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Zeros Reais de Funções
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Programa
1. Introdução
2. Isolamento das raízes
3. Refinamento
a) Critério de parada
b) Métodos iterativos
c) Comparação entre os métodos
Zeros Reais de Funções
Introdução
Prof. Wellington Passos de Paula
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Zeros de funções – Introdução
 Estudar métodos numéricos para a resolução de 
equações não lineares (determinar a(s) raiz(es) de uma 
função f(x), ou seja, encontrar o(s) valor(es) de x tal 
que f(x) = 0)
 Fundamentar a necessidade de uso de métodos 
numéricos para a resolução de equações não lineares
 Discutir o princípio básico que rege os métodos numéricos 
para a resolução de equações não lineares
 Apresentar e discutir uma série de métodos destinados à 
resolução de equações não lineares
Zeros de funções – Introdução
 Necessidade de resolução de equações do tipo f(x) = 0
+FV
-FV
+FH-FH
Em cada nó 
:
 FH = 0 FV = 0
FEstruturas
(Lei de Kirchhoff)
R
E
i
v = g(i)
+
-
E - Ri – g(i) = 0
Circuitos
Zeros de funções – Introdução
  é um zero da função f(x) ou raiz da equação 
f(x) = 0 se f() = 0.
 Zeros podem ser reais ou complexos.
 Este capítulo trata de zeros reais de f(x).
 Abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x
2211
f(x)
x
Zeros de funções – Introdução
 Para uma equação de segundo grau na forma:
 Determinação das raízes em função de a, b e c:
 Polinômios de grau mais elevado e funções com maior 
grau de complexidade
 Impossibilidade de determinação exata dos zeros
 Uso de soluções aproximadas
02  cbxax
a
acbbx
2
42 
Zeros de funções – Introdução
 Etapas para a determinação de raízes a partir de 
métodos numéricos
 FASE 1: Determinação de um intervalo (o menor possível) 
que contenha apenas uma raiz
 FASE 2: Melhoramento do valor da raiz aproximada 
(refinamento até que a raiz esteja dentro uma precisão ε
prefixada)
Zeros Reais de Funções
Isolamento de Raízes
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Isolamento de raízes
 Realização de uma análise teórica e gráfica da função 
f(x)
 Precisão das análises é relevante para o sucesso da 
fase posterior
 Teorema 1
Sendo f(x) contínua em um intervalo [a, b], se f(a)f(b) < 0 
então existe pelo menos um ponto x =  entre a e b que é 
zero de f(x).
Isolamento de raízes – Análise Gráfica
1 2
f(x)
x3a b b
f(x)
x
a
a 1
f(x)
x2 b
Isolamento de raízes – Tabelamento
 Exemplo: 
f(x) é contínua para
I1 = [-5, -3]
I2 = [0, 1]
I3 = [2, 3]
Cada um dos intervalos acima contém pelo menos um 
zero de f(x). 
 x
39)( 3  xxxf
Isolamento de raízes – Tabelamento
 Exemplo:
f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1,2] 
Mas esse zero é único? 
 Análise do sinal de f’(x)
f(x) admite um único zero em todo seu domínio 
de definição, localizado no intervalo [1,2] 
xexxf  5)(
0,05
2
1)('   xe
x
xf x
Isolamento de raízes
 A partir do Teorema 1, se f’(x) existir e preservar o sinal 
em (a,b), então esse intervalo contém um único zero de 
f(x)
Isolamento de raízes
 Se f(a)f(b) > 0, então podemos ter diversas situações no 
intervalo [a, b].
Isolamento de raízes
 A análise gráfica é fundamental para obtermos boas 
aproximações para a raiz
 Suficiente utilizar um dos seguintes passos:
 Esboçar o gráfico de f(x)
 Localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o 
eixo x
 Obtenção da equação equivalente g(x) = h(x) a partir da 
equação f(x) = 0
 Construção dos gráficos de g(x) e h(x) no mesmo sistema 
cartesiano e localização dos pontos x nos quais g(x) e h(x)
se interceptam ( f() = 0  g() = h() ) 
 Uso de programas para traçar gráficos de funções
Isolamento de raízes
 O esboço do gráfico de uma função requer um estudo 
detalhado de seu comportamento, no qual devem ser 
considerados os itens abaixo:
 Domínio da função
 Pontos de descontinuidade
 Intervalos de crescimento e decrescimento
 Pontos de máximo e mínimo
 Concavidade
 Pontos de inflexão, etc
Isolamento de raízes
 Exemplo:
Solução utilizando o método 1:
39)( 3  xxxf
30)('
93)('
39)(
2
3



xxf
xxf
xxxf
)3,4(1 
)1,0(2 
)3,2(3
33
-72
-7,3923 3
-51
30
11-1
13,3923-  3
3-3
-25-4
f(x)x
33
f(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4
2211
Isolamento de raízes
 Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Equação Equivalente:
039)( 3  xxxf
0393  xx
3)( xxg 
39)(  xxh
)3,4(1 
)1,0(2 
)3,2(3
33
g(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 422
11
h(x)
y
Isolamento de raízes
 Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Equação Equivalente:
05)(   xexxf
xex  5
xxg )(
xexh  5)(
)2,1(

g(x)
x1 2 3 4
h(x) y
5 6
Isolamento de raízes
 Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Equação Equivalente:
01)log()(  xxxf
x
x 1)log( 
)log()( xxg 
x
xh 1)( 
)3,2(

