Sentenças Abertas

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS - FANAT 
DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA – DI 
LÓGICA MATEMÁTICA APLICADA À COMPUTAÇÃO 
Prof. Francisco Chagas de Lima Júnior 
 
SENTENÇAS ABERTAS E QUANTIFICADORES 
 
1. SENTENÇAS ABERTAS COM UMA VARIÁVEL 
Definição 
Chama-se sentença aberta com uma variável em um conjunto A, uma expressão p(x) tal que 
p(a) é falsa (F) ou verdadeiro (V) para todo a ∈ A. Em outros termos, p(x) é uma sentença 
aberta em A se e somente se p(x) torna-se uma proposição (verdadeira ou falsa) todas as vezes 
que se substitui a variável x por qualquer elemento a do conjunto A(a ∈ A). 
Exemplos: 
São sentenças abertas em N = {1, 2, 3,...,n, ...} as seguintes expressões: 
a) x + 1 > 8 
b) x + 5 = 9 
c) x é primo 
 
2. SENTENÇAS ABERTAS COM DUAS VARIÁVEIS 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se sentença aberta com duas variáreis em A × B, uma 
expressão p(x, y) tal que verdadeira (V) ou falsa (F) para todo o par ordenado (a, b) ∈ A×B. 
Em outros termos, p(x, y) é uma sentença aberta em A×B se e somente se p(x, y) torna-se uma 
proposição (verdadeira ou falsa) todas as vezes que as variáveis x e y são substituídas 
respectivamente pelos elementos a e b de qualquer par ordenado (a, b) pertencente ao produto 
cartesiano A×B dos conjuntos A e B ((a, b) ∈ A×B). 
Exemplo 
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 6}. São sentenças abertas em A×B as seguintes 
expressões: 
a) x é menor que y 
b) x é o dobro de y 
 
3. SENTENÇAS ABERTAS COM N-VARIÁVEIS 
Definição 
Chama-se sentença aberta com n variáveis em A1×A2× ...×An, uma expressão p(x1, x2, ..., xn) 
tal que p(a1, a2, ..., an) é verdadeira (V) ou falsa (F) para toda n-upla (a1, a2, ... , an) ∈ A1×A2× 
...×An). 
Exemplo 
A expressão x +2y +3z < 18 é um sentença aberta em N×N×N, na qual, o termo ordenado (1, 2, 
4), satisfaz esta sentença aberta, pois, 1 + 2 * 2 + 3 *4 < 18. 
 
 
 
4. OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE SENTENÇAS ABERTAS 
As operações lógicas que definimos para proposições estendem-se naturalmente à sentenças 
abertas, e como podemos lembrar, são elas: 
• Não (Negação) ~ 
• E (Conjunção), ∧ 
• Ou (Disjunção), ∨ 
• Se – então (Condicional), → e 
• Se e somente se (Bicondicional), ↔. 
Operação de Negação: 
Exemplo 
A negação da sentença aberta em R (Conjunto dos números reais): “x < 2” 
Assim, para x = 0, x = -1, x = 2, x = 5, x = pi e x = 8, 57, temos sucessivamente: 
x x<2 ~(x<2) 
0 V F 
-1 V F 
2 F V 
pi F V 
5 F V 
8,57 F V 
 
Operação de Conjunção: 
Exemplo 
A conjunção das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais): “x < 2” ∧ “x > 8” 
Assim, para x = 5, x = pi, x = 2, x = -1 e x = 8,57, temos sucessivamente: 
x x<2 x>8 x<2 ∧∧∧∧ x>8 
7 F F F 
pi F F F 
2 F F F 
-1 V F F 
5 F F F 
8,57 F V F 
 
Operação de Disjunção 
Exemplo 
A disjunção das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais): “x < 2” ∨ “x > 8” 
Assim, para x = 0, x = -1, x = 2, x = 5, x = pi e x = 8,57, temos sucessivamente: 
 
x x<2 x>8 x<2 ∨∨∨∨ x>8 
0 V F V 
-1 V F V 
2 F F F 
pi F F F 
5 F F F 
8,57 F V V 
 
 
 
 
Operação Condicional 
Exemplo 
A condicional das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais): “x < 2” → “x > 8” 
Assim, para x = 0, x = -1, x = 2, x = 5, x = pi e x = 8,57, temos sucessivamente: 
x x<2 x>8 x<2 →→→→ x>8 
0 V F F 
-1 V F F 
2 F F V 
pi F F V 
5 F F V 
8,57 F V V 
 
Operação Bicondicional 
Exemplo 
A bicondicional das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais): “x < 2” ↔ “x > 8” 
Assim, para x = 0, x = -1, x = 2, x = 5, x = _ e x = 8,57, temos sucessivamente: 
x x<2 x>8 x<2 ↔↔↔↔ x>8 
0 V F F 
-1 V F F 
2 F F V 
pi F F V 
5 F F V 
8,57 F V F