento?
Devemos determinar o máximo e o 
mínimo absoluto da função 𝑣(𝑡) no 
intervalo 1 ≤ 𝑡 ≤ 6.
𝑣 𝑡 = 𝑡3 − 10,5𝑡2 + 30𝑡 + 20
𝑣′ 𝑡 = 3𝑡2 − 21𝑡 + 30
0 = 3𝑡2 − 21𝑡 + 30
↓
𝑡 = 2 ou 𝑡 = 5
Teste da segunda derivada:
𝑣′′ 𝑡 = 6𝑡 − 21
𝑣′′ 2 = 6 2 − 21 = −9 < 0 𝑚á𝑥.
𝑣′′ 5 = 6 5 − 21 = 9 > 0 𝑚í𝑛.
Temos:
𝑣 1 = (1)3−10,5 1 2 + 30 1 + 20 = 40,5
𝑣 2 = (2)3−10,5 2 2 + 30 2 + 20 = 46
𝑣 5 = (5)3−10,5 5 2 + 30 5 + 20 = 32,5
𝑣 6 = (6)3−10,5 6 2 + 30 6 + 20 = 38
Fonte: Da autora (2016)
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Pretende-se estender um cabo de uma usina de força
à margem de um rio de 900 m de largura até uma
fábrica situada do outro lado do rio, que é 3000 m rio
abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de
R$ 5,00 o metro, já para estendê-lo por terra custa
R$ 4,00 o metro.
Fonte: Disponível em: 
http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/problemasdeotimizacao.pdf. 
Acesso em: 18 ago. 2015.
Qual é o percurso 
mais econômico para
o cabo?
Otimização: determinação dos valores extremos de
uma função, isto é, o maior ou o menor valor que uma
função pode assumir em um dado intervalo.
Função custo:
𝐶 𝑥 = 5 ∙ 9002 + 𝑥2 + 4 ∙ 3000− 𝑥
Como 𝑥 e 3000 − 𝑥 não podem ser 
negativos → Domínio (0; 3000).
Pontos críticos:
𝐶 𝑥 = 5 ∙ 9002 + 𝑥2 + 4 ∙ 3000 − 𝑥
𝐶 𝑥 = 5 ∙ 9002 + 𝑥2 + 4 ∙ 3000 − 𝑥
𝐶′ 𝑥 = 5 ∙ 2𝑥 ∙
1
2
9002 + 𝑥2 −
1
2 + (−4)
𝑓 𝑢 = 𝑢 = 𝑢1/2
𝒇′ 𝒖 =
𝟏
𝟐
𝒖−𝟏/𝟐
𝑢 = 9002 + 𝑥²
𝒖′ = 𝟐𝒙
𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
0 ∙ 300 − 𝑥 + 4 ∙ (−1)
−4
𝐶′ 𝑥 = 5 ∙ 2𝑥 ∙
1
2
9002 + 𝑥2 −
1
2 + (−4)
𝐶′ 𝑥 = 5 ∙
𝑥
9002 + 𝑥2
− 4
𝐶′ 𝑥 =
5𝑥
9002 + 𝑥2
− 4
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0 =
5𝑥
9002 + 𝑥²
− 4 →
5𝑥
9002 + 𝑥2
= 4
4 ∙ 9002 + 𝑥2 = 5𝑥
9002 + 𝑥2 =
5𝑥
4
9002 + 𝑥2
2
=
5𝑥
4
2
9002 + 𝑥2 =
25𝑥2
16
16 ∙ 9002 + 16𝑥2 = 25𝑥2
12960000 = 9𝑥2
𝒙 = ±𝟏𝟐𝟎𝟎
Ponto crítico: 1200 (positivo).
𝐶′ 𝑥 =
5𝑥
9002 + 𝑥2
− 4
𝐶′′ 𝑥 =
5 ∙ 900²
(9002 + 𝑥2)3/2
𝐶′′ 𝑥 =
4050000
(810000 + 1440000)3/2
𝐶′′(𝑥) > 0
O ponto crítico é o ponto de
mínimo relativo.
Regra da cadeia
Regra do quociente
Temos:
𝐶 0 = 5 ∙ 9002 + 0 2 + 4 ∙ 3000 − 0 = 16500
𝐶 1200 = 14700
𝐶 3000 = 15660
O custo mínimo para a instalação
do cabo será de R$ 14700. Para
tanto, o cabo deverá percorrer 1800 metros
(3000 – x) por terra, a partir da
fábrica, e depois continuar por água até a
usina. 
Será que todas as equações definidas de forma implícita 
podem definir uma função? Pense, por exemplo, na 
equação implícita: 3𝑥2 + 𝑦2 + 5 = 0.
Um problema de otimização é aquele onde se procura 
determinar os valores extremos de uma função. Que 
procedimentos devem ser seguidos
para resolver uma situação-problema
de otimização?
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