g(x)
x1 2 3 4
h(x)
y
5 6
Zeros Reais de Funções
Refinamento de Raízes
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Refinamento de raízes
 Aplicação de métodos numéricos destinados ao 
refinamento de raízes
I. Método da Bisseção
II. Método da Posição Falsa
III. Método do Ponto Fixo
IV. Método de Newton – Raphson
V. Método da Secante
 Diferenciação dos métodos  Modo de refinamento
 Método Iterativo  Caracterizado por uma série de 
instruções executáveis seqüencialmente, algumas das 
quais repetidas em ciclos (iterações)
Refinamento de raízes
Sequência de passos:
Critérios de Parada
 Teste: xk suficientemente próximo da raiz exata?
 Como verificar tal questionamento?
 Interpretações para raiz aproximada
 x é raiz aproximada com precisão  se:
ou
 Como proceder se não conhecemos  ?
 x )(xf
Critérios de Parada
 Redução do intervalo que contém a raiz a cada iteração
 Obtenção de um intervalo [a,b] tal que:
 . então 
 Logo pode ser tomado como 
 







ab
e
ba,
    xbax ,,
 bax , x
Critérios de Parada
 Nem sempre é possível satisfazer ambos os critérios
Critérios de Parada
 Métodos numéricos devem satisfazer a pelo menos um dos 
critérios
 Quando da utilização de programas computacionais, 
devemos utilizar:
 Teste de Parada
 Estipular o número máximo de iterações
 Prevenção de loops por:
 Erro no programa
 Escolha de método inadequado
Zeros Reais de Funções
Método da Bisseção
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Método da Bisseção
 Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde 
existe uma raiz única, é possível determinar tal raiz 
subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a 
contém pelo ponto médio de a e b.
 Em outras palavras, o objetivo deste método é reduzir 
a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir 
precisão requerida, ou , usando 
para isto a sucessiva divisão de [a,b] ao meio
 kk ab )(xf
Método da Bisseção
 Definição do intervalo inicial
 Atribuímos [a,b] como intervalo inicial
 a0 = a
 b0 = b
 Condições de Aplicação
 f(a) x f(b) < 0
 Sinal da derivada constante
Método da Bisseção
 Definição de novos intervalos
 Calculamos o ponto médio entre a e b, chamado de x0
 Determinamos qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] –
contém a raiz
 Calculamoso produto f(a) * f(x0)
 Verificamos f(a) * f(x0) < 0
 Se verdadeiro
 Logo a = a e b = x0
 Caso contrario
 Logo a = x0 e b = b
 Repetimos o processo até que o valor de x atenda 
às condições de parada.
),( 0xa
),( 0 bx
Método da Bisseção – Resumo 









0)(
0)(
0)(
2
0
0
0
00
0
xf
bf
af
bax







01
01
00 ),(
xb
aa
xa









0)(
0)(
0)(
2
1
1
1
11
1
xf
bf
af
bax







12
12
11 ),(
bb
xa
bx









0)(
0)(
0)(
2
2
2
2
22
2
xf
bf
af
bax







23
23
22 ),(
bb
xa
bx
 
Método da Bisseção – Graficamente
ba x0||
a1
x1 
||
a3
a2
||
b1
||
x2 
||
b3
x
y
b2=
Método da Bisseção
 Exemplo:
Utilizando o método de Equações Equivalentes para 
Isolamento de Raízes:
Equação Equivalente:
01)log()(  xxxf
x
x 1)log( 
)log()( xxg 
x
xh 1)( 
)3,2(
h(x)y

g(x)
x1 2 3 4 5 6
Método da Bisseção
 Exemplo: 01)log()(  xxxf










 01015,5)5,2(
04314,0)3(
03979,0)2(
5,2
2
32
3
0
f
f
f
x







3
5,2
)3,5.2(
01
01
bb
xa











02082,0)75,2(
0)3(
0)5,2(
75,2
2
35,2
1
f
f
f
x







75,2
5,2
)75.2,5.2(
12
12
xb
aa

 
Método da Bisseção – Algoritmo
k = 0; 
a0 = a; b0 = b; 
xk = (ak + bk)/2;
while and
if f(ak)f(xk) < 0 then /*raiz em [ak , xk] */
ak+1 = ak; 
bk+1 = xk;
else /* raiz em [xk, bk] */
ak+1 = xk; 
bk+1 = bk ;
end if
xk+1 = (ak+1 + bk+1)/2;
k = k +1; 
end while
 kk ab )( kxf
Método da Bisseção – Algoritmo
 Ao final da execução do algoritmo, teremos um intervalo 
[ak, bk] que contém a raiz e uma aproximação para a 
raiz exata (tal que ou ) 
 A convergência do método é intuitiva
 kk ab
x
)(xf
Método da Bisseção – Execução Algoritmo
 Exemplo:
Utilizando o método de Equações Equivalentes para 
Isolamento de Raízes
Equação Equivalente
039)( 3  xxxf
0393  xx
3)( xxg 
39)(  xxh
)3,4(1 
)1,0(2 
)3,2(3
Método da Bisseção – Execução Algoritmo
 Exemplo:
Cálculo da 1ª aproximação
 x0 = (a0+b0)/2 = (0+1)/2 = x0 = 0,5
 f(x0) = 0,53 – 9x0,5 + 3 = -1,375
Teste de Parada
 |b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-1,375| = 1,375 > 10-3 
Escolha do Novo Intervalo
 f(a0) = 03 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0
 f(b0) = 13 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0
 f(x0) = 0,53 – 9x0,5 + 3 = -1,375, logo f(x0) < 0
 logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,5
039)( 3  xxxf  1,0I 3103 
Método da Bisseção – Execução Algoritmo
 Exemplo:
 Então em 9 iterações
 . foi atendida, enquanto , não foi kk ab)(xf
039)( 3  xxxf  1,0I 3103 
337890625,0x
Método da Bisseção – Estimativa do 
número de iterações
 Após n iterações, a raiz estará contida no intervalo:
 Devemos obter o valor de k, tal que , ou seja: 
2
11   kkkk abab
 kk ab
kab 2
00
)2log(
)log()log( 00  abk
k
ab
2
00 

