Exercícios - Lógica e Raciocínio - Sentenças Abertas e Quantificadores

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Lógica e Raciocínio - Pós / Lógica e Raciocínio - Sentenças Aberta…
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Uma sentença aberta p(x) é aquela cujo valor lógico depende de uma variável
x (ou mais de uma). Por exemplo:
 
p(x): x + 1 = 7
 Para x = 6 é verdadeira, mas para x = 5 é falsa.
 
p(y): é um número natural e y > 2
 Para y = 5 é verdadeira, mas para y = 1 é falsa.
 
p(Q): é um polígono que possui um ângulo interno de 90º.
Se Q é um triângulo retângulo, um quadrado... é verdadeira, mas se Q for
um triângulo equilátero, então a sentença é falsa.
 
p(x,y): x, y ∈ R e x > y 
 Para (x, y) = (2, 1) é verdadeira, mas para (x, y) = (0, 5) é falsa.
 
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O conjunto-verdade Vₚ de uma sentença aberta p(x) é o conjunto de todos os
elementos/valores/objetos a tais que p(a) é uma proposição verdadeira. Nos
exemplos anteriores temos que os conjuntos-verdade são, respectivamente,
Vₚ = {6}, Vₚ = {y ∈ N ; y > 2} = {3, 4, 5, 6...}, Vₚ = polígonos que possuem um
ângulo interno reto , Vₚ = {(x, y) ∈ R²; x > y}
 
Sendo A o conjunto de todos os possíveis valores/objetos da variável x da sen-
tença aberta p(x), temos três possibilidades:
Quando o quantificador existencial é escrito ∃! significa que além da existência,
é garantida a unicidade, e lê-se “existe e é único” ou “existe apenas um”.
(∃! y ∈ N) (x + 5 = 7)
“Existe um único número natural x tal que x + 1 = 7.”
Valor-lógico: Verdadeiro
 
∃! y ∈ R; y² + 1 < 0
“Existe um único número real y tal que y² + 1 < 0.”
Valor-lógico: Falso
 
∃! y ∈ Z; 2z < z
“Existe apenas um número inteiro z tal que o dobro de z é menor do que z."
Valor-lógico: Falso
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Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃! a torna uma pro-
posição (∃x! ∈ A) (p(x)).
 
Se Vₚ = {a} a proposição é verdadeira;
Se Vₚ ≠ {a} , a proposição é falsa.
p(x) é verdadeira para todo x ∈ A. Neste caso Vₚ = A e p(x) é uma
propriedade universal no conjunto A.
p(x) é verdadeira somente para alguns x ∈ A. Neste caso Vₚ é um
subconjunto próprio de A e p(x) é uma propriedade possível no
conjunto A.
p(x) é falsa para todo x ∈ A. Neste caso, Vₚ = Ø e p(x) é uma
propriedade impossível no conjunto A.
 
Para atribuir um valor-lógico às sentenças abertas, usamos os quantificadores.
O quantificador universal é indicado pelo símbolo e lê-se: “para todo”, ou
“qualquer que seja”. Por exemplo:
 
(∀x ∈ N) (x + 5 = 7)
“Para todo número natural x, temos que x + 5 = 7.” 
Valor-lógico: Falso.
 
∀x ∈ R, y² + 1 > 0
“Para todo número real y, temos que y² + 1 > 0.” Próxima
Valor-lógico: Verdadeiro.
 
2z > z, 
“O dobro de z é maior do que z, para todo número natural z.”
Valor-lógico: Verdadeiro.
 
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador a torna uma pro-
posição (∀x ∈ A) (p(x)).
Se Vₚ = A, a proposição é verdadeira;
Se Vₚ ≠ A, a proposição é falsa.
 
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃! e lê-se: “existe”, ou
“existe pelo menos um”.
 
(∃ x ∈ N) (x + 5 = 7)
“Existe um número natural x tal que x + 1 = 7.”
Valor-lógico: Verdadeiro.
 
∃ x ∈ N; y² + 1 < 0
“Existe um número real y tal que y² + 1 < 0.” Próxima
Valor-lógico: Falso
 
∃ z ∈ Z; 2z < 2
“Existe um número inteiro z tal que o dobro de z é menor do que z”
Valor-lógico: Falso
 
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃ a torna uma pro-
posição (∃ x ∈ A) (p(x)).
Se Vₚ = Ø, a proposição é verdadeira;
Se Vₚ ≠ Ø, a proposição é falsa.
 
 
 
Atividade extra
No livro “Iniciação à Lógica Matemática”, de Edgard de Alencar Filho, o autor
esmiúça o estudo das sentenças abertas com várias variáveis. A atividade ex-
tra desta aula é a leitura do capítulo 14 deste livro.
 
Referência Bibliográfica
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Iezzi, Gelson Carlos Murakami. Fundamentos de Matemática Elementar, 1:
Conjuntos, Funções. 9ª edição. Editora Atual. São Paulo, 2013.
Alencar Filho, Edgard de. Iniciação a Lógica Matemática. Editora Nobel. São
Paulo, 2002. Estranhou essa explicação?
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