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www.fisicaexe.com.br Calcule o fluxo elétrico através de uma placa circular de raio a imersa num campo elétrico uniforme de intensidade E nos casos: a) O campo é perpendicular à placa; b) O forma um ângulo α com a placa. Dados do problema • raio do disco: a; • intensidade do campo elétrico: E; • ângulo entre o campo elétrico e a placa: α . Solução a) O fluxo elétrico é dado por E =∫ A E .d A (I) Adotando o eixo x perpendicular à placa e na mesma direção se sentido do vetor campo elétrico (figura 1) este pode ser escrito como E =E i (II) onde i é o vetor unitário na direção x (figura 1). O vetor elemento de área pode ser escrito como d A = d A n (III) onde n é o vetor unitário na direção perpendicular à placa. Substituindo as expressões (II) e (III) em (I), temos E =∫ A E i .d A n E =∫ A E d A i . n 1 Observação: como i e n são vetores unitário seus módulos são iguais a 1 e como ambos estão na mesma direção o ângulo entre eles é nulo ( θ= 0 ), assim i .n=∣ i∣∣n ∣cos 0= 1.1.1= 1 . E =∫ A E d A (IV) 1 figura 1 www.fisicaexe.com.br Em coordenadas polares as coordenadas x e y são dados por x = r cos θ , y = r senθ (V) O elemento de área em coordenadas cartesianas é d A = d x d y para obter o elemento de área em coordenadas polares calculamos o Jacobiano dado pelo determinante J =∣ ∂ x∂ r ∂ x∂ θ∂ y ∂ r ∂y ∂ θ ∣ cálculo das derivadas parciais das funções x e y dadas em (V) x = r cosθ : ∂ x ∂ r = ∂ r cosθ ∂ r = cosθ ∂ r ∂ r = cos θ.1 = cos θ , na derivada em r o valor de θ é constante e o cosseno sai da derivada. ∂ x ∂θ = ∂ r cosθ ∂ θ = r ∂ cos θ ∂θ = r −senθ =−r senθ , na derivada em θ o valor de r é constante e sai da derivada. y = r senθ : ∂ y ∂r = ∂ r senθ ∂ r = senθ ∂ r ∂ r = senθ .1= senθ , na derivada em r o valor de θ é constante e o seno sai da derivada. ∂ y ∂θ = ∂ r senθ ∂θ = r ∂ senθ ∂θ = r cosθ , na derivada em θ o valor de r é constante e sai da derivada. d A = d x d y = J d r d θ J =∣ cosθ −r senθsenθ r cosθ ∣ J = cos θ .r cosθ− −r senθ. senθ J = r cos2θr sen 2θ J = r cos 2θsen 2θ 1 J = r d A = r d r d θ (VI) substituindo a expressão (VI) em (IV), obtemos E =∫∫E r d r d θ O campo elétrico pode “sair” da integral e como não existem termos “cruzados” em r e θ as integrais podem ser separadas 2 www.fisicaexe.com.br E = E∫ r d r∫ d θ Os limites de integração serão de 0 a a em d r (ao longo do raio do disco) e de 0 e 2pi em d θ (uma volta completa no disco) E = E∫ 0 a r d r∫ 0 2π d θ integração de ∫ 0 a r d r ∫ 0 a r d r = r 2 2 ∣0 à = a 2 2 − 0 2 2 = a 2 2 integração de ∫ 0 2π d θ ∫ 0 2π d θ = θ∣0 2 π= 2π−0= 2π E = E a 2 2 2π E = π a 2 E b) Adotando um sistema de referência com o eixo x perpendicular à placa e o eixo y para cima paralelo à placa (figura 3) o vetor campo elétrico pode ser escrito como E =E x iE y j (VII) Para o vetor elemento de área vale a mesma expressão (III). Substituindo as expressões (III) e (VII) em (I), temos E =∫ A E x iE y j .d A n E=∫ A E x i .d A n∫ A E y j .d A n E =∫ A E x d A i . n 1 ∫ A E y d A j . n 0 3 figura 2 www.fisicaexe.com.br Observação: como i e n são vetores unitário seus módulos são iguais a 1 e como ambos estão na mesma direção o ângulo entre eles é nulo ( θ= 0 ), assim i .n=∣ i∣∣n ∣cos 0= 1.1 .1= 1 . O vetor unitário j também tem módulo 1, como ele é perpendicular a n θ= π2 o produto escalar será j .n=∣ j ∣∣n ∣ cos π2 = 1.1. 0= 0 (figura 3). E =∫ A E x d A (VIII) O vetor campo elétrico pode ser decomposto nas direções i e j com componentes E x e E y respectivamente, apenas a componente na direção i contribui para o fluxo elétrico, assim ela pode ser escrita em termos do campo elétrico e do ângulo de inclinação E x = E sen (IX) O elemento de área d A será dado pela expressão (VI) obtida acima, substituindo as expressões (VI) e (IX) em (VIII), temos E =∫∫E sen r d r d θ A componente do campo elétrico pode “sair” da integral e não existem termos “cruzados” em r e θ as integrais podem ser separadas E = E sen∫ r d r∫d θ Os limites de integração serão de 0 a a em d r (ao longo do raio do disco) e de 0 e 2pi em d θ (uma volta completa no disco) E = E sen∫ 0 a r d r∫ 0 2π d θ as duas integrais já foram calculada no item (a), assim E = E sen a 2 2 2 π E = π a 2 E sen 4 figura 3
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