002 abk  )log()log()2log( 00  abk
 Exemplo: Considerando um intervalo [2,3] e ε=10-2, 
calcular o numero mínimo de iterações para que 
tenhamos (Critério de Parada). kk ab
)2log(
)log()log( 00  abk
)2log(
)10log()23log( 2k
64,6
3010,0
2
)2log(
)10log(2)1log( k
7k
Método da Bisseção – Estimativa do 
número de iterações
Método da Bisseção
 Vantagens:
 Facilidade de implementação;
 Estabilidade e convergência para a solução procurada;
 Desempenho regular e previsível.
 Desvantagens
 Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo 
de f(x) em um elevado número de iterações);
 Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se 
encontra a raiz de interesse (nem sempre é possível);
 Complexidade da extensão do método para 
problemas multivariáveis.
258,24
10
3
7
00 




 kk
ab

Método da Bisseção – Exercício
a) Execute as primeiras 5 iterações do Método da 
Bisseção para a função , tal que 
b) Caso a condição de 
erro não tenha sido 
satisfeita, calcule quantas 
iterações ainda seriam 
necessárias.
1)( 3  xxxf
3102 
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
Método da Bisseção – Exercício
a) Execute as primeiras 5 iterações do Método da 
Bisseção para a função , tal que
Para a iteração 5 temos: 
e
1)( 3  xxxf
3102 
Iter. a b f(a) f(b) x f(x )
1 1,000000 2,000000 -1,000000 5,000000 1,500000 0,875000
2 1,000000 1,500000 -1,000000 0,875000 1,250000 -0,296875
3 1,250000 1,500000 -0,296875 0,875000 1,375000 0,224609
4 1,250000 1,375000 -0,296875 0,224609 1,312500 -0,051514
5 1,312500 1,375000 -0,051514 0,224609 1,343750 0,082611
31020,06253125,1375,1  ab
31020,082611)( xf
Método da Bisseção – Exercício
b) Caso a condição de erro não tenha sido satisfeita, 
calcule quantas iterações ainda seriam necessárias.
)2log(
)log()log( 00  abk
)2log(
)102log()12log( 3k
)2log(
)10log32(log)1log( k
9658,8
30103,0
2,69897
30103,0
)330103,0(0
)2log(
)10log32(log)1log( k
9k
Zeros Reais de Funções
Método da Posição Falsa
Prof. Wellington Passos de Paula
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Método da Posição Falsa
 Método da Bisseção
 Calcula a média aritmética dos limites do intervalo que 
contém a raiz ([a, b])
 Método da Posição Falsa
 Calcula a média ponderada dos limites do intervalo que 
contém a raiz ([a, b])
Método da Posição Falsa
 Dada a função e, sendo o intervalo 
inicial , temos que 
 . está mais próximo de zero que 
 Logo é provável que a raiz esteja mais próxima de x = 0 
que de x = 1 ( isso é sempre verdade quando f(x) é linear 
em )
 Assim, ao invés de tomar a média aritmética, o método 
da posição falsa toma a média ponderada, com pesos 
de e 
039)( 3  xxxf
   1,0, ba )0(305)1( ff 
)0(f )1(f
 ba,
)(af )(bf
)()(
)()(
)()(
)()(
afbf
abfbaf
afbf
afbbfa
x 


Método da Posição Falsa – Graficamente 
 Graficamente x é a interseção entre o eixo x e a reta 
que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)): 
Método da Posição Falsa – Graficamente 
x
a = a0

f(x)
b = b0x0
x0 = a0f(b0) - b0f(a0)
f(b0) - f(a0) 
x
a = a1

f(x)
b1 = x1
x1 = a1f(b1) – b1f(a1)
f(b1) - f(a1) 
x1
Método da Posição Falsa
 Definição do intervalo inicial
 Atribuímos [a,b] como intervalo inicial
 a0 = a
 b0 = b
 Condições de Aplicação
 f(a) x f(b) < 0
 Sinal da derivada constante
Método da Posição Falsa
 Definição dos Subintervalos
 Subdividimos o intervalo pelo ponto de interseção da 
reta que liga f(a) a f(b) e o eixo das abscissas
 Verificamos se, através do teste de parada, x0 é uma 
aproximação da raiz da equação ()  pelo tamanho do 
intervalo [a, b] ou o valor f(x0)
 Se verdadeiro  x0 é a raiz procurada
 Caso contrário  definimos um novo intervalo
Método da Posição Falsa
 Definição do novo intervalo
 Determinamos qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] –
contém a raiz
 Calculamos o produto f(a) * f(x0) Verificamos f(a) * f(x0) < 0
 Se verdadeiro
 Logo a = a e b = x0
 Caso contrario
 Logo a = x0 e b = b
 Repetimos o processo até que o valor de x atenda 
às condições de parada.
),( 0xa
),( 0 bx
Método da Posição Falsa
 Exemplo:
logo, existe ao menos 1 raiz no 
intervalo dado
. Como têm o mesmo sinal,
]3,2[,1)log()(  Ixxxf




04314,0)(
03979,0)(
0
0
bf
af
)()(
)()(
0 afbf
abfbafx 

)3979,0(4314,0
)3979,0(34314,02


8293,0
0565,2 4798,2
00219,0)( 0 xf )()( 00 xfeaf






0)(3
0)(4798,2
101
101
bfbb
afxa
Método da Posição Falsa
 Exemplo:
Como , temos:
]3,2[,1)log()(  Ixxxf






