Apostila 02_GM_EG_2011

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FURG – ESCOLA DE ENGENHARIA – EXPRESSÃO GRÁFICA 
Geometria Mongeana - Material de Apoio de Aula: Em revisão. 
 
 
 
Hélida Helena Pegas – EE/FURG 
Karen Melo da Silva – EE /FURG 
Maicon Soares – EE /FURG 
Colaboração: Marco Leoni Deboer Salvi – Aluno Engenharia Civil 
 
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GEOMETRIA MONGEANA 
CAPÍTULO 2: ESTUDO DO PONTO 
 
2.1 REPRESENTAÇÃO 
A determinação da projeção de um ponto (P), pelo método Mongeano, consiste em 
determinar duas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares, um horizontal 
representado por π o outro vertical π’, que se interceptam na Linha de Terra. 
 
Projeção Ortogonal: é o pé da perpendicular traçada do ponto do espaço ao plano. 
Projetante: é a perpendicular traçada do ponto do espaço ao plano. 
 
Por convenção, considera-se o ponto (O), centro de projeção, situado na frente do 
plano vertical e acima do plano horizontal, e a uma distância infinita deles. 
Sobre cada plano, a projeção do ponto (P) é o pé da perpendicular baixada do ponto 
sobre o plano. O ponto (P◦) fica bem determinado pelas intersecções P(P) e P’(P). 
Convencionando, o ponto (P) no espaço é representado, por letra latina maiúscula 
entre parênteses. A projeção do ponto (P) no plano horizontal π é representada pela mesma 
letra maiúscula sem parênteses “P“, e no plano vertical π' ainda pela mesma, porém com 
um sinal linear após a letra (apóstrofe) “P’“, lendo-se “Pê Linha”. 
 
(P) → Ponto no espaço 
P → Projeção do ponto (P) no plano horizontal π 
P’ → Projeção do ponto (P) no plano vertical π' 
 
 
2.2 COOREDENADAS DE UM PONTO 
Seja (P) o ponto no espaço, sua notação fica definida pelas seguintes coordenadas: 
 
(P) ( Z , X , Y ) 
 È È È 
 Abcissa Afo Cota 
 
Abcissa, afastamento e cota, constituem o sistema de coordenadas completas do 
ponto. São medidas quaisquer, acompanhadas de sinal pelas quais identificamos o ponto no 
Diedro, Semiplano ou Plano. 
 
Abcissa: distância tomada sobre a Linha de Terra, a partir do ponto zero, considerado 
origem e arbitrariamente marcado sobre aquela linha, até a linha de chamada, onde se 
localiza P◦. Correspondente ao eixo Z. 
 
Afastamento (AFO): distância do ponto ao plano vertical 
de projeção. Correspondente ao eixo X. 
 
Cota: distância do ponto ao plano horizontal de projeção. 
Correspondente ao eixo Y. 
 
Linha de Chamada: linha que liga as projeções de um 
ponto a Linha de Terra. 
 
 
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Adotaremos a seguinte ordenação das coordenadas, seguindo certa ordem 
alfabética: abcissa, afastamento e cota. 
 
 (Ponto) [abcissa, afastamento, cota] 
 
Exemplo: (A) [ +3, +5, +4 ] 
(B) [ +7, -2, +5 ] 
 
 
REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA 
Em épura, as duas projeções de um ponto situam-se numa mesma perpendicular à Linha 
de Terra. Esta perpendicular a Linha de Terra, é a Linha de Chamada. 
 
 
 
 
REGRA DOS SINAIS 
 
No Espaço: 
A Cota é positiva quando acima do plano horizontal de projeção π, portanto no 
primeiro ou segundo Diedro. Será negativa quando abaixo deste ponto, ou seja, no 
terceiro ou quarto Diedro. 
O Afastamento é positivo quando se encontra a frente ou à direita do plano 
vertical π', isto é, no primeiro ou no quarto Diedro. É negativo quando atrás ou à 
esquerda do plano de projeção vertical, sendo assim, no segundo ou no terceiro 
Diedro. 
 
OBS.: Pode-se comparar o sinal da cota e do afastamento, com o círculo de 
valores trigonométricos (seno e cosseno). 
 
 
 
 
A Abcissa será positiva, quando tomada à direita da origem, e negativa quando 
se localizar à esquerda da mesma. 
 
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Em Épura: 
 A cota é positiva acima da Linha de Terra, e negativa abaixo da mesma. 
 O Afastamento é positivo abaixo da Linha de Terra, e negativo acima da 
mesma. 
 A Abcissa será positiva quando tomada à direita da origem, e negativa quando 
se localizar à esquerda da mesma. 
 
 
 
 
2.3 POSIÇÕES FUNDAMENTAIS DO PONTO 
 
 Em relação aos planos de projeção, o ponto pode ocupar nove posições 
diferentes. 
 
 
1ª Posição: Ponto no Primeiro Diedro. 
EX.: (P) [+...,+...,+...] 
 
 
 
 
 
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2ª Posição: Ponto no Segundo Diedro. 
EX.: (P) [+...,-...,+...] 
 
 
 
 
3ª Posição: Ponto no Terceiro Diedro. 
EX.: (P) [+...,-...,-...] 
 
 
 
 
4ª Posição: Ponto no Quarto Diedro. 
EX.: (P) [+...,+...,-...] 
 
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5ª Posição: Ponto no Plano π's. 
EX.: (P) [+...,0,+...] 
 
 
 
6ª Posição: Ponto no Plano π'i. 
EX.: (P) [+...,0,-...] 
 
 
 
 
7ª Posição: Ponto no Plano πa. 
EX.: (P) [+...,+...,0] 
 
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8ª Posição: Ponto no Plano πp. 
EX.: (P) [+...,-...,0] 
 
 
 
 
9ª Posição: Ponto em π'π. 
EX.: (P) [+...,0,0] 
 
 
 
 
 
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2.4 BISSETOR 
Plano bissetor é o plano que divide o diedro em duas regiões iguais. Existem, 
portanto, apenas dois bissetores, sendo o 1º o ímpar, cortando os diedros I e III 
(ímpares) e o segundo par, cortando os diedros II e IV (pares). O primeiro é 
representado por “β13” ou “βi” e o segundo “β24” ou “βp”. Quando localizado nos 
bissetores o ponto tem afastamento e cotas iguais. 
 
 
 
 
Localização do Ponto no Bissetor Ímpar, no I Diedro 
 
 
 
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Localização do Ponto no Bissetor Ímpar, no III Diedro 
 
 
 
 
Localização do Ponto no Bissetor Par, no II Diedro 
 
 
 
 
Localização do Ponto no Bissetor Par, no IV Diedro