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Exercícios resolvidos Fluxo de campo elétrico pelo método do Jacobiano

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www.fisicaexe.com.br
Calcule o fluxo elétrico através de uma placa circular de raio a imersa num campo 
elétrico uniforme de intensidade E nos casos:
a) O campo é perpendicular à placa;
b) O forma um ângulo α com a placa.
Dados do problema
• raio do disco: a;
• intensidade do campo elétrico: E;
• ângulo entre o campo elétrico e a placa: α .
Solução
a) O fluxo elétrico é dado por
E =∫
A
E .d A (I)
Adotando o eixo x 
perpendicular à placa e na mesma 
direção se sentido do vetor campo 
elétrico (figura 1) este pode ser escrito 
como
E =E i (II)
onde i é o vetor unitário na direção x 
(figura 1).
O vetor elemento de área pode ser escrito como
d A = d A n (III)
onde n é o vetor unitário na direção perpendicular à placa. Substituindo as expressões (II) e (III) 
em (I), temos
 E =∫
A
E i .d A n
 E =∫
A
E d A i . n
1
Observação: como i e n são vetores unitário seus módulos são iguais a 1 e como ambos estão 
na mesma direção o ângulo entre eles é nulo ( θ= 0 ), assim i .n=∣ i∣∣n ∣cos 0= 1.1.1= 1 .
 E =∫
A
E d A (IV)
1
figura 1
www.fisicaexe.com.br
Em coordenadas polares as coordenadas x e y são dados por
x = r cos θ , y = r senθ (V)
O elemento de área em coordenadas cartesianas é
d A = d x d y
para obter o elemento de área em coordenadas polares calculamos o Jacobiano dado pelo 
determinante
J =∣ ∂ x∂ r ∂ x∂ θ∂ y
∂ r
∂y
∂ θ
∣
cálculo das derivadas parciais das funções x e y dadas em (V)
x = r cosθ :
∂ x
∂ r
= ∂  r cosθ 
∂ r
= cosθ ∂ r
∂ r
= cos θ.1 = cos θ , na derivada em r o valor de θ é constante e 
o cosseno sai da derivada.
∂ x
∂θ
= ∂  r cosθ 
∂ θ
= r ∂  cos θ 
∂θ
= r  −senθ  =−r senθ , na derivada em θ o valor de r é 
constante e sai da derivada.
y = r senθ :
∂ y
∂r
= ∂  r senθ 
∂ r
= senθ ∂ r
∂ r
= senθ .1= senθ , na derivada em r o valor de θ é constante e 
o seno sai da derivada.
∂ y
∂θ
= ∂  r senθ 
∂θ
= r ∂  senθ 
∂θ
= r cosθ , na derivada em θ o valor de r é constante e sai da 
derivada.
d A = d x d y = J d r d θ
J =∣ cosθ −r senθsenθ r cosθ ∣
J = cos θ .r cosθ− −r senθ. senθ 
J = r cos2θr sen 2θ
J = r  cos 2θsen 2θ
1

J = r
d A = r d r d θ (VI)
substituindo a expressão (VI) em (IV), obtemos
E =∫∫E r d r d θ
O campo elétrico pode “sair” da integral e como não existem termos “cruzados” em r e 
θ as integrais podem ser separadas
2
www.fisicaexe.com.br
 E = E∫ r d r∫ d θ
Os limites de integração serão de 0 a a em d r (ao longo do raio do disco) e de 0 e 2pi 
em d θ (uma volta completa no disco)
 E = E∫
0
a
r d r∫
0
2π
d θ
integração de ∫
0
a
r d r
∫
0
a
r d r = r
2
2 ∣0
à
= a
2
2
− 0
2
2
= a
2
2
integração de ∫
0
2π
d θ
∫
0
2π
d θ = θ∣0
2 π= 2π−0= 2π
 E = E
a 2
2
2π
E = π a
2 E
b) Adotando um sistema de 
referência com o eixo x 
perpendicular à placa e o eixo y 
para cima paralelo à placa (figura 
3) o vetor campo elétrico pode ser 
escrito como
E =E x iE y j (VII)
Para o vetor elemento de 
área vale a mesma expressão (III). 
Substituindo as expressões (III) e (VII) em (I), temos
 E =∫
A
 E x iE y j .d A n
 E=∫
A
E x i .d A n∫
A
E y j .d A n
 E =∫
A
E x d A i . n
1
∫
A
E y d A j . n
0
3
figura 2
www.fisicaexe.com.br
Observação: como i e n são vetores unitário seus módulos são iguais a 1 e como ambos estão 
na mesma direção o ângulo entre eles é nulo ( θ= 0 ), assim i .n=∣ i∣∣n ∣cos 0= 1.1 .1= 1 .
O vetor unitário j também tem módulo 1, como ele é perpendicular a n  θ= π2  o produto 
escalar será j .n=∣ j ∣∣n ∣ cos π2 = 1.1. 0= 0 (figura 3).
E =∫
A
E x d A (VIII)
O vetor campo elétrico pode ser decomposto nas direções i e j com 
componentes E x e E y respectivamente, apenas a componente na direção i 
contribui para o fluxo elétrico, assim ela pode ser escrita em termos do 
campo elétrico e do ângulo de inclinação
E x = E sen (IX)
O elemento de área d A será dado pela expressão (VI) obtida acima, 
substituindo as expressões (VI) e (IX) em (VIII), temos
 E =∫∫E sen r d r d θ
A componente do campo elétrico pode “sair” da integral e não existem termos 
“cruzados” em r e θ as integrais podem ser separadas
 E = E sen∫ r d r∫d θ
Os limites de integração serão de 0 a a em d r (ao longo do raio do disco) e de 0 e 2pi 
em d θ (uma volta completa no disco)
 E = E sen∫
0
a
r d r∫
0
2π
d θ
as duas integrais já foram calculada no item (a), assim
 E = E sen
a 2
2
2 π
E = π a
2 E sen
4
figura 3

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