0)(3
0)(4798,2
11
101
bfb
afxa
)()(
)()(
1 afbf
abfbafx 

)0219,0(4314,0
)0219,0(34314,04798,2


0,4533
1354,1
5049,21 x
00011,0)( 1 xf






0)(3
0)(5049,2
112
112
bfbb
afxa

Método da Posição Falsa – Algoritmo 
k = 0; 
a0 = a; b0 = b; 
FA0 = f(a0); GB0 = f(b0);
xk = (akGBk - bkFAk) / (GBk - FAk); 
while and
if f(ak)f(xk) ≤ 0 then /* raiz em [ak , xk] */
ak+1 = ak; bk+1 = xk;
else /* raiz em [xk, bk] */
ak+1 = xk; bk+1 = bk ;
end if
xk+1 = (ak+1GBk+1 - bk+1FAk+1) / (GBk+1 - FAk+1); 
k = k +1;
end while
 kk ab )( kxf
Método da Posição Falsa – Exec. Algoritmo
 Exemplo:
Cálculo da 1ª aproximação
Teste de Parada
 |b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-0,322265625| > 10-3
Escolha do Novo Intervalo
 f(a0) = 03 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0
 f(b0) = 13 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0
 f(x0) = 0,3753 – 9x0,375 + 3 = -0,32..., logo f(x0) < 0
 logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,375
039)( 3  xxxf  1,0I 3102 
)()(
)()(
0 afbf
abfbafx 

)3(5
)3(1)5(0


8
3

 375,0
25-0,32226563)375,0(9)375,0()( 30 xf
Método da Posição Falsa – Exec. Algoritmo
 Exemplo:
Então em 3 iterações
. foi atendida, enquanto , não foi
No Método da Bisseção, o valor foi 
encontrado depois de 9 iterações
 kk ab)(xf
039)( 3  xxxf  1,0I 3103 
337890625,0x
337635046,0x
Método da Posição Falsa – Casos especiais
 Se a função é côncava ou convexa em [a,b], então uma 
das extremidades permanecerá fixa
 Cuidado no critério de parada: nesse caso, o intervalo 
nunca ficará suficientemente pequeno...
Método da Posição Falsa
 Vantagens:
 Estabilidade e convergência para a solução procurada;
 Desempenho regular e previsível;
 Cálculos mais simples que o método de Newton.
 Desvantagens:
 Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo 
de f(x) em um elevado número de iterações);
 Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se 
encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é 
possível).
Zeros Reais de Funções
Método do Ponto Fixo
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Método do Ponto Fixo
 Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde 
existe uma raiz única, f(x) = 0, é possível transformar tal 
equação em uma equação equivalente x = φ(x) e, a 
partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma 
sequência {xk} de aproximações para  pela relação xk+1
= φ(xk), uma vez que φ(x) é tal que f() = 0 se e 
somente se φ() = .
 Transformamos o problema de encontrar zero de f(x) no 
problema de encontrar um ponto fixo de φ(x)
 A função φ(x) é chamada de função de iteração 
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a função
São funções de iteração possíveis:
 A forma geral das funções de iteração φ(x) é dada por
com a condição de que 
A()  0 em , ponto fixo de φ(x)
06)( 2  xxxf
1
6)(
16)(
6)(
6)(
4
3
2
2
1




x
x
x
x
xx
xx




)()()( xfxAxx 
Método do Ponto Fixo
 A partir da definição da forma de φ(x), ,
podemos então mostrar que
 Existem infinitas equações de iteração φ(x) para a 
equação f(x) = 0
  )(0)(f
  0)(   fquetalseja
)()()(  fA )0)(()(   fporque
    )(se
  )()( fA 0)()(   fA
)0)((0)(   Aporquef
)()()( xfxAxx 
Método do Ponto Fixo – Graficamente 
 Uma raiz da equação φ(x)=x é a abscissa do ponto de 
interseção da reta y=x com a curva y=φ(x)
Método do Ponto Fixo – Graficamente 
 Todavia, para algumas escolhas de φ(x) o Método do 
Ponto Fixo pode divergir do valor  procurado
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a equação :
 As raízes são 1 = -3 e 2 = 2 (Não há necessidade de uso 
de métodos numéricos para o calculo)
 Objetivo: Mostrar a convergência ou divergência do processo 
iterativo
 Seja a raiz 2 = 2 e ,Tomando x0= 1,5 e φ (x) 
= φ1 (x) 
 Seja a raiz 2 = 2 e ,Tomando x0= 1,5 e φ (x) 
= φ2 (x) 
06)( 2  xxxf
xx  6)(2
2
1 6)( xx 
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a equação , com raiz 
2 = 2 , e x0 = 1,5
x1 = φ(x0) = 6 – 1,5
2 = 3,75
x2 = φ(x1) = 6 – 3,75
2 = -8,0625
x3 = φ(x2) = 6 – (-8,0625)
2 = -59,003906
x4 = φ(x3) = 6 – (-59,003906)
2 = -3475,4609
Percebemos que {xk} não convergirá para 2 = 2
06)( 2  xxxf
2
1 6)( xx 
Método do Ponto Fixo
06)( 2  xxxf Exemplo: Dada a equação , com raiz 
2 = 2 , e x0 = 1,5
Análise Gráfica:
y
x22
x1
φ(x)
x0
y = x
x2
11
{xk}  
2
1 6)( xx 
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a equação , com raiz 
2 = 2 , e x0 = 1,5
x1 = φ(x0) =
x2 = φ(x1) =
x3 = φ(x2) =
x4 = φ(x3) =
x5 = φ(x4) =
Percebemos que {xk} tende a convergir para 2 = 2
06)( 2  xxxf
xx  6)(2
121320343,25,16 
969436380,1121320343,26 
007626364,2969436380,16 
998092499,1007626364,26 
000476818,2998092499,16 
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a equação , com raiz 
2 = 2 , e x0 = 1,5
Análise Gráfica:
06)( 2  xxxf
xx  6)(2
{xk}  2 quando k  inf
φ(x)
x
y
y = x
22
x1
x0
x2
Método do Ponto Fixo
Teorema 2:
Sendo  uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I
centrado em  e φ(x) uma função de iteração para 
f(x) = 0. Se
1. φ(x) e φ’(x) são contínuas em I
2. |φ’(x)| < 1,  x  I e
3. x0  I
então a sequencia {xk} gerada pelo processo iterativo xk+1
= φ(xk) convergirá para  . Além disso quanto menor for 
o valor de |φ’(x)|, mais rápido o Método do Ponto Fixo 
convergirá.
Método do Ponto Fixo
 Resgatando os exemplos anteriores, para a função 
temos que:
 φ1(x) ( )  geração de uma sequencia 
divergente de 2 = 2
 φ2(x) ( )  geração de uma sequencia 
convergente para 2 = 2
06)( 2  xxxf
2
1 6)( xx 
xx  6)(2
Método do Ponto Fixo
 Avaliando a divergência de φ1(x)
 φ1(x) = 6 - x2 e φ’1(x) = - 2x  contínuas em I
 |φ’1 (x)| < 1  |-2x| < 1  -½ < x < ½
 Não existe um intervalo I centrado em 2=2, tal que
|φ’(x)| < 1,  x  I  logo φ1 (x) não satisfaz a 
condição 2 do Teorema 2 com relação a 2=2.
Método do Ponto Fixo
 Avaliando a convergência de φ2(x)
 e
 φ2 (x) é contínua em S = {x  R | x  6}
 φ’2 (x) é contínua em S’ = {x  R | x < 6}
 .
 É possível obter um intervaloI centrado em 2=2, tal que 
todas as condições do Teorema 2 sejam satisfeitas.
xx  6)(2 )62/1()('2 xx 
75,5162/11)('2  xxx
Método do Ponto Fixo – Algoritmo 
 Critérios de Parada
 |f(xk)| < 
 |xk – xk-1| < 
k = 0; 
x0 = x;
while and
k = k +1;
xk+1 = φ(xk);
end while
 1kk xx )( kxf
Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência
 Exemplo: Dada a função , cujas raízes 
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência da função 
equivalente , dados 1 = -3 e x0= -2,5
06)( 2  xxxf
16)(3  xx
0,,06)(' 2  xxxx
0,,66)(' 22  xxxxx
666161)(' 22  xouxxxx
0,,16)(  xx
x
x
Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência
 Exemplo: Dada a função , cujas raízes 
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência da função 
equivalente , dados 1 = -3 e x0= -2,5
Como o objetivo é obter a raiz negativa, temos:
Podemos então definir o intervalo que o 
processo convergirá visto que o intervalo está 
centrado na raiz  = -3
)6;(:,,1)(' 111  IseráIxxquetalI 
)4497897,26( 
)5.2,5.3( I
1II 
06)( 2  xxxf
16)(3  xx
Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência
 Exemplo: Dada a função , cujas raízes 
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência da função 
equivalente , dados 1 = -3 e x0= -2,5
Tomando x0= -2,5, temos: 
 Quando não conhecemos a raiz, escolhemos o 
intervalo I aproximadamente centrado em 
 Quanto mais preciso isolamento de , maior exatidão na 
escolha de I
892617,2
170213,3
764706,2
5,2
3
2
1
0




x
x
x
x
06)( 2  xxxf
16)(3  xx
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dados:
, calcule a raiz de f(x) 
utilizando o MPF:
Assim, e , com o mesmo 
número de iterações que o Método da Posição Falsa.
Importante lembrar: Iteramos de modo que , 
todavia avaliamos, a cada iteração, se 
Desafio: Provar que satisfaz a condição 2 do 
Teorema 2 no intervalo (0, 1)
;
3
1
9
)(;039)(
3
3  xxxxxf 
)1,0(;102;5,0 30   x
3376233,0x 31012,0)( xf
)(1 kk xx 
)( kxf
)(x
Método do Ponto Fixo
 Vantagens
 Rapidez processo de convergência;
 Desempenho regular e previsível.
 Desvantagens
 Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma 
função de iteração φ(x);
 Difícil sua implementação.
Método do Ponto Fixo – Exercício
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo
.Justifique sua resposta. 
1)( 3  xxxf
3102 
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
2
11)(
xx
x  10 x
Método do Ponto Fixo – Exercício
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo 
x1 = φ(x0) = x2 = φ(x1) =
x3 = φ(x2) = 
x4 = φ(x3) =
x5 = φ(x4) =
1)( 3  xxxf
3102 
2
11)(
xx
x  10 x
2
1
1
1
1
2  75,02
1
2
1
2 
...1111,3
75,0
1
75,0
1
2 
...4247,0
1111,3
1
1111,3
1
2 
...8973,7
4247,0
1
4247,0
1
2 
Método do Ponto Fixo – Exercício
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo 
x6 = φ(x5) =
x7 = φ(x6) = 
Concluímos que {xk} tende a divergir da raiz da 
equação f(x).
1)( 3  xxxf
3102 
2
11)(
xx
x  10 x
...1427,0
8973,7
1
8973,7
1
2 
...1461,56
1427,0
1
1427,0
1
2 
Método do Ponto Fixo – Exercício
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo
Justificando a resposta: 
Como a condição deve ser satisfeita, onde I 
é o intervalo centrado em  , é fácil perceber que isso 
não acontece, uma vez que 
1)( 3  xxxf
3102 
2
11)(
xx
x  10 x
0,11)( 2  xxxxx 0,
21)(' 32  xxxxx
12121211)(' 33332  x
x
xx
x
xx
x
Ixx 1)('
03)1(')(' 00   xeIx
Zeros Reais de Funções
Método de Newton – Raphson
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Método de Newton – Raphson
 Método do Ponto Fixo (MPF)
 Uma das condições de convergência é que |φ’(x)| < 1, 
 x  I , onde I é um intervalo centrado na raiz 
 A convergência será tanto mais rápida quanto menor for 
|φ’(x)| 
 O método de Newton busca garantir e acelerar a 
convergência do MPF
 Escolha de φ(x), tal que φ’() = 0, como função de 
iteração
Método de Newton – Raphson
 Dada a equação f(x) = 0 e partindo da forma geral para 
φ(x)
φ(x) = x + A(x)f(x)
 Buscamos obter a função A(x) tal que φ’() = 0
φ(x) = x + A(x)f(x) 
φ’(x) = 1 + A’(x)f(x) + A(x)f’(x) 
φ’() = 1 + A’()f() + A()f’() 
φ’() = 1 + A()f’() 
Método de Newton – Raphson
 Assim
 donde tomamos
 Como φ(x) = x + A(x)f(x)
 Logo:
)(
)('
1)( xf
xf
xx 


 




)('
)()(
xf
xfxx
0)('  0)(')(1   fA
)('
1)(  fA

)('
1)(
xf
xA 
Método de Newton – Raphson
 Então, dada f(x), a função de iteração φ(x) = x - f(x)/f’(x) 
será tal que φ’() = 0, posto que 
e, como f() = 0, φ’() = 0 ( desde que f’()  0 ) 



  2
2
)]('[
)('')()]('[1)('
xf
xfxfxfx
2
2
2
2
)]('[
)('')()]('[
)]('[
)]('[)('
xf
xfxfxf
xf
xfx 
2)]('[
)('')()('
xf
xfxfx 
Método de Newton – Raphson
 Deste modo, escolhido x0, a sequência {xk} será 
determinada por 
onde k = 0, 1, 2, ... 
)('
)(
1
k
k
kk xf
xfxx 
Método de Newton – Raphson –
Graficamente
 Dado o ponto ( xk , f(xk) )
 Traçamos a reta Lk(x) tangente à curva neste ponto:
Lk(x) = f(xk) + f’(xk)(x-xk)
 Determinanos o zero de Lk(x), que é um modelo linear 
que aproxima f(x) em uma vizinhança xk
 Fazemos xk +1 = x
0)( xLk )('
)(
k
k
k xf
xfxx 
Método de Newton – Raphson –
Graficamente
 Análise Gráfica
Repetimos o processo até que o valor de x
atenda às condições de parada.
x

f(x)
x1x0
1a iteração
2a iteração
x2
x3
3a iteração
Método de Newton–Raphson-Convergência
 Teorema 3:
Sendo f(x), f’(x) e f”(x) contínuas em um intervalo I que
contém uma raiz x =  de f(x) = 0 e supondo f’()  0,
existirá um intervalo Ī  I contendo a raiz , tal que se
x0  Ī, a sequencia {xk} gerada pela fórmula recursiva
convergirá para a raiz.
)('
)(
1
k
k
kk xf
xfxx 
Método de Newton – Raphson
 Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , 2 = 2 e x0 = 1,5
Fórmula recursiva:
12
6
)('
)()(
2


x
xxx
xf
xfxx
 
  0625,215,12
65,15,15,1)(
2
01 
 xx 
 
  000762195,210625,22
60625,20625,20625,2)(
2
12 
 xx 
000000116,2)( 23  xx 
Método de Newton – Raphson
 Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , 2 = 2 e x0 = 1,5
 Comentários:
 A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 2,000000116)
caso a precisão do cálculo com 6 casas decimais for 
satisfatória para o contexto do trabalho
 Observe que, no Método do Ponto Fixo, com
o valor x = 2,000476818 foi encontrado 
somente na 5a iteração
xx  6)(
Método de Newton – Raphson– Algoritmo
 Teste de parada:
 |f(xk)| < ε
 |xk – xk-1| < ε
 Algoritmo:
x0 := x;
k := 0;
while |f(xk)| ≥ ε and |xk – xk-1| ≥ ε
xk+1 := xk – f(xk)/f’(xk)
k := k +1;
end while
Método de Newton – Raphson – Algoritmo
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujo zero real encontra-se no intervalo: 
  I = (1, 2)
Seja: 
x0 = 1
)('
)(
1
k
k
kk xf
xfxx 
13
1)( 2
3


x
xxxx
Método de Newton – Raphson – Algoritmo
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujo zero real encontra-se no intervalo: 
  I = (1, 2)
 Cálculo da 1ª aproximação
φ(x0) = 1 – [ (1)³ – 1 – 1 ] = 1,5 = x1
[ 3x(1)² – 1 ]
 Teste de Parada
|f(x1)| = | (1,5)³ – 1,5 – 1 | = 0,875 > 
|x1-x0| =| 1,5 - 1 | = 0,5 > 
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujo zero real encontra-se no intervalo: 
  I = (1, 2)
 Cálculo da 2ª aproximação
φ(x1) = 1,5 – [ (1,5)³ – 1,5 – 1 ] = 1,3478261 = x2
[ 3x(1,5)² – 1 ]
 Teste de Parada
|f(x2)| = | 0,100682 | = 0,100682 > 
|x2-x1| =| 1,3478261 - 1,5 | = 0,1521739 > 
Método de Newton – Raphson – Algoritmo
 Cálculo da 3ª aproximação
φ(x2) = 1,3478261 - [ (1,3478261)³ - 1,3478261 - 1 ]
[ 3x(1,3478261)² - 1 ]
φ(x2) = 1,3252004 = x3
 Teste de Parada
|f(x3)| =| 0,0020584 | = 0,0020584 > 
|x3-x2| =| 1,3252004 – 1,3478261 | = 0,0226257 > 
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujo zero real encontra-se no intervalo: 
  I = (1, 2)
Método de Newton – Raphson – Algoritmo
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujo zero real encontra-se no intervalo: 
  I = (1, 2)
A sequência {xk} gerada pelo método de Newton 
será:
Método de Newton – Raphson – Algoritmo
Iteração x |xk-xk-1| F(x)
1 1,5 0,5 0,875
2 1,3478261 0,1521739 0,1006822
3 1,3252004 0,0226257 0,0020584
4 1,3247182 0,0004822 1,0352x10-6
 = 0,002
 Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que 
possui três zeros: 1  I1 = (-4, -3), 2  I2 = (0, 1) e 3  I3 = (2, 3). Seja x0 = 1,5:
Método de Newton – Raphson
 Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que 
possui três zeros: 1  I1 = (-4, -3), 2  I2 = (0, 1) e 3  I3 = (2, 3). Seja x0 = 1,5:
 No início há um divergência da região onde estão as 
raízes, mas depois de x7 os valores se aproximam cada 
vez mais de 3
 Causa:
 x0 (1,5) é próximo de , que é raiz de f´(x)
 Da mesma forma, x1 (-1,6666667) está próximo
de , outra raiz de f’(x)
Método de Newton – Raphson
3
3
 Vantagens:
 Rapidez processo de convergência
 Desempenho elevado
 Desvantagens:
 Necessidade da obtenção de f’(x) , o que pode ser 
impossível em determinados casos
 O cálculo do valor numérico de f’(x) a cada iteração
Método de Newton – Raphson
Zeros Reais de Funções
Método da Secante
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Método da Secante
 Método de Newton – Raphson
 Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de 
f’(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração
 Forma de desvio do inconveniente
 Substituição da derivada f’(xk) pelo quociente das 
diferenças
1
1)()()('




kk
kk
k xx
xfxfxf
Método da Secante
 A função de iteração será:
1
1)()(
)()(




kk
kk
k
k
xx
xfxf
xfxx
 1
1)()(
)()( 

 kkkk
k
k xxxfxf
xfxx
)()(
)()(
)()(
)()()(
1
1
1
1







kk
kkkk
kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
xfxf
xfxxfxx
)()(
)()()(
1
11




kk
kkkk
xfxf
xfxxfxx
Método da Secante – Geometricamente 
 A partir de duas aproximações xk-1 e xk obtemos o ponto 
xk+1 como sendo a abscissa do ponto de intersecção do 
eixo x e da reta que passa pelos pontos ( xk-1 , f(xk-1) ) e 
( xk , f(xk) ) (secante à curva da função) 
x
f(x)
x0
Repetimos o processo até
que o valor de x atenda às
condições de parada.
1a iteração
x2x1
2a iteração
x3
3a iteração
x4
4a iteração
x5
Método da Secante – Convergência
 Como o Método da Secante é uma aproximação do 
método de Newton, as condições de convergência são 
praticamente as mesmas, ou seja basta que o 
Teorema 3 seja satisfeito
 Todavia, o Método da Secante pode divergir para o 
seguinte caso )()( 1 kk xfxf
)()(
)()()(
1
11




kk
kkkk
xfxf
xfxxfxx
Método da Secante
 Exemplo: Consideremos a função f(x) = x2 + x – 6 = 0, 
x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
Solução:
)()(
)()(
01
0110
2 xfxf
xfxxfxx 

25,241,1
25,27,1)41,1(5,1


2,035712 x
)()(
)()(
12
1221
3 xfxf
xfxxfxx 
 1,99774
)()(
)()(
23
2332
4 xfxf
xfxxfxx 
 1,99999
Método da Secante
 Exemplo: Consideremos a função f(x) = x2 + x – 6 = 0, 
x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
 Comentários:
 A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 1,99999 ), 
caso a precisão do cálculo com 5 casas decimais seja 
satisfatória para o contexto do trabalho
 No método de Newton – Raphson o valor 
x = 2,000000116, foi encontrado também na 3a 
iteração
Método da Secante – Algoritmo 
 Testes de Parada
 |f(xk)| < ε
 |xk – xk-1| < ε
 Algoritmo
x0 := x;
x1 := x1;
k := 1;
while |f(xk)| ≥ ε and |xk – xk-1| ≥ ε 
xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1)) / (f(xk) - f(xk-1));
k := k +1;
end while
Método da Secante – Execução Algoritmo
 Exemplo: Consideremos a função f(x) = x3 - x - 1, 
 = 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
)()(
)()()(
1
11




kk
kkkk
xfxf
xfxxfxx
Método da Secante – Execução Algoritmo
 Exemplo: Consideremos a função f(x) = x3 - x - 1, 
 = 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
 Cálculo da 1ª aproximação x0 = 1,5 e x1 = 1,7
f(x0) = 0,875 > 0
f(x1) = 2,213 > 0
x2 = [1,5 x (2,213) – 1,7 x (0,875)] = 1,36921
[2,213 – (0,875)]
 Teste de Parada
|f(x2)| = | (1,36921)³ – 1,36921 – 1 | = 0,19769 > 
|x2 - x1| =|1,36921 – 1,7| = 0,33079 > 
 Novo Intervalo: x1 = 1,7 e x2 = 1,36921 
Método da Secante – Execução Algoritmo
 Exemplo: Consideremos a função f(x) = x3 - x - 1, 
 = 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
 Cálculo da 2ª aproximação x1 = 1,7 e x2 = 1,36921
f(x1) = 2,213 > 0
f(x2) = 0,19769 > 0
x3 = [1,7 x (0,19769) - 1,36921x (2,213)] = 1,33676
[0,19769 - 2,213]
 Teste de Parada
|f(x3)| = |0,05193| = 0,05193 > 
|x3 - x2| =|1,33676 – 1,36921| = 0,03245 > 
 Novo Intervalo: x2 = 1,36921 e x3 = 1,33676 
Método da Secante – Execução Algoritmo
 Exemplo: Consideremos a função f(x) = x3 - x - 1, 
 = 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
 Cálculo da 3ª aproximação x2 = 1,36921 e x3 = 1,33676
f(x2) = 0,19769 > 0 
f(x3) = 0,05193 > 0
x4 = [1,36921 x (0,05193) - 1,33676 x (0,19769)] = 
[(0,05193) - 0,19769]
x4 = 1,3252
 Teste de Parada
|f(x4)| = |0,00206| = 0,00206 <   cond. atendida
|x4 – x3| =|1,3252 – 1,33676| = 0,01156 > 
Método da Secante
 Vantagens
 Rapidez processo de convergência
 Cálculos mais convenientes que do método de Newton
 Desempenho elevado
 Desvantagens
 Se o cálculo f’(x) não for difícil, então o método logo será 
substituído pelo de Newton – Raphson
 Se o gráfico da função for paralelo a um dos eixos e/ou 
tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos, 
logo não devemos utilizar o Método da Secante
Zeros Reais de Funções
Comparação entre os métodos
Prof. Wellington Passosde Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Comparação entre os métodos
 Critérios de Comparação
 Garantias de Convergência
 Rapidez de Convergência e Esforço Computacional
 Critério de Parada
Comparação entre os métodos
 Garantias de Convergência
 Bisseção e Posição Falsa
 Convergência garantida, desde que a função seja contínua 
num intervalo [a,b] , tal que f(a)f(b) < 0 
 Ponto Fixo, Newton – Raphson e Secante
 Condições mais restritivas de convergência
 Se as condições de convergência forem satisfeitas, os dois 
últimos métodos são mais rápidos do que os demais 
estudados
Comparação entre os métodos
 Rapidez de Convergência
 Número de Iterações  Medida usualmente adotada 
para a determinação da rapidez de convergência de um 
método
 Não deve ser uma medida conclusiva sobre o tempo de 
execução do programa
 Tempo gasto na execução de uma iteração  Variável
de método para método
Comparação entre os métodos
 Esforço Computacional
 Indicadores
 Número de operações efetuadas a cada iteração
 Complexidade das operações
 Número de decisões lógicas
 Número de avaliações de função a cada iteração
Comparação entre os métodos
 Esforço Computacional
 Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de 
um método.
 Bisseção  Cálculos mais simples por iteração
 Newton  Cálculos mais elaborados
 Número de iterações da Bisseção é, na grande maioria 
das vezes, muito maior do que o número de iterações 
efetuadas por Newton
Comparação entre os métodos
 Critério de Parada
 Se o objetivo for a redução do intervalo que contém a 
raiz  Bisseção (não usar o Método da Posição Falsa)
 Se a escolha parte de um valor inicial para a raiz 
Newton – Raphson ou da Secante (pois trabalham com 
aproximações xk para a raiz exata)
Comparação entre os métodos
 Conclusão:
 Condições a Serem Satisfeitas pelo Método Ideal
 Convergência assegurada
 Ordem de convergência alta
 Cálculos simples em cada iteração
 Atender aos objetivos quanto ao critério de parada
 Não existe método perfeito para todos os casos
 A escolha está diretamente relacionada com a equação
cuja solução é desejada
 Critérios vistos anteriormente
 Comportamento da função na região da raiz exata, etc
Comparação entre os métodos
 Conclusão:
 Exemplo:
 Caso seja fácil a verificação das condições de 
convergência e o cálculo de f’(x)  Newton – Raphson
 Caso seja trabalhoso obter e/ou avaliar f’(x), uma vez que 
não é necessária a obtenção de f’(x)  Secante
 Todavia, mesmo os métodos acima possuem restrições:
 Tendência da curva ao paralelismo a qualquer um dos eixos 
 dificulta o uso do Método de Newton (f’(x)  0 ou f’(x) ¬∃)
 Tendência da função à tangência ao eixo das abscissas em 
um ou mais pontos  dificulta o uso do Método da Secante 
(f (xk-1) ≈ f (xk))
Comparação entre os métodos
 Exemplo: f(x) = x3 – x – 1
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
  [1, 2 ],  = 10-6
Comparação entre os métodos
 Exemplo: f(x) = x3 – x – 1
Observações:
 Melhor desempenho: Método do Ponto Fixo
 Métodos de Newton e Secante: muitas iterações pois 
houve divergência no inicio da execução 
( denominador  0 ) 
Comparação entre os métodos
 Exemplo: f(x) = 4 sen(x) – e2
Observações:
 Melhor desempenho: Método de Newton, devido à boa 
escolha de x0
  [0, 1 ],  = 10-5
Exercício
1) A partir do gráfico da função , encontre 
a raiz , dada a tolerância .
Utilize 
Resposta:
6)( 2  xxxf
f(x)
x
y
1 3 4 50-1-2-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
-6
-5
-3 2
]3,1[ 410
.7,15,1 10  xex
1813,0)(036,2 22  xfx
01,0)(998,1 33  xfx
0)(000,2 44  xfx